Главная » Разное

Как решать квадратные уравнения способом переброски

Содержание
  1. Метод «переброски» при решении квадратных уравнений
  2. Библиографическое описание:
  3. Похожие статьи
  4. Способы решения квадратных уравнений
  5. Оптимальные способы решения квадратных уравнений
  6. Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений
  7. Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.
  8. Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся
  9. Решение методом продолжения задач математической физики.
  10. Разрешимость одной краевой задачи для.
  11. Периодические решения разностного уравнения третьего порядка
  12. Об одной задаче определения правой части линейного.
  13. Похожие статьи
  14. Способы решения квадратных уравнений
  15. Оптимальные способы решения квадратных уравнений
  16. Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений
  17. Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.
  18. Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся
  19. Решение методом продолжения задач математической физики.
  20. Разрешимость одной краевой задачи для.
  21. Периодические решения разностного уравнения третьего порядка
  22. Об одной задаче определения правой части линейного.
  23. Как решать квадратные уравнения
  24. Понятие квадратного уравнения
  25. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
  26. Полные и неполные квадратные уравнения
  27. Решение неполных квадратных уравнений
  28. Как решить уравнение ax 2 = 0
  29. Как решить уравнение ax 2 + с = 0
  30. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
  31. Формула Виета
  32. Как разложить квадратное уравнение
  33. Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
  34. Выводим формулу корней квадратного уравнения
  35. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
  36. Примеры решения квадратных уравнений
  37. Формула корней для четных вторых коэффициентов
  38. Упрощаем вид квадратных уравнений
  39. Связь между корнями и коэффициентами

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Дата публикации: 06.04.2016 2016-04-06

Статья просмотрена: 13060 раз

Библиографическое описание:

Жигайлова, А. Б. Метод «переброски» при решении квадратных уравнений / А. Б. Жигайлова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 7.3 (111.3). — С. 11-13. — URL: https://moluch.ru/archive/111/27959/ (дата обращения: 22.11.2021).

На сегодняшний день перед выпускниками школ стоит главная задача – это успешная сдача итоговой аттестации, ЕНТ и поступление в ВУЗ. В числе обязательных предметов при сдаче государственного экзамена стоит математика. Математика – точная наука, она требует усердия, внимательности и сообразительности. Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик. Выучить это все не так-то просто, необходимо также уметь применять свои знания. Я выяснила, что в предложенном национальным центром тестирования пособие по предмету «математика» содержится около 25% заданий, решаемых с помощью квадратного уравнения или сводимых к нему. А это значит, что эффективное и удобное использование метода «переброски» поможет значительно сократить время при решении тестирования. Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?! Необходимо рассмотреть метод «переброски», который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы обратной теореме Виета.

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1)умножаем обе части на выражение:

2)вводим новую переменную y=ax:

.

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Применение метода «переброски» при решении квадратных уравнений или уравнений сводящихся к ним.

Пример1:Решить уравнение 3х2 + 10x + 7 = 0.

Найдем дискриминант по формуле:

D = 100 – 4 * 3 * 7= 16

Найдем корни квадратного уравнения по формуле:

x1,2 = (-10 ± √16) / 2*3; x1= -7/3; x2 = -1;

Выполним «переброску» и решим это же уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета:

y2 + 10y + 3 · 7 = 0;

По теореме обратной теореме Виета:

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 3. Получим:

После сокращения будем иметь x1 = -7/3; x2 = -1.

Пример 2: Решить уравнение √3×2 – 5x – √12 = 0.

По методу «переброски» будем работать не с исходным, а с новым квадратным уравнением:

у2 – 5y – √12 · √3 = 0;

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно -6.

Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

Пример 3: Решите квадратное неравенство: 5×2 – 11x +2 › 0

Рассмотрим функцию y=5×2 – 11x +2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси x. Для этого решим уравнение 5×2 – 11x +2 =0.

Применим метод «переброски».

x1 = 10/5 =2; x2 = 1/5 = 0,2.

Значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны 2 и 0,2.

Покажем схематически, как расположена парабола на числовой прямой

+ — +

0,2 2 x

Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение 3sin2x – 7sinx + 4 = 0.

3sin2x – 7sinx + 4 = 0

Применим метод «переброски».

нет решения, т.к. sinxне принадлежит отрезку [-1;1]

Ответ: x= π/2 + 2πn; n ϵ z

Пример 5: Решить уравнение 4271×2 – 4272x + 1 = 0.

По рассматриваемому методу нам необходимо найти числа, сумма которых равна 4272, а произведение 4271 (после «переброски» свободный член равен 1 · 4271 = 4271). Это будут числа 4271 и 1. Тогда получим:

x1 = 4271/4271; x2 = 1/4271.

