Как решать примеры по математике способами

Порядок действий в математике

О чем эта статья:

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( )
меньше (

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник

Урок 9. 10 простейших математических приемов

Рассмотрев самые важные вопросы и наиболее трудоемкие моменты в процессе обучения детей счету, теперь мы можем позволить себе немного расслабиться. Сегодня мы познакомимся с десятью простейшими математическими приемами, которые, во-первых, помогут осознать вашему ребенку, что математика – это просто и интересно, а во-вторых, научат его получать удовольствие от вычислений. Впрочем, и вам самим, как родителям, будет полезно освежить в памяти арифметические знания и, быть может, открыть для себя нечто новое.

Представленные ниже математические приемы улучшат навыки вашего драгоценного чада и ускорят его выполнение математических приемов в уме. Далее мы рассмотрим:

Умножение на «4»

Умножение на «4» можно назвать одним из простейших приемов, несмотря на то, что некоторые не замечают его очевидности. Хитрость этого приема состоит в том, что умножаемое число требуется умножить на «2», а потом еще раз умножить на «2». Другой вариант: умножить число на «2», а затем к результату прибавить этот же результат.

ПРИМЕР (иллюстрирует оба варианта):

67 х 4 (67х 2) + (67 х 2) 134 + 134 268

Умножение на «5»

Многие дети без каких-либо затруднений могут запомнить таблицу умножения на «5». Однако когда дело касается больших чисел, а не простых примеров, нередко возникают затруднения. Но сложным решение кажется лишь на первый взгляд, т.к. есть очень простой прием.

Попробуйте сами: возьмите какое-нибудь число, которое требуется умножить на «5», и поделите его на «2», т.е. разделите пополам. Если в итоге у вас получится целое число, добавьте в конце «0», а если число не целое, то не придавайте большого значения запятой (пропустите ее), а просто припишите «5» в конце. Этот прием работает безотказно.

2 464 х 5 (2 464/2) + «0» (в конце, т.к. при делении получается целое число) 12 320

3 747 х 5 (3 747/2) + «5» (т.к. при делении получается дробное число) 1 873,5 (убираем запятую и прибавляем 5) 18 735

Умножение на «9»

Умножить на «9» так же просто, но это касается только тех случаев, когда на «9» умножается любое другое число от «1» до «9». Чтобы произвести такое вычисление, нужно сначала посмотреть на свои ладони с вытянутыми пальцами. Теперь загните один палец, соответствующий умножаемому числу, к примеру, если умножаете «4», загните безымянный палец левой руки (он четвертый по счету слева). Далее посчитайте, сколько пальцев осталось до согнутого – в нашем случае («4» х «9») осталось три пальца. Теперь посчитайте, какое количество пальцев осталось после согнутого – в нашем случае осталось шесть пальцев. Вот вам и ответ: число «36».

Умножение на «11»

Скорее всего, ваш ребенок уже знает, что если умножать какое-то число на «10», к этому числу потребуется добавить ноль. Но и любое двузначное число умножить на «11» не составляет никакой проблемы. Это способ мы уже рассматривали в одном из уроков, но в нашей «коллекции» простых математических приемов он лишним не будет.

Например, вам требуется умножить «54» на «11». Возьмите число «54» и поставьте цифры так, чтобы между ними осталось пустое место. В нашем случае получится «5__4». Далее сложите эти две цифры (т.е. «5» + «4»), а результат вставьте между цифр «5» и «4». В итоге получится ответ «594».

Если при сложении двух цифр у вас получается двузначное число, требуется запомнить вторую цифру, а единичку добавить к первой цифре. К примеру, вам нужно умножить «87» на «11». Сначала разделяем «8» и «7», чтобы получилось «8__7». Затем складываем «8» и «7» и получаем «15». Теперь запоминаем «5», а «1» добавляем к первой цифре нашей пары, т.е. к «8», после чего вставляем между цифрами «5», которую запомнили. В итоге получаем результат «957».

Деление на «5»

Операции с делением чисел на «5» могут показаться очень сложными для ребенка, однако в действительности осуществляются они совсем просто. Все, что требуется сделать, – это умножить число на «2», а затем поставить запятую перед последней цифрой.

