Как работает способ группировки

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Источник

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Источник

Способ группировки

Способ группировке в алгебре — один из способов разложения многочлена на множители.

Способ группировки можно разбить на два этапа:

1) Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя (в одной из групп общего множителя может не быть).

2) Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым.

Лучше при группировке между скобками всегда ставить знак «+»:

Из первых скобок выносим общий множитель a, из вторых — -3. При вынесении «-» за скобки все знаки в скобках меняем на противоположные:

Общий множитель (x+7) выносим за скобки:

Группировать можно было иначе: первое слагаемое — с третьим, второе — с четвертым:

Из первых скобок выносим общий множитель x, из вторых — 7:

Общий множитель (a-3) выносим за скобки:

При любом способе группировки ответ получается одинаковый (от перестановки мест множителей произведение не меняется).

Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

Из первых скобок выносим общий множитель x, из вторых — «-«:

Общий множитель (4-y) выносим за скобки:

Внимание! Сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться после вынесения. Если общий множитель совпадает с одним из слагаемых (с точностью до знака), на месте этого слагаемого после вынесения общего множителя за скобки остается единица (+1 или -1).

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третьим, четвертое — с пятым и шестым:

Из первых скобок выносим общий множитель a, из вторых — -b:

Общий множитель (a²+1+b²) выносим за скобки:

Можно было группировать и по два слагаемых. Например, первое — с четвертым, второе — с пятым, третье — с шестым:

Из первых скобок выносим общий множитель a², во вторых скобках общего множителя нет, из третьих — b²:

Общий множитель (a-b) выносим за скобки. Не забываем поставить единицу на место (a-b)!

Источник

Урок на тему «Способ группировки»

Конспект урока по алгебре

Оренбург, 2013 год

Способ группировки (слайд 1)

Три пути ведут к знанию:

путь размышления — это путь самый благородный,

путь подражания — это путь самый легкий

и путь опыта — это путь самый горький.

1. Продолжить формировать полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений по теме урока;

2. Рассмотреть упражнения более сложного характера;

3. Коррекция внимания на основе обучения навыкам контроля и самопроверки;

4. Воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: раздаточный материал, проектор, интерактивная доска.

Тип урока: формирование умений и навыков

Формы работы учащихся : индивидуальная, групповая и фронтальная работа.

Ι. Организационный момент.

Учитель п риветствует учащихся.

Работа с дежурным звуком .(слайд 4)

Сегодня мы с Вами продолжим изучение способа группировки, рассмотрим задания, при выполнении которых нам понадобится более глубокое понимание этого способа разложения на множители.

ΙΙ. Проверка домашнего задания.

ΙΙΙ. Устная работа.

Слайд 5 Вставьте пропущенное выражение

-3 ay -12 y =-3 y ( a +…)

( a -5)(11- b )=11 a — ab -55+…

Слайд 7,8 Восстановите порядок выполнения разложения многочлена на множители

Составление алгоритмов: задание на соответствие:

а) вынесение общего множителя за скобки;

б) способ группировки.

Вынесение общего множителя

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Восстановить порядок выполнения действий

при вынесении общего множителя за скобки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается вы­делить общий множитель, являющийся многочленом.

Восстановить порядок выполнения действий при разложении
многочлена на множители способом группировки

Слайд 6 Найдите ошибку

3 x ( x -3)=3 x -9 x

X ( a + c )-2( a + c )=( a + c )( x +2)

ΙV. Формирование умений и навыков.

Слайд 10 Выполните группировку

5 a -5 b + ma — mb

1. Слайд 11 Самостоятельная работа (дифференцированная)

Разложить на множители: «3»

a) 1 (m-n)+2p(m-n) ; ( m-n)(1+2p)

b) 7а-7в+ах-вх (a-b)(7+x)

b) 2cx-cy-6x+3y (2x-y)(c-3)

c) x 2 +xy+xy 2 +y 3 (x+y)(x+y 2 )

a) x 4 +x 3 y-xy 3 -y 4 (x+y)(x 3 -y 3 )

b) xy 2 -by 2 -ax+ab+y 2 -a (y 2 -a)(x-b+1)

c) x 2 -3x+6-2x (x-2)(x-3)

1. Крепко зажмуриться, широко открыть глаза (повторить 4-5 раз)

2. Нарисовать глазами следующие фигуры (справа налево): круг, написать свое имя, горизонтальную восьмерку.

3. Взять ручку в вытянутую руку. Посмотреть на выбранную точку на доске, затем на кончик ручки, затем на кончик носа. Повторить в обратном порядке. Выполнить упражнение 3 раза.

2. Исследовательская работа на примере (работа в парах)

а) Разложите многочлен на множители 35 a 2 -21 ax +30 ac -18 xc

Как вы считаете, каким образом знак влияет на многочлен? Сможем ли мы разложить многочлен, поменяв знаки? Проведите исследование и сделайте вывод. Каким образом их можно менять, а каким нельзя.