А после сокращения будем иметь корни x1 = 1; x2 = 1/4271.

Пример 6: Решить уравнение 5sin2x – 8sinxcosx + 3cos2x = 0.

Данное уравнение является однородным, разделим всё уравнение на cos2x (cos2x≠0).

5tg2x – 8tgx + 3 = 0

Заменяем tgx на tи получаем уравнение:

Применим метод «переброски»:

Найдем корни квадратного уравнения:

Следовательно,t1= 3/5; t2=5/5=1.

Вернемся к постановке

x = arctg3/5 + πn; n ϵ z.

x = π/4 + πn; n ϵ z.

Ответ: x = arctg3/5 + πn; n ϵ z,

Пример 7: Дана функция y = 2×2-3x+1. Найдите:

b) промежутки в которых y>0, y 0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞),

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Графическое решение квадратного уравнения. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Ответ:8,0; 1,0. 2) Решим с помощью номограммы уравнение.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

уравнение, квадратное уравнение, способ решения, свободный член, решение, корень, Древняя Индия, исходное уравнение, полный квадрат, современный вид.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения.

Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.

Характеристика. Теоремы. Показательными уравнениями называют уравнения вида:af(x)

16 ∙ =. — равенство верное. Исходному уравнению удовлетворяет только значение x = 24.

6) Получить ответ. Приведение к квадратному уравнению: 1) Записать в виде: A + B + C = 0.

Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся

Способ 1: выделим для решения задачи квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена

Ответ: 1. Способ 2: извлеките кубический корень . Будем искать рациональные числа а и , такие, что .

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим, что .

Читайте также:  Способы реализации миссии объекта управления отражает

Решение методом продолжения задач математической физики.

Вопрос — ответ.

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной области мы можем использовать следующие леммы.

Разрешимость одной краевой задачи для.

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке. (11). где . Теорема 8. Пусть существует такое . что выполнены условия

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Вопрос — ответ.

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Об одной задаче определения правой части линейного.

Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и

Основные термины (генерируются автоматически): обратная задача, дифференциальное уравнение, единственность решения.

Похожие статьи

Способы решения квадратных уравнений

Графическое решение квадратного уравнения. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Ответ:8,0; 1,0. 2) Решим с помощью номограммы уравнение.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

уравнение, квадратное уравнение, способ решения, свободный член, решение, корень, Древняя Индия, исходное уравнение, полный квадрат, современный вид.

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения.

Общий вид показательных уравнений. Характеристика. Теоремы.

Характеристика. Теоремы. Показательными уравнениями называют уравнения вида:af(x)

16 ∙ =. — равенство верное. Исходному уравнению удовлетворяет только значение x = 24.

6) Получить ответ. Приведение к квадратному уравнению: 1) Записать в виде: A + B + C = 0.

Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся

Способ 1: выделим для решения задачи квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена

Ответ: 1. Способ 2: извлеките кубический корень . Будем искать рациональные числа а и , такие, что .

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим, что .

Решение методом продолжения задач математической физики.

Вопрос — ответ.

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной области мы можем использовать следующие леммы.

Разрешимость одной краевой задачи для.

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке. (11). где . Теорема 8. Пусть существует такое . что выполнены условия

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Вопрос — ответ.

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Об одной задаче определения правой части линейного.

Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и

Основные термины (генерируются автоматически): обратная задача, дифференциальное уравнение, единственность решения.

Источник

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнения — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значения неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать выражение 3 + x = 7, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Есть три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению ax 2 + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

    • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

    • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Пифагора: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Выводим формулу корней квадратного уравнения

    Продолжим изучать формулу корней квадратного уравнения.

    Пусть перед нами есть задача решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Выполним ряд равносильных преобразований:

      разделим обе части этого уравнения на отличное от нуля число a, после чего получим приведенное квадратное уравнение:

    выделим полный квадрат левой части нового уравнения:

    ,

    после чего уравнение примет вид

    перенесем два последних слагаемых в правую часть и сменим знак на противоположный:

    преобразуем выражение в правой части:

    Так, мы пришли к уравнению , которое полностью равносильно исходному ax 2 + bx + c = 0.

    Отсюда выводы про корни уравнения :

    И еще один вывод: есть у уравнения корень или нет, зависит от знака выражения в правой части. При этом важно помнить, что знак этого выражения задается знаком числителя. Потому выражение принято называть дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

    По значению и знаку дискриминанта можно сделать вывод, есть ли действительные корни у квадратного уравнения, и сколько.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

    • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

    Источник

    Читайте также:  Рекомендации по устройству фундаментов способом опускного колодца
    Оцените статью
    Разные способы
    © 2024 Разные способы.
    Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.