Неравенство с двумя переменными и его решение: значение, список примеров
Содержание:
Линейное неравенство, имеющее две переменных; его функция имеет общий вид ах + bу + с меньше нулевого значения или больше 0. В качестве переменных выступают у, х. Для обозначения некоторых чисел используются буквы а, b, с. Решение неравенств с двумя переменными графическим способом предполагает использование плоскости координат. Задача – найти пару чисел, которая сделает пример верным равенством.
Неравенство с двумя неизвестными – сложный линейный пример, требующий построения графика. В большинстве случаев имеет множество вариантов решения. Например, заданы числа 2 и 1, необходимо решить выражение 5х + 2у > 4. Для этого следует подставить данные коэффициенты в пример. В итоге получается: 5*2 + 2*1 > 4, 10 + 2 больше 4. Решение допустимое.
Более легкий способ решить уравнение – построить графическую координатную плоскость. Внешний вид решения имеет определенную фигуру.
График неравенства с двумя переменными – решение
Функция имеет следующее определение: 3х — 2у + 6 > 0. Нужно определить точки на плоскости, которые подойдут для решения примера. Если 3х -2у + 6 > 0 приравнять к нулю, получится 3х — 2у + 6 = 0. Это стандартное обозначение прямой, проходящей через две области: -2,0 и 0,-3. Относим коэффициенты к области М1(Х1,У1). Эта зона заштриховывается на плоскости, она находится под 3х — 2у + 6 = 0 – прямой.
Коэффициенты М2(Х2,У2) попадают на прямую. Отсюда следует: 2у2 — 3х1 — 6 = 0, 2у1 — 3х1 — 6 0. Изначально строится прямая. В качестве решения выступает набор точек, расположенных над или под прямой. Чтобы понять, какая плоскость является ответом, необходимо выполнить подстановку значений в уравнение.
Графическое решение неравенств с двумя переменными – пример
Большинство неравенств с двумя неизвестными решаются графически. Необходимо выбрать, какой метод для поиска решения лучше применить. Координатная плоскость позволяет сделать рисунок, наглядно увидеть ответ. Задача – поиск двух коэффициентов, удовлетворяющих требованиям примера. Рассмотрим выражение 2у + 3х
Источник
Системы неравенств с двумя переменными
п.1. Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными
Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Множество решений – сегмент круга, отсекаемый отрезком AB. Сам отрезок в множество решений не входит.
п.2. Примеры
Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.
Выразим y(x) в явном виде
Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.
Выразим y(x) в явном виде
Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.
Выразим y(x) в явном виде
Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.
Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.
Находим пересечение – кольцо.
Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0) Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:
Источник
Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
Линейное неравенство с двумя переменными и его решение
Неравенство вида ax+by $ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c , где a, b, c — данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.
Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.
Например: для неравенства $2x+5y \lt 6$
пара (-1;-2) является решением, т.к. $2\cdot(-1)+5 \cdot (-2) = -12 \lt 6$ – истина
пара (1;2) не является решением, т.к. $2\cdot1+5\cdot2=12 \not\lt 6$ – ложь
Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными
Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c является полуплоскость с границей ax+by = c .
Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.
Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными
Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.
Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.
Пересечение обозначают знаком $\cap$.
Найдём графическое решение системы линейных неравенств:
Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).
Примеры
Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:
Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит
Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит
Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит
Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит
Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:
Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)
Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.
Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.
Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.
Пусть x — количество грузовиков по 3т, y – по 5т.
По условию задачи:
$$ <\left\< \begin3x+5y \ge 30 \\ 20x+24y \le 170 \\ x \le 5 \\ y \le 5 \end \right.> $$
Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.
Суммарный расход топлива: $ 20 \cdot 2+24 \cdot 5 = 160 \lt 170 $ не превышает лимит
Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т
Источник
Графическое решение неравенств
Приближённое решение неравенств.
Графическое решение неравенств с одним неизвестным.
Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.
Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т. e . привести к виду:
и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: xa и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой:
Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т. e . привести неравенства к виду:
и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , . , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т. e . их общую часть.
П р и м е р . Решить графически систему неравенств:
Р е ш е н и е . Сначала построим графики функций y = — 2 / 3 x + 2 и
Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x — 1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.
Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.
Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:
1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т. e . привести
нера венства к виду:
2) построить графики функций, заданных неявно: f ( x , y ) = 0 и g ( x , y ) = 0;
3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:
в одной из них неравенствосправедливо, в другой – нет;чтобы решить
графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить
справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой
части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит
эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то
решением является противоположная часть плоскости ;
4) решением заданной системы неравенств является пересечение
(общая область) частей координатной плоскости.
П р и м е р . Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е . Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = — 11 и
2 x + 3 y = 10 ( рис.32 ). Для каждой из них находим полуплоскость,
внутри которой соответствующее заданное неравенство
справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость
неравенства в одной произвольной точке области; в данном
случае легче всего использовать для этого начало координат O ( 0, 0 ).
Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,
полуплоскость ( жёлтого цвета ) является решением первого
неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 неравенство
имеет своим решением также нижнюю полуплоскость ( голубого
цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )
является решением нашей системы неравенств.
Источник
Как решать неравенства с двумя переменными графическим способом
Главная
Обучение
Предварительный просмотр
Мероприятия / ВИШР
Обучение
Тренажер ЕГЭ
Учебные пособия
Игры
120 лет ТПУ. Викторина онлайн
Университетские субботы
Высшая инженерная школа России
Математика
2.2.10. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем
Графическое решение неравенства с двумя переменными
Часто приходится изображать на координатной плоскости множество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.
Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у + Зх 2 + 2х + у 2 — 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.
Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 — 4у + 1 = 0. Выделим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 — 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 2 2 .
Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.
Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.
Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 — 4у + 1 меняет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.
Пример
Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства
(у — х 2 )(у — х — 3) 2 )(у — х — 3) = 0. Им является парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у — х 2 )(у — х — 3) происходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак этого выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для которых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).
Алгоритм решения неравенств с двумя переменными
1. Приведем неравенство к виду f (х; у) 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)
2. Записываем равенство f (х; у) = 0
3. Распознаем графики, записанные в левой части.
4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) 0), то — штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то — сплошной линией.
5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость
6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)
7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)
8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку
