Как решать примеры простым способом

Урок 9. 10 простейших математических приемов

Рассмотрев самые важные вопросы и наиболее трудоемкие моменты в процессе обучения детей счету, теперь мы можем позволить себе немного расслабиться. Сегодня мы познакомимся с десятью простейшими математическими приемами, которые, во-первых, помогут осознать вашему ребенку, что математика – это просто и интересно, а во-вторых, научат его получать удовольствие от вычислений. Впрочем, и вам самим, как родителям, будет полезно освежить в памяти арифметические знания и, быть может, открыть для себя нечто новое.

Представленные ниже математические приемы улучшат навыки вашего драгоценного чада и ускорят его выполнение математических приемов в уме. Далее мы рассмотрим:

Умножение на «4»

Умножение на «4» можно назвать одним из простейших приемов, несмотря на то, что некоторые не замечают его очевидности. Хитрость этого приема состоит в том, что умножаемое число требуется умножить на «2», а потом еще раз умножить на «2». Другой вариант: умножить число на «2», а затем к результату прибавить этот же результат.

ПРИМЕР (иллюстрирует оба варианта):

67 х 4 (67х 2) + (67 х 2) 134 + 134 268

Умножение на «5»

Многие дети без каких-либо затруднений могут запомнить таблицу умножения на «5». Однако когда дело касается больших чисел, а не простых примеров, нередко возникают затруднения. Но сложным решение кажется лишь на первый взгляд, т.к. есть очень простой прием.

Попробуйте сами: возьмите какое-нибудь число, которое требуется умножить на «5», и поделите его на «2», т.е. разделите пополам. Если в итоге у вас получится целое число, добавьте в конце «0», а если число не целое, то не придавайте большого значения запятой (пропустите ее), а просто припишите «5» в конце. Этот прием работает безотказно.

2 464 х 5 (2 464/2) + «0» (в конце, т.к. при делении получается целое число) 12 320

3 747 х 5 (3 747/2) + «5» (т.к. при делении получается дробное число) 1 873,5 (убираем запятую и прибавляем 5) 18 735

Умножение на «9»

Умножить на «9» так же просто, но это касается только тех случаев, когда на «9» умножается любое другое число от «1» до «9». Чтобы произвести такое вычисление, нужно сначала посмотреть на свои ладони с вытянутыми пальцами. Теперь загните один палец, соответствующий умножаемому числу, к примеру, если умножаете «4», загните безымянный палец левой руки (он четвертый по счету слева). Далее посчитайте, сколько пальцев осталось до согнутого – в нашем случае («4» х «9») осталось три пальца. Теперь посчитайте, какое количество пальцев осталось после согнутого – в нашем случае осталось шесть пальцев. Вот вам и ответ: число «36».

Умножение на «11»

Скорее всего, ваш ребенок уже знает, что если умножать какое-то число на «10», к этому числу потребуется добавить ноль. Но и любое двузначное число умножить на «11» не составляет никакой проблемы. Это способ мы уже рассматривали в одном из уроков, но в нашей «коллекции» простых математических приемов он лишним не будет.

Например, вам требуется умножить «54» на «11». Возьмите число «54» и поставьте цифры так, чтобы между ними осталось пустое место. В нашем случае получится «5__4». Далее сложите эти две цифры (т.е. «5» + «4»), а результат вставьте между цифр «5» и «4». В итоге получится ответ «594».

Если при сложении двух цифр у вас получается двузначное число, требуется запомнить вторую цифру, а единичку добавить к первой цифре. К примеру, вам нужно умножить «87» на «11». Сначала разделяем «8» и «7», чтобы получилось «8__7». Затем складываем «8» и «7» и получаем «15». Теперь запоминаем «5», а «1» добавляем к первой цифре нашей пары, т.е. к «8», после чего вставляем между цифрами «5», которую запомнили. В итоге получаем результат «957».

Деление на «5»

Операции с делением чисел на «5» могут показаться очень сложными для ребенка, однако в действительности осуществляются они совсем просто. Все, что требуется сделать, – это умножить число на «2», а затем поставить запятую перед последней цифрой.

423/5 423 х 2 (1-й этап) 846 + «,» перед последней цифрой (2-й этап) 84,6

3 867/5 3 867 х 2 (1-й этап) 7 734 + «,» перед последней цифрой (2-й этап) 773,4

Вычитание из «1000»

Для выполнения операции вычитания из «1000» следует применять простейшее правило: нужно отнимать от «9» каждую цифру, кроме последней, т.к. последнюю цифру нужно отнимать от «10».

3-й этап: 10 – 6 4

Итого: 1000 – 736 264

Сложное умножение

Если вашему ребенку необходимо перемножить большие числа, и если одно из этих чисел является четным, научите его перегруппировке, посредством которой можно быстро получить нужный ответ. При перегруппировке первое (четное) число делится на два, а второе (любое) – умножается на два.

64 х 250 32 х 500 16 х 1 000 16 000

28 х 125 14 х 250 7 х 500 3,5 х 1 000 3 500

Быстрое возведение в квадрат

Данный прием позволяет в мгновение ока возвести в квадрат любое число, оканчивающееся на «5». Выполняется так: первая цифра умножается на туже самую цифру + «1», а в самом конце дописывается «25».

35² (3 х (3+1)) + «25» в конце (3 х 4) + «25» в конце 1 225

95² (9 х (9+1)) + «25» в конце (9 х 10) + «25» в конце 9 025

Подсчет чаевых

Этот приемчик можно использовать, когда, например, вы с ребенком покушали в ресторане, и хотите оставить официанту 15% чаевых. Попросите свое чадо самостоятельно посчитать, сколько денег вы должны оставить. Выполняется всего несколько действий: сначала нужно определить 10% от суммы чека, для чего требуется разделить ее на «10», а затем прибавить к результату еще половину этого же результата.

Вы потратили в ресторане 1 370 рублей. 10% от этой суммы составит 137 рублей, а половина этой суммы составит 68,5 рублей. В итоге 137 + 68,5 205,5 рублей – именно столько вы оставите официанту.

Систематизированные правила умножения

В этом блоке мы предлагаем вашему вниманию сразу несколько хороших правил быстрого умножения:

• Чтобы умножить на «5»: нужно умножить число на «10», а затем разделить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 5 (25 х 10)/2 250/2 125

• Чтобы умножить на «6»: нужно умножить число сначала на «3», а затем умножить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 6 (25 х 3) х 2 75 х 2 150

• Чтобы умножить на «9»: нужно умножить число на «10», а затем отнять то же самое число

ПРИМЕР: 25 х 9 (25 х 10) – 25 250 – 25 225

• Чтобы умножить на «12»: нужно умножить число на «10», а затем два раза прибавить то же самое число

ПРИМЕР: 25 х 12 (25 х 10) + 25 + 25 250 + 50 300

• Чтобы умножить на «13»: сначала нужно умножить число на «3», затем умножить это же число на «10», а потом сложить вместе полученные результаты

ПРИМЕР: 25 х 13 (25 х 3) + (25 х 10) 75 + 250 325

• Чтобы умножить на «14»: сначала нужно умножить число на «4», затем умножить это же число на «10», а потом сложить вместе полученные результаты

ПРИМЕР: 25 х 14 (25 х 4) + (25 х 10) 100 + 250 350

• Чтобы умножить на «15»: нужно умножить число на «10», а затем прибавить к нему половину полученной суммы

ПРИМЕР: 25х 15 (25 х 10) + половина результата 250 + 125 375

• Чтобы умножить на «16»: нужно умножить число на «2» четыре раза или умножить число на «8», а затем результат умножить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 16 (25 х 2) х2 х 2 х 2 (50 х 2) х 2 х 2 (100 х 2) х 2 200 х 400 или (25 х 8) х 2 200 х 2 400

• Чтобы умножить на «17»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы трижды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 17 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 – 25 – 25 (250 + 250) – 25 – 25 – 25 500 – 25 – 25 – 25 425

• Чтобы умножить на «18»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы дважды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 18 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 – 25 (250 + 250) – 25 – 25 500 – 25 – 25 450

• Чтобы умножить на «19»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 19 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 (250 + 250) – 25 500 – 25 475

• Чтобы умножить на «24»: нужно умножить число на «8», а затем результат умножить на «3»

ПРИМЕР: 25 х 24 (25 х 8) х 3 200 х 3 600

• Чтобы умножить на «27»: нужно умножить число на «30» (или три раза умножить на «10 и сложить результаты»), а затем от суммы трижды отнять исходное число

ПРИМЕР: 25 х 27 (25 х 30) – 25 – 25 – 25 750 – 25 – 25 – 25 675 или ((25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10)) – 25 – 25 – 25 (250 + 250 + 250) – 25 – 25 – 25 750 – 25 – 25 – 25 675

• Чтобы умножить на «45»: нужно умножить число на «50» (или пять раза умножить на «10 и сложить результаты»), а затем от суммы пять раз отнять исходное число

ПРИМЕР: 25 х 45 (25 х 50) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 250 – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 125 или ((25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10)) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 (250 + 250 + 250 + 250 + 250) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 250 – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 125

• Чтобы умножить на «90»: нужно умножить число на «10», а затем вычесть исходное число и дописать в конце «0» к результату

ПРИМЕР: 25 х 90 (25 х 10) – 25 + «0» (в конце) 250 – 25 + «0» (в конце) 2 250

• Чтобы умножить на «98»: нужно умножить число на «100» и дважды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 98 (25 х 100) – 25 – 25 2 500 – 25 – 25 2 450

• Чтобы умножить на «99»: нужно умножить число на «100» и вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 99 (25 х 100) – 25 2 500 – 25 2 475

И, напоследок, в качестве дополнительного полезного материала мы расскажем вам о том, как легко научить ребенка подсчету процентов, ведь этот навык тоже может пригодиться и в обучении, и в жизни.

