Задача «встреча». Аналитический способ решения
Теперь решим задачу из предыдущего параграфа другим способом – аналитическим. Посмотрим на рис. 20 и вспомним, что было сделано за первые три шага решения этой задачи.
Шаг 1 . Мы ввели систему отсчета: 1) выбрали началом отсчета дерево, от которого начинал свое движение пешеход; 2) направили координатную ось вдоль дороги в направлении движения пешехода; 3) включили часы (секундомер) в момент начала движения тел.
Шаг 2 . Были определены начальные координаты пешехода (xп0 = 0) и велосипедиста (xв0= 20 м).
Шаг 3 . Используя введенную систему отсчета, мы определили значения скоростей движения пешехода (vп = 1 м/с) и велосипедиста (vв = -3 м/с).
Таким образом, первые три шага решения задачи не зависят от того, каким способом (графическим или аналитическим) мы собираемся ее решать. Но уже следующий шаг будет отличаться от того, что мы делали при графическом способе решения.
Шаг 4 (аналитический). Запишем в аналитическом виде законы движения тел, учитывая известные данные. Поскольку в задаче движутся два тела (пешеход и велосипедист), то мы получаем два закона движения:
xп = 0 + 1 · t, xв = 20 — 3 · t.
Шаг 5 (аналитический) . Представим в виде уравнения условие задачи – встречу велосипедиста и пешехода. Встреча двух тел означает, что положения тел в пространстве совпадут в некоторый момент времени t = tвстр, т. е. в этот момент времени совпадут их координаты. Поэтому условие встречи будет иметь вид:
Шаг 6 (аналитический) . Запишем вместе полученные в шагах 4 и 5 выражения, присвоив каждому из них свои номер и название.
xп = 0 + 1 · t, (1) (закон движения пешехода)
xв = 20 — 3 · t, (2) (закон движения велосипедиста)
xп = xв. (3) (условие встречи пешехода и велосипедиста)
Шаг 7 (аналитический). Решение уравнений.
Для того чтобы найти значение времени t в интересующий нас момент встречи, воспользуемся условием встречи пешехода и велосипедиста – уравнением (3). Оно предполагает равенство координат двух тел. Подставим в него выражения для xп и xв из уравнений (1) и (2):
0 + 1 · t = 20 — 3 · t
Приведем подобные слагаемые и решим уравнение:
(1+3) · t = 20, t = 20/4 = 5 (с).
Таким образом, мы установили, что встреча пешехода и велосипедиста состоится через 5 с после начала движения.
Теперь определим координату точки, в которой состоится встреча. Для этого подставим полученное значение момента встречи tвстр = 5 с в закон движения пешехода – уравнение (1):
xп = 0 + 1 · tвстр = 0 + 1 · 5 = 5 (м).
Это означает, что в момент встречи координата пешехода будет равна xп = 5. Следовательно, встреча произойдет в 5 м от начала отсчета – дерева, от которого начал движение пешеход.
Ясно, что координату места встречи можно было определить, подставив время tвстр = 5 с и в закон движения велосипедиста – уравнение (2):
xв = 20 — 3 · tвстр = 20 — 3 · 5 = 5 (м).
Естественно, мы получили то же самое значение хвстр, так как координаты пешехода и велосипедиста в момент встречи совпадают.
Итоги
При аналитическом способе решения задачи «встреча» момент встречи и координата места встречи определяются из равенства координат в законах движения тел, записанных в аналитическом виде.
1. Определите аналитическим способом время и место встречи пешехода и велосипедиста (начните с шага 3) в выбранной нами ранее системе отсчета, связанной с деревом, если:
а) значение скорости пешехода осталось прежним vп = 1 м/с, а велосипедист едет ему навстречу со скоростью |vв| = 4 м/с;
б) значение скорости пешехода vп = 3 м/с, а велосипедист едет со скоростью, значение которой vв = -7 м/с.
2. Выполните предыдущее упражнение, решая задачу графическим способом.
3. Определите аналитическим способом время и координату встречи пешехода и велосипедиста, которые движутся навстречу друг другу со скоростями |vп| = 2 м/с и |vв| = 8 м/с, если начальное расстояние между ними l = 160 м и они начинают движение одновременно. (Начните решение с шага 1.)
4. Сформулируйте условие и решите задачу о встрече велосипедиста и мотоциклиста, изображенных в момент времени t = 0 на рис. 24.
Источник
Решение задач по физике. Способы и алгоритмы решения.
Презентация «Решение задач по физике. Способы и алгоритмы решения» очень полезна для начинающих учителей физики. В ней рассмотрены вопросы, касающиеся типов задач, способов их решения, методика решения количественных задач. Приведена современная классификация задач и один из основных методов решения задач по физике -аналитико-синтетический.
Есть алгоритмы для решения отдельных групп задач по физике, которые мы используем и знакомим с ними учащихся. Разумеется, я привела не все алгоритмы, да и это, наверное, невозможно, ведь “сколько существует задач, столько же и алгоритмов” их решения.
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по физике. Способы и алгоритмы решения.»
«Решение задач по физике. Способы и алгоритмы решения.»
Физические задачи классифицируют по различным признакам.
По способу выражения условия физические задачи делятся на четыре основных вида: текстовые, экспериментальные, графические и задачи рисунки.
Каждый из них, в свою очередь, разделяется на количественные (или расчетные) и качественные (или задачи вопросы).
В то же время основные виды задач можно разделить по степени трудности на легкие и трудные, тренировочные и творческие задачи и другие типы.
Современная классификация задач.
— Информационные задачи обеспечивают получение дополнительной информации.
- Межпредметные задачи требуют для своего решения знания других предметов школьной программы – химии, географии и т.д.
- Эвристические задачи — это те, решение которых происходит в познании, интуитивно.
- Редуцированные или типовые задачи решаются по алгоритму.
- Интегративные задачи – нестандартные творческие задачи с необозначенными явно путями решения. Ядром задачи служит какая-либо ситуация. По содержанию интегративная задача – межпредметная, ее текст позволяет получить ученикам новые знания
При решении задач могут быть использованы арифметический (записывают формулу и сразу вычисляют содержащуюся в ней неизвестную величину), алгебраический (требует определенных знаний по математике), графический (объектом исследования является график), геометрический (используются известные учащимся соотношения из геометрии) способы.
Аналитико-синтетический метод — основной метод решения задач по физике в средней школе во всех классах.
решение задачи начинают с анализа вопроса задачи и записи формулы, в которую входит искомая величина. Затем для величин, содержащихся в этой формуле, записывают уравнение, устанавливающее их связь с величинами, заданными в условии.
Анализ: Чтобы определить давление трактора на почву, надо знать действующую на него силу тяжести, и площадь опоры. Сила тяжести в задаче не дана, площадь опоры не указана. Для определения общей площади опоры, т.е. площади опорной части двух гусениц, надо узнать площадь опоры одной гусеницы и умножить ее на два. Площадь одной части одной гусеницы можно определить, так как известны ее ширина и длина. Силу тяжести, действующую на трактор, можно найти по известной его массе.
решение задачи начинают с выяснения связей величин, данных в условии задачи, с другими до тех пор, пока в уравнение в качестве неизвестной не войдет искомая величина.
Синтез: Рассуждение ведут в обратном порядке, в его ходе составляют план решения и производят необходимые вычисления. Последовательность рассуждения примерно следующая. Зная ширину длину опорной части гусеницы, можно определить опорную площадь одной гусеницы. Для этого надо длину на ширину. Зная опорную площадь одной гусеницы, можно определить общую площадь опоры трактора. Для этого надо найденную площадь, т.е. площадь опорной части одной гусеницы, умножить на два. Зная массу трактора, находят силу тяжести, действующую на него. По силе тяжести и площади опоры можно определить давление трактора на почву. Для этого силу тяжести надо разделить на площадь опоры.
Методика решения количественных задач
Решение простых и сложных количественных задач на уроке складывается обычно из следующих элементов:
-чтение условия задачи;
-краткая запись условия и его повторение;
-выполнения рисунка, схемы или чертежа;
-анализ физического содержания задачи и выявление путей (способов) ее решения;
-составление плана решения и выполнение решения в общем виде;
-прикидка и вычисление;
-анализ результата и проверка решения.
Общий алгоритм решения задач
1.Внимательно прочитайте условие задачи и уясните основной вопрос; представьте процессы и явления, описанные в задаче.
2. Повторно прочитайте содержание задачи для того, чтобы четко представить основной вопрос задачи, цель решения ее, заданные величины, опираясь на которые можно вести поиски решения.
3. Произведите краткую запись условия задачи с помощью общепринятых буквенных обозначении.
4. Выполните рисунок или чертеж к задаче.
5. Определите, каким методом будет решаться задача; составьте план ее решения.
6. Запишите основные уравнения, описывающие процессы, предложенные задачной системой.
7. Найдите решение в общем виде, выразив искомые величины через заданные.
8. Проверьте правильность решения задачи в общем виде, произведя действия с наименованиями величин.
9. Произведите вычисления с заданной точностью.
10. Произведите оценку реальности полученного решения.
11. Запишите ответ.
Алгоритмы решения задач по физике
Кинематика материальной точки. [1] стр. 18
- Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
- Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж.
-Выбрать систему отсчета (это предполагает выбор тела отсчета, начала системы координат, положительного направления осей, момента времени, принимаемого за начальный).
-Определить вид движения вдоль каждой из осей и написать кинематические уравнения движения вдоль каждой оси – уравнения для координат и для скорости (если тел несколько, уравнения пишутся для каждого тела).
-Определить начальные условия (координаты и проекции скоростей в начальный момент времени), а также проекции ускорения на оси и подставить эти величины в уравнения движения.
-Определить дополнительные условия, т.е. координаты или скорости для каких-либо моментов времени (для каких-либо точек траектории), и написать кинематические уравнения движения для выбранных моментов времени (т.е. подставить эти значения координат и скорости).
- Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
- Решение проверить и оценить критически.
Динамика материальной точки. [1] стр. 36
- Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
- Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж.
-Выбрать систему отсчета.
-Найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения и изобразить его на чертеже.
-Записать уравнение второго закона Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси координат.
-Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
Если в задаче требуется определить положение или скорость точки, то к полученным уравнениям динамики добавить кинетические уравнения.
- Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
- Решение проверить и оценить критически.
Статика. [1] стр. 53
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж.
-Выбрать систему отсчета.
-Найти все силы, приложенные к находящемуся в равновесии телу.
-Написать уравнение, выражающее первое условие равновесия ( F i = 0), в векторной форме и перейти к скалярной его записи.
-Выбрать ось, относительно которой целесообразно определять момент сил.
-Определить плечи сил и написать уравнение, выражающее второе условие равновесия ( M i = 0).
-Исходя из природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
3.Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Закон сохранения импульса. [1] стр. 67
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж до и после взаимодействия.
-Выбрать систему отсчета.
-Выделить систему взаимодействующих тел и выяснить, какие силы для нее являются внутренними, а какие – внешними.
-Определить импульсы всех тел системы до и после взаимодействия.
-Если в целом система незамкнутая, сумма проекций сил на одну из осей равна нулю, то следует написать закон сохранения лишь в проекциях на эту ось.
-Если внешние силы пренебрежительно малы в сравнении с внутренними (как в случае удара тел), то следует написать закон сохранения суммарного импульса ( p = 0) в векторной форме и перейти к скалярной.
-Если на тела системы действуют внешние силы и ими нельзя пренебречь, то следует написать закон изменения импульса ( p = Ft ) в векторной форме и перейти к скалярной.
-Записать математически все вспомогательные условия.
3.Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Закон сохранения механической энергии. [1] стр. 82
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж.
-Выбрать систему отсчета.
-Выделить два или более таких состояний тел системы, чтобы в число их параметров входили как известные, так и искомые величины.
-Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии.
-Определить, какие силы действуют на тела системы – потенциальные или непотенциальные.
-Если на тела системы действуют только потенциальные силы, написать закон сохранения механической энергии в виде: Е 1 = Е 2 .
-Раскрыть значение энергии в каждом состоянии и, подставить их в уравнение закона сохранения энергии.
3.Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Теплота (первое начало термодинамики Q = U + A ). [3] стр. 168
Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы.
В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Определить изолированную систему.
-Установить у каких тел внутренняя энергия уменьшается, а у каких – возрастает.
-Составить уравнение теплового баланса ( U = 0 ), при записи которого в выражении cm(t 2 – t 1 ) , для изменения внутренней энергии, нужно вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.
3.Полученное уравнение решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
В задачах второй группы рассматриваются явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия – изменение внутренней энергии одного тела в следствие совершенной им или над ним работы.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т.е. действительно ли Q = 0 .
-Установить у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения – работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом.
-Записать уравнение 0 = U + A для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учитывая знак перед А и к.п.д. рассматриваемого процесса.
-Если работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии одного из тел, то А = U , а если внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, то А = U .
-Найти выражения для U и A .
-Подставляя в исходное уравнение вместо U и A их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины.
3.Полученное уравнение решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие.
Тепловое расширение твердых и жидких тел. [3] стр. 184
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Для каждого теплового состояния каждого тела записать соответствующую формулу теплового расширения.
-Если в задаче наряду с расширением тел рассматриваются другие процессы, сопутствующие расширению, – теплообмен, изменение гидростатического давления жидкости или выталкивающей силы, то к уравнениям теплового расширения надо добавить формулы калориметрии и гидростатики.
Синтез (получить результат).
3.Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
По условию задачи даны два или несколько состояний газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Представить какой газ участвует в том или ином процессе.
-Определить параметры p,V и T , характеризующие каждое состояние газа.
-Записать уравнение объединенного газового закона Клапейрона для данных состояний.
-Если один из трех параметров остается неизменным, уравнение Клапейрона автоматически переходит в одно из трех уравнений: закон Бойля – Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
-Записать математически все вспомогательные условия.
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
По условию задачи дано только одно состояние газа, и требуется определить какой либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Установить, какие газы участвуют в рассматриваемых процессах.
-Определить параметры p,V и T , характеризующие каждое состояние газа.
-Для каждого состояния каждого газа (если их несколько) составить уравнение Менделеева – Клапейрона. Если дана смесь газов, то это уравнение записывается для каждого компонента. Связь между значениями давлений отдельных газов и результирующим давлением смеси устанавливается законом Дальтона.
-Записать математически дополнительные условия задачи
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность. [3] стр. 219
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Установить число состояний газа, рассматриваемых в условии задачи, обратить особое внимание на то, дается ли чистый пар жидкости или смесь пара с сухим воздухом.
-Для каждого состояния пара записать уравнение Менделеева – Клапейрона и формулу относительной влажности, если о последней что-либо сказано в условии.
-Составить уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого состояния сухого воздуха (если дана смесь пара с воздухом). В тех случаях, когда при переходах из одного состояния в другое масса пара не меняется, вместо уравнения Менделеева – Клапейрона можно использовать сразу объединенный газовый закон.
-Записать математически все вспомогательные условия
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Электростатика. [3] стр. 234
Решение задачи о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать рисунок или чертеж.
-Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, и записать для него уравнение равновесия или основное уравнение динамики материальной точки.
-Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение.
-Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавляют уравнение закона сохранения зарядов.
-Записать математически все вспомогательные условия
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Постоянный ток. [2] стр. 274
Задачи на определение силы тока, напряжения или сопротивления на участке цепи.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Начертить схему и указать на ней все элементы.
-Установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно.
-Расставить токи и напряжения на каждом участке цепи и записать для каждой точки разветвления (если они есть) уравнения токов и уравнения, связывающие напряжения на участках цепи.
-Используя закон Ома, установить связь между токами, напряжениями и э.д.с.
-Если в схеме делают какие-либо переключения сопротивлений или источников, уравнения составляют для каждого режима работы цепи.
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Электромагнетизм. [2] стр. 323
Задачи о силовом действии магнитного поля на проводники с током.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Сделать схематический чертеж, на котором указать контур с током и направление силовых линий поля. Отметить углы между направлением поля и отдельными элементами контура.
-Используя правило левой руки, определить направление сил поля (сила Ампера), действующих на каждый элемент контура, и проставить векторы этих сил на чертеже.
-Указать все остальные силы, действующие на контур.
-Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Задачи о силовом действии магнитного поля на заряженные частицы.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Нужно сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного и электрического полей, проставить вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда.
-Изобразить силы, действующие на заряженную частицу.
-Определить вид траектории частицы.
-Разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному.
-Составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил.
-Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
3.Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Задачи на закон электромагнитной индукции.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Установить причины изменения магнитного потока, связанного с контуром, и определить какая из величин В, S или , входящих в выражение для Ф , изменяется с течением времени.
-Записать формулу закона электромагнитной индукции.
-Выражение для Ф представить в развернутом виде ( Ф ) и подставить в исходную формулу закона электромагнитной индукции.
-Записать математически все вспомогательные условия.
3.Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Преломление света. [3] стр. 366
Задачи о преломлении света на плоской границе раздела двух сред.
1.Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
2.Анализ (построить математическую модель явления):
-Установить переходит ли луч из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот.
-Сделать чертеж, где указать ход лучей, идущих из одной среды в другую.
-В точке падения луча на границу раздела сред провести нормаль и отметить углы падения и преломления.
-Записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую.
-Составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.
3.Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
4.Решение проверить и оценить критически.
Гутман В.И., Мощанский В.Н. Алгоритмы решения задач по механике в средней школе: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1988. – 95 с.
Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: журнал “Квантор”, 1991.
Балаш В.А. Задачи по физике и методы их решения. Изд. 3-е, переаб. и испр. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1974. – 430 с.
Игруполо В.С., Вязников Н.В. Физика: алгоритмы, задачи, решения: Пособие для всех, кто изучает и преподает физику. – М.: Илекса, Ставрополь: Сервисшкола, 2002. – 592 с.
Рекомендую так же изучить следующую литературу:
Каменский С.Е., Орехов В.П. Методика решения задач по физике в средней школе. – М.:Просвещение, 1971.
Усова А.В., Тулькибаева Н.Н. Практикум по решению физических задач. 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 206 с.
Кобушкин В.К. Методика решения задач по физике. – Издательство ленинградского университета, 1970.
Савченко Н.Е. Решение задач по физике. Пособие для поступающих в вузы. – Минск, “Вышэйш. школа”, 1977. – 240 с.
Источник
