- Системы уравнений
- Как решить систему уравнений
- Способ подстановки или «железобетонный» метод
- Способ сложения
- Пример решения системы уравнения способом подстановки
- Пример решения системы уравнения способом сложения
- Решение задач разными способами: способы решения задач в начальной школе, решение задач 2 способами 2 класс
- Способы решения задач в начальной школе
- графический способ решения задач: чертёж
- Петерсон решение задач
- Решение задач несколькими способами
- графический способ решения задачи
- арифметический способ решения задачи
- Решение задач разными способами: 2 класс
Системы уравнений
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».
Как решить систему уравнений
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
- перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
- разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.
При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.
| x = 7 − 5y |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 |
| + => | x + 5y + 3x − 2y = 11 |
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».
Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4 |
| + => | − 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4 |
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) |
| y = 1 |
Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
Выразим из первого уравнения « x ».
| x = 17 + 3y |
| x − 2y = −13 |
Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».
| x = 17 + 3y |
| y = −30 |
| x = 17 + 3 · (−30) |
| y = −30 |
| x = 17 −90 |
| y = −30 |
| x = −73 |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 |
| 2x −2y + 3y = 4 |
| 2x − 3y = −4 |
| 2x + y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».
| 2x − 3y = −4 | ·(−1) |
| 2x + y = 4 |
| 2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) |
| 2x + y = 4 |
| −2x + 3y = 4 |
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4 |
| + => | − 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 |
| 2x + y = 4 | 4y = 8 | :4 |
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».
Источник
Решение задач разными способами: способы решения задач в начальной школе, решение задач 2 способами 2 класс
Школьникам проще справиться с примерами на умножение или деление, чем найти ответ в задаче, требующей определенных математических навыков. Учебники по математике для второклассников включают ряд текстовых задач, которые решаются разными способами. Такие задания развивают у детей навыки логического и абстрактного мышления, а также помогают укрепить их способности в решении задач.
Перед вами способы, которые помогут с легкостью решить любую математическую задачу.
Способы решения задач в начальной школе
Школьники часто теряются, когда сталкиваются с решением текстовых задач. Им нужно научиться анализировать информацию и находить полезные инструменты для выполнения заданий.
Особенность текстовых задач в том, что в них прямо не указывается, какое именно действие (или действия) нужно выполнить для нахождения ответа.
Различают несколько способов решения задач – алгебраический, арифметический и графический.
- Первый способ подразумевает ряд арифметических действий над числами.
- Алгебраический — нахождение ответа через х, т.е. решение через уравнение.
- В результате применения графического метода искомые значения величин находятся с помощью геометрических образов: отрезков прямой, прямоугольников, квадратов и т.д.
графический способ решения задач: чертёж
Не существует наиболее рационального способа решения, т.к. все варианты в итоге имеют одинаковый ответ.
Петерсон решение задач
Решение задач несколькими способами
На дереве сидело 7 голубей и 5 ласточек. 4 птицы улетели. Сколько птиц осталось?
графический способ решения задачи
графический
В первом ряду изображены голуби, в нижнем — ласточки. Если 4 голубя улетели (их зачеркнули), осталось всего 8 символов.
Ответ: 8 птиц осталось сидеть на дереве.
арифметический способ решения задачи
арифметический
Если улетели ласточки, узнаем, сколько птиц осталось.
5-4 = 1 (ласт.)
К голубям добавим 1 ласточку.
7 + 1 = 8 (пт.)
арифметический 2-й вариант
Если дерево покинули голуби, узнаем, сколько птиц осталось сидеть.
7-4 = 3 (гол.) — осталось
Сложим оставшееся количество голубей и ласточек.
3 + 5 = 8 (пт.)
Ответ: 8 птиц осталось сидеть на дереве.
Решение задач разными способами: 2 класс
Задача 1
В автобусе ехало 16 пассажиров. 5 пассажиров вышло на первой остановке, на второй салон покинуло еще 3 человека. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
1 вариант решения арифметический
- Узнаем общее количество вышедших пассажиров.
- Сколько пассажиров осталось в автобусе?
5 + 3 = 8 (п.) — всего пассажиров вышло на остановках
16 — 8 = 8 (п.) — пассажиров осталось в автобусе
Ответ: 8 пассажиров осталось в автобусе
2 вариант графический
Зеленым цветом помечено количество вышедших пассажиров, красным — количество оставшихся. Подсчитаем деления на красном конце и получим 8 человек.
Ответ: 8 пассажиров осталось в автобусе
Важно! Решение задачи несколькими способами является проверкой правильности. Одинаковые ответы указывают на правильность решения.
Задача 2
Маляру нужно покрасить 15 окон. К обеду он покрасил 5 окон, после обеда — 3. Сколько окон осталось ему покрасить?
1 вариант решения арифметический
- Узнаем общее количество окрашенных окон.
- Узнаем количество неокрашенных окон.
5 + 3 = 8 (ок.) — всего окон покрасил маляр
15-8 = 7 (ок.) — окон осталось покрасить
Ответ: маляру осталось покрасить 7 окон
2 вариант решения арифметический
- Сколько окон нужно было покрасить после обеда?
- Сколько окон осталось покрасить ?
15-5 = 10 (ок.) — окон нужно было покрасить после обеда
10-3 = 7 (ок.) — окон осталось покрасить
Ответ: маляру осталось покрасить 7 окон
Задача 3
Маша купила в магазине несколько ручек. 4 штуки она подарила подруге, после чего у нее осталось 8 ручек. Сколько ручек купила Маша?
1 вариант решения алгебраический
Пускай Маша купила х ручек, 4 она подарила и 8 штук осталось. Имеем уравнение
Х — 4 = 8
Х =8+4
Х =12 (р.) купила всего
Ответ: Маша купила 12 ручек
2 вариант решения арифметический
Общее количество ручек находим из сложения подаренных и оставшихся ручек.
8+4 = 12 (шт.)
Ответ: Маша купила 12 ручек
Задача 4
В веревочном парке Максим до обеда преодолел 6 воздушных троп. А после отдыха он поднялся на 3 столба и одолел 5 подвесных мостов. Сколько всего препятствий покорил Максим?
1 вариант арифметический
Найдем общее количество преград, преодоленных Максимом после обеда.
3 + 5 = 8 (п.) — преодолел;
Сложим преодоленные преграды до отдыха и после отдыха.
6 + 8 = 14 (п.) — всего.
Ответ: Максим преодолел 14 преград
2 вариант арифметический
Найдем количество преград после восхождения мальчика на столбы.
6+3 = 9 (п.)
Всего, после того как преодолел подвесные мосты.
9+5=14 (п.)
Ответ: Максим преодолел 14 преград
Задача 5
У Ирины было 20 красных и 40 синих бусин. Она использовала 30 бусин. Сколько бусин осталось у девочки?
1 вариант арифметический
- Сколько всего было бусин у девочки?
- Сколько бусин осталось?
20 + 40 = 60 (в.) — всего бусин было у девочки
60-30 = 30 (б.) — бусин осталось у девочки
Ответ: у Ирины осталось 30 бусин
2 вариант решения арифметический
Поскольку в задаче не указано, какого цвета бусины использовала девочка, предположим, что девочка использовала синие бусины, тогда
- Сколько синих бусин осталось у девочки?
- Сколько бусин осталось у девочки?
40-30 = 10 (б.) — синих бусин осталось у девочки
20 + 10 = 30 (б.) — бусин осталось у девочки
Ответ: у девочки осталось 30 бусин
Текстовые математические задачи непростые, но, вникая в их суть и регулярно практикуясь, школьник постепенно укрепляет свои навыки. А поверить правильность ответа можно с помощью разных способов решения.
Источник