423/5 423 х 2 (1-й этап) 846 + «,» перед последней цифрой (2-й этап) 84,6

3 867/5 3 867 х 2 (1-й этап) 7 734 + «,» перед последней цифрой (2-й этап) 773,4

Вычитание из «1000»

Для выполнения операции вычитания из «1000» следует применять простейшее правило: нужно отнимать от «9» каждую цифру, кроме последней, т.к. последнюю цифру нужно отнимать от «10».

3-й этап: 10 – 6 4

Итого: 1000 – 736 264

Сложное умножение

Если вашему ребенку необходимо перемножить большие числа, и если одно из этих чисел является четным, научите его перегруппировке, посредством которой можно быстро получить нужный ответ. При перегруппировке первое (четное) число делится на два, а второе (любое) – умножается на два.

64 х 250 32 х 500 16 х 1 000 16 000

28 х 125 14 х 250 7 х 500 3,5 х 1 000 3 500

Быстрое возведение в квадрат

Данный прием позволяет в мгновение ока возвести в квадрат любое число, оканчивающееся на «5». Выполняется так: первая цифра умножается на туже самую цифру + «1», а в самом конце дописывается «25».

35² (3 х (3+1)) + «25» в конце (3 х 4) + «25» в конце 1 225

95² (9 х (9+1)) + «25» в конце (9 х 10) + «25» в конце 9 025

Подсчет чаевых

Этот приемчик можно использовать, когда, например, вы с ребенком покушали в ресторане, и хотите оставить официанту 15% чаевых. Попросите свое чадо самостоятельно посчитать, сколько денег вы должны оставить. Выполняется всего несколько действий: сначала нужно определить 10% от суммы чека, для чего требуется разделить ее на «10», а затем прибавить к результату еще половину этого же результата.

Вы потратили в ресторане 1 370 рублей. 10% от этой суммы составит 137 рублей, а половина этой суммы составит 68,5 рублей. В итоге 137 + 68,5 205,5 рублей – именно столько вы оставите официанту.

Систематизированные правила умножения

В этом блоке мы предлагаем вашему вниманию сразу несколько хороших правил быстрого умножения:

• Чтобы умножить на «5»: нужно умножить число на «10», а затем разделить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 5 (25 х 10)/2 250/2 125

• Чтобы умножить на «6»: нужно умножить число сначала на «3», а затем умножить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 6 (25 х 3) х 2 75 х 2 150

• Чтобы умножить на «9»: нужно умножить число на «10», а затем отнять то же самое число

ПРИМЕР: 25 х 9 (25 х 10) – 25 250 – 25 225

• Чтобы умножить на «12»: нужно умножить число на «10», а затем два раза прибавить то же самое число

ПРИМЕР: 25 х 12 (25 х 10) + 25 + 25 250 + 50 300

• Чтобы умножить на «13»: сначала нужно умножить число на «3», затем умножить это же число на «10», а потом сложить вместе полученные результаты

ПРИМЕР: 25 х 13 (25 х 3) + (25 х 10) 75 + 250 325

• Чтобы умножить на «14»: сначала нужно умножить число на «4», затем умножить это же число на «10», а потом сложить вместе полученные результаты

ПРИМЕР: 25 х 14 (25 х 4) + (25 х 10) 100 + 250 350

• Чтобы умножить на «15»: нужно умножить число на «10», а затем прибавить к нему половину полученной суммы

ПРИМЕР: 25х 15 (25 х 10) + половина результата 250 + 125 375

• Чтобы умножить на «16»: нужно умножить число на «2» четыре раза или умножить число на «8», а затем результат умножить на «2»

ПРИМЕР: 25 х 16 (25 х 2) х2 х 2 х 2 (50 х 2) х 2 х 2 (100 х 2) х 2 200 х 400 или (25 х 8) х 2 200 х 2 400

• Чтобы умножить на «17»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы трижды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 17 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 – 25 – 25 (250 + 250) – 25 – 25 – 25 500 – 25 – 25 – 25 425

• Чтобы умножить на «18»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы дважды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 18 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 – 25 (250 + 250) – 25 – 25 500 – 25 – 25 450

• Чтобы умножить на «19»: сначала нужно умножить число на «10», затем это же число нужно еще раз умножить на «10», а потом сложить два результата и из полученной суммы вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 19 (25 х 10) + (25 х 10) – 25 (250 + 250) – 25 500 – 25 475

• Чтобы умножить на «24»: нужно умножить число на «8», а затем результат умножить на «3»

ПРИМЕР: 25 х 24 (25 х 8) х 3 200 х 3 600

• Чтобы умножить на «27»: нужно умножить число на «30» (или три раза умножить на «10 и сложить результаты»), а затем от суммы трижды отнять исходное число

ПРИМЕР: 25 х 27 (25 х 30) – 25 – 25 – 25 750 – 25 – 25 – 25 675 или ((25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10)) – 25 – 25 – 25 (250 + 250 + 250) – 25 – 25 – 25 750 – 25 – 25 – 25 675

• Чтобы умножить на «45»: нужно умножить число на «50» (или пять раза умножить на «10 и сложить результаты»), а затем от суммы пять раз отнять исходное число

ПРИМЕР: 25 х 45 (25 х 50) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 250 – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 125 или ((25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10) + (25 х 10)) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 (250 + 250 + 250 + 250 + 250) – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 250 – 25 – 25 – 25 – 25 – 25 1 125

• Чтобы умножить на «90»: нужно умножить число на «10», а затем вычесть исходное число и дописать в конце «0» к результату

ПРИМЕР: 25 х 90 (25 х 10) – 25 + «0» (в конце) 250 – 25 + «0» (в конце) 2 250

• Чтобы умножить на «98»: нужно умножить число на «100» и дважды вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 98 (25 х 100) – 25 – 25 2 500 – 25 – 25 2 450

• Чтобы умножить на «99»: нужно умножить число на «100» и вычесть исходное число

ПРИМЕР: 25 х 99 (25 х 100) – 25 2 500 – 25 2 475

И, напоследок, в качестве дополнительного полезного материала мы расскажем вам о том, как легко научить ребенка подсчету процентов, ведь этот навык тоже может пригодиться и в обучении, и в жизни.

Как быстро считать проценты

Нередко случаются ситуации, когда нужно вычислить, например, 8% от «400». Ребенку может представляться достаточно трудной задачей. Поэтому изначально вы должны ему объяснить, что 100% – это «100». Получается, что те же 8% от «100» равны «8», а если взять 41,88% от «100», тоже будет 41,88. Но это только для каждой сотни. Как же это может помочь на практике? Давайте рассмотрим задание про 8% от «400».

В нашем случае 8% от «100» будет «8», но сотни у нас четыре, значит и от всех остальных «100» 8% будет «8». В итоге «8 х 4» (или «8 + 8 + 8+ 8») равно «32», т.е. 8% от «400» – это 32%. Все просто. По аналогии можно вычислить и проценты из «200», «300» и т.д. Но если число менее сотни, то нужно убрать «0» (если «0» имеется) и добавить слева от последней цифры запятую.

7% от 200 7 х 2 (или 7 + 7) 14

6% от 500 6 х 5 (или 6 + 6 + 6 + 6 + 6) 30

8% от 35 8 х 35 (или 8 + 8 + 8 + 4) 280 (убираем «0» и добавляем запятую слева от последней цифры) 2,8%

9% от 25 9 х 25 (или 9 + 9 + 4,5) 225 (добавляем запятую слева от последней цифры) 2,25%.

На письме все это может показаться слегка запутанным, но при регулярных тренировках ваш ребенок научится выполнять эти действия быстро, причем даже без записи на бумаге.

На этом мы заканчиваем часть курса, посвященную обучению детей счету. Занимайтесь, тренируйтесь, не ленитесь, и результата придется ждать недолго. Но чтобы развитие было полноценным, вы, конечно же, должны и учить свое чадо не только читать и считать, но еще и писать. Заключительный блок курса посвящен именно этой теме, и состоит так же из десяти уроков.

Желаем успехов вам и вашему ребенку!

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.

Источник