б) поменяйте знак у каждого члена, разложите на множители, сделайте вывод

-35a 2 +21ax-30ac+18xc = (-35a 2 +21ax) — (30ac-18xc) =

— 7a (5a-3x) — 6c (5a-3x) = — (5a-3x)*(7a+6c);

Вывод : да, можно вынести за скобки (-1).

в) измените все знаки, кроме одного, разложите на множители, сделайте вывод

г)измените только два знака, разложите на множители, сделайте вывод

3. Самостоятельная работа творческого характера с самопроверкой:

Вместо коэффициентов многочлена ax 3 + bx 2 + cx + d запишите числа: 3,5,6,10 так, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители.

Ответ: Всего можно составить 8 таких многочленов:

a) 3 x 3 +5 x 2 +6 x +10

b) 5 x 3 +3 x 2 +10 x +6

c) 6 x 3 +3 x 2 +10 x +5

d) 10 x 3 +5 x 2 +6 x +3

e) 3x 3 +6x 2 +5x+10

f) 5x 3 =10x 2 +3x+6

g) 6x 3 +10x 2 +3x+5

h) 10x 3 +6x 2 +5x+3

Где используется способ группировки?

Что нового узнали на уроке?

С каким настроением уходите с урока?

Оцените свою работу на уроке (оценка за самостоятельную работу, оценка за исследование многочлена, оценка за творческое задание)

VI . Домашнее задание.

Учитель дает работу на дом по теме урока. (слайд № 12)

Учитель просит учащихся оценить урок по карте рефлексии.

Разгадав слова по горизонтали, вы узнаете ключевое слово.

1. Общий множитель 8х 2 – 32у. (восемь)

2. Сумма показателей всех переменных одночлена. (степень)

3. Числовой множитель одночлена. (коэффициент)

4. Способ разложения многочлена на множители. (группировки)

5. Слагаемые, имеющие общую буквенную часть. (подобные)

6. Выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней. (одночлен)

7. Какое число получается при возведении в нечетную степень отрицательного числа. (отрицательное)

8. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен. (распределительное)

9. Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство. (корень)

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение

Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось

Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.

Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.

Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Оценочная карта урока

Работа учащихся состоит из пяти заданий. Результаты выполнения каждого задания ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Ф. И. уч-ся _____________________________________________________________________

Разложить на множители: «3»

d) 1 (m-n)+2p(m-n) ; ( m-n)(1+2p)

e) 7а-7в+ах-вх (a-b)(7+x)

e) 2cx-cy-6x+3y (2x-y)(c-3)

f) x 2 +xy+xy 2 +y 3 (x+y)(x+y 2 )

d) x 4 +x 3 y-xy 3 -y 4 (x+y)(x 3 -y 3 )

e) xy 2 -by 2 -ax+ab+y 2 -a (y 2 -a)(x-b+1)

f) x 2 -3x+6-2x (x-2)(x-3)

Разложить на множители: «3»

g) 1 (m-n)+2p(m-n) ; ( m-n)(1+2p)

h) 7а-7в+ах-вх (a-b)(7+x)

h) 2cx-cy-6x+3y (2x-y)(c-3)

i) x 2 +xy+xy 2 +y 3 (x+y)(x+y 2 )

g) x 4 +x 3 y-xy 3 -y 4 (x+y)(x 3 -y 3 )

h) xy 2 -by 2 -ax+ab+y 2 -a (y 2 -a)(x-b+1)

i) x 2 -3x+6-2x (x-2)(x-3)

Разложить на множители: «3»

j) 1 (m-n)+2p(m-n) ; ( m-n)(1+2p)

k) 7а-7в+ах-вх (a-b)(7+x)

k) 2cx-cy-6x+3y (2x-y)(c-3)

l) x 2 +xy+xy 2 +y 3 (x+y)(x+y 2 )

j) x 4 +x 3 y-xy 3 -y 4 (x+y)(x 3 -y 3 )

k) xy 2 -by 2 -ax+ab+y 2 -a (y 2 -a)(x-b+1)

l) x 2 -3x+6-2x (x-2)(x-3)

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

«Описание материала:

Данная разработка конспекта урока предназначена для работы на уроке алгебры 8 класса по учебнику Дорофеева в специальной коррекционной школе с пролонгированным обучение.

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Конспект урока по математике для 7 класса «Одночлен и его стандартный вид»

Конспект внеклассного мероприятия по математике «Математический светофор»

Конспект урока и презентация внеклассного мероприятия «Зажги салют!»

Мастер-класс «Роль оценивания в преодолении барьеров в обучении»

«Кері есептер £ + 4, £ – 4»

Конспект урока по математике «Умножение и деление десятичных дробей»

Конспект олимпийского урока по математике «Положительные и отрицательные числа. Повторение»

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5309643 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Попова предложила изменить школьную программу по биологии

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник