В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо вся числовая прямая, либо пустое множество.
Задача. Решить неравенство 4x + 5 > 2(2х – 3).
Решение. 4x + 5 > 2(2х – 3) Û 4x + 5 > 4х – 6 Û 4x + 5 – 4х + 6 > 0 Û
2. Квадратные неравенстваимеют вид ax2 + bx + c > 0 ( 0.
3. Алгебраические неравенства высших степеней, т.е. неравенства вида anxn + an-1x n-1 + a1x + a0 > 0 ( 2.
С помощью методов решения алгебраических уравнений многочлен степени n > 2 разложить на множители, т.е. неравенство записать в виде
Решение. На числовой оси отметим значения, при которых х – 3 = 0 и х + 2 = 0.
Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.
а) Если х 5, т.е. –3x > 4, .
Из соотношений х 5, т.е. –x > 0, х 5, т.е. x > 6, является решением данного неравенства.
Объединим найденные решения данного неравенства на различных промежутках и получим окончательное решение (–¥; 0) È (6; ¥).
Задача. Решить неравенство |x + 2| ³ |x|.
Решение. Так как обе части неравенства неотрицательны при любых х Î R, то можно выстроить «цепочку» равносильных неравенств:
|x + 2| ³ |x| Û (x + 2)2 ³ x2 Û x2 + 4x + 4 ³ 0 Û 4x + 4 ³ 0 Û 4x ³ –4 Þ Þ х ³ –1.
Полученное решение и будет решением данного неравенства.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите неравенства:
а) ; в) ;
б) ; г) .
Источник
Метод интервалов, решение неравенств
О чем эта статья:
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
графический метод;
метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два корня;
D
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
если a 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.
Разложим квадратный трехчлен на множители.
Неравенство примет вид:
Проанализируем два сомножителя:
Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.
Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.
Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Построим чертеж.
Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
(25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Источник
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
Неравенство
Графическое решение
Форма записи ответа
x c
Алгоритм решения линейного неравенства
Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.
Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .
Если a 0 , то знак неравенства меняется на противоположный , неравенство приобретает вид x ≥ b a .
Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет.
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x − 6 x ≤ − 1 + 1
Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.
Ответ:
x – любое число
x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
x ∈ ℝ
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
− 8 x + 8 x > 48 − 6
Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.
Квадратные неравенства
Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная.
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .
Отметить на числовой прямой корни трехчлена.
Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые.
Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A ) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x .
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Выбрать подходящие интервалы (или интервал).
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
a = 1, b = − 1, c = − 12
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .
Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 .
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
a = − 1, b = − 3, c = − 2
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение:
− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − .
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +.
Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ]
№3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x .
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
a = − 1, b = − 3, c = 4
D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение:
− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − .
Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
a = 1, b = − 5, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -.
Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 )
№5. Решить неравенство x 2 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − .
Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 )
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение:
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0. Найти нули числителя .
Приравнять знаменатель дроби к нулю g ( x ) = 0. Найти нули знаменателя .
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x .
Вне зависимости от знака неравенства при нанесении на ось x нули знаменателявсегдавыколотые .
Если знак неравенства строгий , при нанесении на ось x нули числителявыколотые .
Если знак неравенства нестрогий , при нанесении на ось x нули числителяжирные .
Расставить знаки на интервалах.
Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
Приравниваем числитель к нулю f ( x ) = 0.
x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
Приравниваем знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .
Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
Привести неравенство к виду f ( x ) g ( x ) ≤ 0.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -.
В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду f ( x ) g ( x ) > 0.
Приравнять числитель к нулю f ( x ) = 0.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.
x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Расставляем знаки на интервалах.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) :
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x .
Нанести решения первого и второго неравенств на ось x .
Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Решаем первое неравенство системы.
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Решаем второе неравенство системы.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Наносим оба решения на ось x .
Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Решаем первое неравенство системы.
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Решаем второе неравенство системы.
3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
Графическая интерпретация решения:
Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Наносим оба решения на ось x .
Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 )
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Решаем первое неравенство системы.
Графическая интерпретация решения:
Решаем второе неравенство системы
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется.
Графическая интерпретация решения:
Выбираем подходящие участки и записываем ответ.
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Решаем первое неравенство системы.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем второе неравенство системы
Решаем методом интервалов.
a = − 1, b = 2, c = 3
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
.
Схематично выполним соответствующий рисунок параболы:
.
.
; в) 
;
; г) 
.