Как быстро считать проценты

Нередко случаются ситуации, когда нужно вычислить, например, 8% от «400». Ребенку может представляться достаточно трудной задачей. Поэтому изначально вы должны ему объяснить, что 100% – это «100». Получается, что те же 8% от «100» равны «8», а если взять 41,88% от «100», тоже будет 41,88. Но это только для каждой сотни. Как же это может помочь на практике? Давайте рассмотрим задание про 8% от «400».

В нашем случае 8% от «100» будет «8», но сотни у нас четыре, значит и от всех остальных «100» 8% будет «8». В итоге «8 х 4» (или «8 + 8 + 8+ 8») равно «32», т.е. 8% от «400» – это 32%. Все просто. По аналогии можно вычислить и проценты из «200», «300» и т.д. Но если число менее сотни, то нужно убрать «0» (если «0» имеется) и добавить слева от последней цифры запятую.

7% от 200 7 х 2 (или 7 + 7) 14

6% от 500 6 х 5 (или 6 + 6 + 6 + 6 + 6) 30

8% от 35 8 х 35 (или 8 + 8 + 8 + 4) 280 (убираем «0» и добавляем запятую слева от последней цифры) 2,8%

9% от 25 9 х 25 (или 9 + 9 + 4,5) 225 (добавляем запятую слева от последней цифры) 2,25%.

На письме все это может показаться слегка запутанным, но при регулярных тренировках ваш ребенок научится выполнять эти действия быстро, причем даже без записи на бумаге.

На этом мы заканчиваем часть курса, посвященную обучению детей счету. Занимайтесь, тренируйтесь, не ленитесь, и результата придется ждать недолго. Но чтобы развитие было полноценным, вы, конечно же, должны и учить свое чадо не только читать и считать, но еще и писать. Заключительный блок курса посвящен именно этой теме, и состоит так же из десяти уроков.

Желаем успехов вам и вашему ребенку!

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.

Источник

Как быстро считать в уме: приемы устного счета больших чисел

• 12 января 2021 г.
• 15 минут
• 278 583
• 9

Устный счет – занятие, которым в наше время себя утруждает все меньшее количество людей. Гораздо проще достать калькулятор на телефоне и вычислить любой пример.

Но так ли это на самом деле? В этой статье мы представим математические лайфхаки, которые помогут научиться быстро складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме. Причем оперируя не единицами и десятками, а минимум двухзначными и трехзначными числами.

После освоения методов из этой статьи идея лезть в телефон за калькулятором уже не покажется такой хорошей. Ведь можно не тратить время и посчитать все в уме гораздо быстрее, а заодно размять мозги и произвести впечатление на окружающих (противоположного пола).

Итак, добро пожаловать в увлекательный мир вычислений! Мы собрали советы от наших авторов о том, как улучшить устный счет и стать математическим героем и гением. Кстати, если вам интересна математика, вы можете почитать статью «Пределы для чайников» в нашем блоге.

Предупреждаем! Если вы обычный человек, а не вундеркинд, то для развития навыка счета в уме понадобятся тренировки и практика, концентрация внимания и терпение. Сначала все может получаться медленно, но потом дело пойдет на лад, и вы сможете быстро считать в уме любые числа.

Гаусс и устный счет

Карл Фридрих Гаусс

Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который придумал нормальное распределение.

По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить. Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.

В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.

Здесь мы не будем заниматься сложными расчетами, а начнем с самого простого.

Сложение чисел в уме

Чтобы научиться складывать в уме большие числа, нужно уметь безошибочно складывать числа до 10. В конечном счете любая сложная задача сводится к выполнению нескольких тривиальных действий.

Чаще всего проблемы и ошибки возникают при сложении чисел с «переходом через 10». При сложении (да и при вычитании) удобно применять технику «опоры на десяток». Что это? Сначала мы мысленно спрашиваем себя, сколько одному из слагаемых не хватает до 10, а потом прибавляем к 10 оставшуюся до второго слагаемого разность.

Например, сложим числа 8 и 6. Чтобы из 8 получить 10, не хватает 2. Затем к 10 останется прибавить 4=6-2. В итоге получаем: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Основная хитрость со сложением больших чисел – разбить их на разрядные части, а потом сложить эти части между собой.

