Как разрезать квадрат 3 разными способами

Три в одном

Задача

Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.

Подсказка

Три прямоугольника — это немного, поэтому можно перебрать случаи расположения их в квадрате и проверить, могут ли в каждом из случаев прямоугольники быть подобными.

Решение

Если немного порисовать разбиения квадрата на три прямоугольника, чтобы понять, как они вообще могут в нем располагаться, то довольно быстро можно прийти к тому, что есть всего два разных случая (с точностью до поворотов квадрата). Действительно, к верхней стороне квадрата могут примыкать три, два или один прямоугольник. Если их три, то получается конфигурация, показанная на рис. 1 слева. Если два, то — конфигурация, показанная на этом рисунке справа. Если же к верхней стороне примыкает только один прямоугольник, то два других располагаются под ним, а их общая сторона либо горизонтальна (и тогда это то же самое, что первая конфигурация), либо вертикальна (тогда это то же самое, что вторая конфигурация).

Про первую конфигурацию сразу ясно, что все три прямоугольника равны друг другу: по условию они должны быть подобны, но из расположения получается, что равны их большие стороны.

Разберемся со второй конфигурацией. Будем считать ориентацией прямоугольника направление его более длинной стороны (ясно, что у нас тут фигурируют только вытянутые прямоугольники, у которых одна сторона длиннее другой). Как могут быть ориентированы два верхних прямоугольника?

Они не могут быть оба вертикальными (как на рис. 1), потому что тогда они будут равны (большие стороны совпадают), и поэтому отношение большей стороны к меньшей у них меньше 2 (так как меньшая сторона равна половине стороны квадрата, а большая не больше целой стороны квадрата). А у нижнего прямоугольника это отношение будет больше 2. Значит, он не может быть подобным верхним.

Они могут быть оба горизонтальными (рис. 2, слева). Тогда два верхних прямоугольника опять равны и несложно посчитать, что для того, чтобы все три прямоугольника были подобными, нужно, чтобы стороны каждого относились друг к другу как 3:2.

Наконец, может ли быть так, что один из верхних прямоугольников горизонтальный, а второй — вертикальный? Проверим. Эта ситуация изображена на рисунке 2 справа. Введем обозначения, как этом рисунке. Учитывая подобие прямоугольников, находим:

\[ BE = \dfrac1y,\ AD = xy. \]

Поскольку стороны квадрата равны, получаем равенства:

\[ y+\dfrac1y = 1+x = xy.\]

Правое равенство позволяет выразить y:

после чего из левого равенства получается уравнение

Его можно переписать в виде

У этого кубического уравнения один действительный корень \(\rho\approx1<,>3247\ldots\), так что такой случай реализуется. Итого, есть три способа разрезать квадрат на подобные прямоугольники.

Послесловие

Поскольку для кубических уравнений известны формулы, дающие точные решения, то можно быть уверенным, что корень есть и он один. В радикалах это число записывается так:

Также его можно записать и в виде бесконечной последовательности вложенных друг в друга радикалов:

Интересно, что у этого числа есть свое «имя»: голландский архитектор (и по совместительству монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвал его пластичным числом (plastic number). Ван дер Лаан создал не очень много зданий и в основном это были церкви, но его теоретические работы имели определенный вес. В частности, он разработал теорию гармоничных соотношений между элементами здания, в которой пластическое число играло центральную роль.

Рис. 3. Здания, спроектированные Гансом ван дер Лааном. Слева: бенедектинский монастырь в Тумелилла, Швеция. Справа: интерьер аббатства в Маастрихте, Нидерланды. Фото с сайта divisare.com

Такое название по его задумке отражало то, что этому числу можно придать геометрические «формы». С одним примером такой формы мы познакомились в задаче. Другой пример возникает так. Допустим, что имеется неограниченный запас коробок (прямоугольных параллелепипедов) разных размеров с целыми длинами сторон. Начнем с коробки 1×1×1, приставим к ней сбоку еще одну такую коробку — получится коробка 2×1×1. Приставим к ней спереди такую же, чтобы получилась коробка 2×2×1. Приставим к ней снизу коробку 2×2×2, чтобы получилась коробка 2×2×3. Далее нужно продолжать так: приставлять новые коробки поочередно сбоку, спереди, снизу, а размер их выбирать так, чтобы два измерения (это размеры грани, к которой приставляется очередная коробка) совпадали с измерениями текущей коробки, а третье измерение было таким, каким получилось изменившееся измерение за два «хода» до этого. Первые шаги показаны на рисунке 4. Например, пятым «ходом» справа приставляется коробка 2×2×3 и ее «длина» (измерение вдоль стрелочек на этом рисунке) равна 2, потому что за два хода до этого у коробки получилась «ширина», равная 2 (это правая коробка в верхнем ряду).

Рис. 4. Построение «пластической» коробки. Рисунок из статьи V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane

Если продолжать этот процесс, то размеры коробок будут, естественно, увеличиваться. Но вот отношения их сторон («соседних» по длине, как показано на рис. 4) будут стремиться к конечному пределу, которым и является пластическое число.

Идея обоснования следующая. Заметим, что размеры коробок — это тройки стоящих рядом чисел из последовательности 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, . Если обозначить n-й член этой последовательности P_n, то при n > 3 выполняется равенство P_n = P_n−2 + P_n−3. Точнее, это линейное рекуррентное соотношение и задает эту последовательность, которая называется последовательностью Падована (Padovan sequence). Оказывается, можно выразить общий член рекуррентной последовательности через корни ее характеристического многочлена. По указанным ссылкам можно подробнее ознакомиться с этой темой, сейчас важно лишь, что для данной последовательности характеристический многочлен такой: \(x^3-x-1\), а его действительный корень, как мы знаем, — пластическое число ρ. Поэтому, кстати, последовательность степеней этого числа 1, ρ, ρ 2 , ρ 3 , . удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (из этого наблюдения на самом деле и проистекает метод выражения члена последовательности через корни многочлена). У этого многочлена есть и два комплексных корня. Если их обозначить через q и s, то при некоторых константах a, b, c равенство P_n = aρ n + bq n + cs n будет верно при всех натуральных n. Но поскольку комплексные корни q и s по модулю меньше 1, их степени стремятся к нулю с ростом n.

В этом смысле пластическое число для последовательности Падована — это то же самое, что другое (и куда более известное) «архитектурное» число — золотое сечение — для последовательности Фибоначчи (а серебряное сечение — для чисел Пелля).

Еще о свойствах пластического числа можно почитать в статье V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane.

Источник

Как разрезать три квадрата на две равные части разными способами?

Математика | 1 — 4 классы

Как разрезать три квадрата на две равные части разными способами.

5 и 5 4 и 6 2 и 8 3 и 7 9и 1.

5 и 5, 4 и 6, 3 и 7.

Как надо разрезать квадрат на четыре равных части, чтобы из них можно было составить два квадрата?

Как надо разрезать квадрат на четыре равных части, чтобы из них можно было составить два квадрата?

Квадрат содержит 16 клеток?

Квадрат содержит 16 клеток.

Разрежьте квадрат по сторонам клеток на две равные части.

Сколькими способами можно разрезать квадрат.

Как разрезать квадрат 3×3 по клеткам на две части?

Как разрезать квадрат 3×3 по клеткам на две части.

Как разрезать фигуру на две части, чтобы можно было составить квадрат?

Как разрезать фигуру на две части, чтобы можно было составить квадрат?

Как разрезать прямоугольник 6х9 на две части так, чтобы из них можно сложить квадрат?

Как разрезать прямоугольник 6х9 на две части так, чтобы из них можно сложить квадрат?

Как разбить на две равные части разными способами три квадрата со сторонами 4см?

Как разбить на две равные части разными способами три квадрата со сторонами 4см?

Вырезать три одинаковых квадрата?

Вырезать три одинаковых квадрата.

И разрезать на две одинаковые части.

Как разрезать квадрат на 2 равных части?

Как разрезать квадрат на 2 равных части.

Две верёвки разной длины?

Две верёвки разной длины.

На сколько равных частей можно их разрезать?

Как можно разрезать квадрат по клеткам на две части 3 * 3?

Как можно разрезать квадрат по клеткам на две части 3 * 3.

Вы находитесь на странице вопроса Как разрезать три квадрата на две равные части разными способами? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 1 — 4 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Источник

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т
Посмотреть решение репетитора по математике

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.
Посмотреть решение репетитора по математике:

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Подсказка репетитора по математике:
Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.
Посмотреть решение репетитора по математике

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.
Посмотреть решение репетитора по математкие

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
Посмотреть решение репетитора по математике:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
Посмотреть решение репетитора по математике:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.
Посмотреть решение репетитора по математике

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?
Посмотреть решение репетитора по математике

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие: Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.
Посмотреть решение репетитора по математкие

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?
Посмотреть решение репетитора по математике

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста.
Посмотреть решение репетитора по математике:
Комментарий к решению: разрежьте так ка кпоказано на рисунке и вставьте голубые треугольники в пустые области, показанные фиолетовыми треугольниками.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике Москва, Строгино.

Классный сайт! Спасибо за самые интересные во всём интернете задачи с ответами!

Источник