Пусть нам нужно сложить два числа: 356 и 728. Число 356 можно представить как 300+50+6. Аналогично, 728 будет иметь вид 700+20+8. Теперь складываем:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Вычитание чисел в уме

Вычитание чисел тоже будет даваться легко. Но в отличие от сложения, где каждое число разбивается на разрядные части, при вычитании «разбить» нужно только то число, которое мы отнимаем.

Например, сколько будет 528-321? Разбиваем число 321 на разрядные части и получаем: 321=300+20+1.

Теперь считаем: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Попробуйте визуализировать процессы сложения и вычитания. В школе всех учили считать в столбик, то есть сверху вниз. Один из способов перестроить мышление и ускорить счет – считать не сверху вниз, а слева направо, разбивая числа на разрядные части.

Умножение чисел в уме

Умножение – это многократное повторение числа. Если нужно умножить 8 на 4, это значит, что число 8 нужно повторить 4 раза.

Так как все сложные задачи сводятся к более простым, нужно уметь умножать все однозначные числа. Для этого существует отличный инструмент – таблица умножения. Если вы не знаете эту таблицу на зубок, то мы настоятельно рекомендуем первым делом выучить ее и только потом приниматься за практику устного счета. К тому же учить там, по сути, нечего.

Таблица умножения

Умножение многозначных чисел на однозначные

Сначала потренируйтесь в умножении многозначных чисел на однозначные. Пусть нужно умножить 528 на 6. Разбиваем число 528 на разряды и идем от старшего к младшему. Сначала умножаем, а потом складываем результаты.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Умножение двузначных чисел

Здесь тоже нет ничего сложного, только нагрузка на краткосрочную память немного больше.

Перемножим 28 и 32. Для этого сведем всю операцию к умножению на однозначные числа. Представим 32 как 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Еще один пример. Умножим 79 на 57. Это значит, что на нужно взять число «79» 57 раз. Разобьем всю операцию на этапы. Сначала умножим 79 на 50, а потом – 79 на 7.

• 79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
• 79*7=(70+9)*7=490+63=553
• 3950+553=4503

Умножение на 11

Вот хитрый прием быстрого устного счета, который поможет умножить любое двузначное число на 11 с феноменальной скоростью.

Чтобы умножить двузначное число на 11, две цифры числа складываем друг с другом, и получившуюся сумму вписываем между цифрами исходного числа. Получившееся в итоге трехзначное число — результат умножения исходного числа на 11.

Проверим и умножим 54 на 11.

Возьмите любое двузначное число, умножьте его на 11 и убедитесь сами — эта хитрость работает!

Возведение в квадрат

С помощью другого интересного приема устного счета можно легко и быстро возводить двузначные числа в квадрат. Особенно просто это делать с числами, которые заканчиваются на 5.

Результат начинается с произведения первой цифры числа на следующую за ней по иерархии. То есть, если эту цифру обозначить через n, то следующей за ней по иерархии цифрой будет n+1. Результат заканчивается на квадрат последней цифры, то есть квадрат 5.

Проверим! Возведем в квадрат число 75.

Раньше все считали без калькуляторов

Деление чисел в уме

Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.

Деление на однозначное число

При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.

Например, есть число 6144, которое нужно разделить на 8. Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600. Представим пример в виде:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

Далее из числа 544 также выделяем максимально большое число, которое делится на 8. Имеем:

544:8=(480+64):8=60+64:8

Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления

6144:8=700+60+8=768

Деление на двузначное число

При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.

При умножении двух многозначных чисел последняя цифра результата умножения всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел.

Например, умножим 1325 на 656. По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет 0, так как 5*6=30. Действительно, 1325*656=869200.

Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.

Сколько будет 4424:56?

Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424. Интуитивно попробуем число 80.

56*80=4480

Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70. Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4. Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9. Логично предположить, что результатом деления может быть либо число 74, либо 79. Проверяем:

79*56=4424

Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79, второй вариант обязательно оказался бы верным.

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского»

Полезные советы

В заключение приведем несколько полезных советов, которые помогут быстро научиться устному счету:

• Не забывайте тренироваться каждый день;
• не бросайте тренировки, если результат не приходит так быстро, как хотелось бы;
• скачайте мобильное приложение для устного счета: так вам не придется самостоятельно придумывать себе примеры;
• почитайте книги по методикам быстрого устного счета. Существуют разные техники устного счета, и вы сможете овладеть той, которая лучше всего подходит именно вам.

Польза устного счета неоспорима. Тренируйтесь, и с каждым днем вы будете считать все быстрее и быстрее. А если вам понадобится помощь в решении более сложных и многоуровневых задач, обращайтесь к специалистам студенческого сервиса за быстрой и квалифицированной помощью!

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник