Как писать рациональным способом

Рациональные приёмы вычислений на уроках математики

Разделы: Математика

Класс: 4

Ключевые слова: математика

«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»

Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.

Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?

27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?

Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.

Рациональные приёмы сложения основываются

1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а

2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)

на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.

Свойства сложения.

1.1

а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к

38+24+15 = 77, то 36+ 24+ 15 = ?

а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к

38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?

1.2.

а+ в =С , то (а +к ) + (в – к) = С

56 + 27 = 83, то (56 + 4) + (27 – 4) = ?

Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?

Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.

Рассмотрим эти приёмы:

13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)

38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)

26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа

Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.

Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число

а – в = С, то (а +к) — в = С +к

74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49

а-в = С , то (а – к ) — в = С-к

74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43

Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.

Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.

Найди верные равенства.

229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)

174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)

358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)

617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)

Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.

Приём замены множителя или делителя на произведение.

75 * 8 = 75 * 2*2*2=

960 : 15 = 960 : 3 : 5 =

Приём умножения на 9, 99,999, 11 …

87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613

87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957

Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.

0 1 2 3 4 5 6 7

Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:

48 +14 +22 +36 =120

Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.

Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15

Сравни, не вычисляя

51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5

636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6

Задания могут даваться в занимательной форме: Математический лабиринт, составь слово, найди пару , расшифруй пословицу и т.д.

Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово

Какие приёмы использовали?

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.

СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.

Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.

Источник

Проектная работа «Рациональные способы счета»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №90»

«Рациональные способы счета»

ученик 5г класса Погребной Илья

Грибовская Валентина Алексеевна

Содержание проектной работы

«Счет и вычисления – основы порядка в голове»

Иоганн Генрих Песталоцци

Выбор темы и актуальность

Мы постоянно решаем разные задачи и в школе, и в быту, связанные с вычислениями. Чаще мы не можем выполнить эти вычисления устно, а делаем либо письменно в столбик, затрачивая уйму времени, либо на калькуляторе, а это, учитывая требования ЕГЭ, запрещенный прием.

И тут нам помогут рациональные способы вычисления.

«Овладение рациональной, быстрой и изящной техникой счета требует от человека определенных усилий, но дает взамен исключительный результат», — говорится в книге Сорокина А.С. «Техника счета».

«Неумение считать быстро и просто является настолько общим и современным недостатком, что мы его не замечаем, несмотря на весь приносимый им вред», — писал ученый И. Ф. Слудский.

Например, калькулятор не даст точное значение произведения 0,9999997∙0,9999998 (так как оно будет 15-тизначное), а такие и более сложные подсчеты производятся при расчете надежности элементов и систем.

А зная метод дополнений, его можно найти устно!

0,9.999.997 ∙ 0,9.999.998 = (1–0,0.000.003) ∙ (1–0,0.000.002) =1- 0,0.000.005 + +0,00.000.000.000.006 = 0,99.999.950.000.006.

Владение способами рационального счета – залог успешной учебы.

1. Изучить способы рационального счета.

2. Выяснить, как помогают навыки рационального счета успешной учебе.

1. Рассмотреть материал о способах рационального счета в имеющихся источниках.

2. Систематизировать приемы и способы.

3. Научиться рациональному счету.

4. Провести мастер-класс перед одноклассниками, показать преимущества владения навыками быстрого счета.

Вопросы, на которые я искал и нашел ответ в ходе работы над проектом :

Как произошли рациональные способы счёта.

Какие бывают рациональные способы счёта.

Сколько человек из нашего класса знают рациональные способы счёта.

Из истории рациональных способов счёта или устного счета

Ученые полагают, что человек научился считать более 100 тыс. лет назад . Вычислительные операции применялись во время обмена продуктами питания и орудиями труда с другими племенами, и для определения времени посадки растений.

Естественными «счетными устройствами» были пальцы рук и ног, которых древним людям вполне хватало для нехитрых расчетов.

Результаты счета фиксировались с помощью узелков на веревках или зарубок на ветках деревьев и костях животных.

Некоторые рациональные способы счёта при сложении и вычитании

При изучении данной темы я понял, что существует много рациональных способов счета, быстрых и удобных. Я покажу некоторые из них.

1 . Очень простой способ – сложение по разрядам. Для этого нужно:

Представить слагаемые в виде сумм разрядов.

Пример: 5287 + 3564

5000+3000=8000;
200+500=700;
80+60=140;
7+4=11;
8000 + 700 + 140 + 11 = 8851.

При вычитании по разрядам нужно:

Представить вычитаемое в виде суммы разрядов.

Выполнить последовательное вычитание.

Пример: 555 – 367

1) 555 – 300 = 255

2. Группировка чисел.
Если несколько слагаемых в сумме дают круглое число, то применяем переместительное и сочетательное свойства сложения.

1) 37 + 86 + 63 + 14 = (37+63) + (86+14) = 200.

2) 67 + 55 + 16 + 25 + 17 + 20 = (67+16+17) + (55+25+20) = 200.

Если несколько вычитаемых в сумме дают круглое число, то применяем свойство вычитания суммы из числа.

852 – 95 – 5 = 852 — (95 + 5) = 752.

2) 259 – 90 – 44 – 56 – 10 = 259 — (90+44+56+10)=59.

3. Круглое число.

Если слагаемое (вычитаемое) близко к круглому числу, то его округляют, а потом из ответа вычитают (прибавляют) избыток или недостаток.

1) 257+399 = 257 + 400 – 1 = 656.

2) 525+103 = 525 + 100 + 3 = 628.

765-389 = 765 – 400 + 11 = 376.

Некоторые рациональные способы счёта при умножении

1. Умножение по разрядам.

Чтобы умножить два числа, нужно:

1. Представить множитель в виде суммы разрядов.

2. Умножить каждое слагаемое и сложить.

Здесь используется распределительное свойство умножения (правило «фонтанчика»).

1) 28∙5 = (20 + 8) ∙5 = (20 ∙ 5) + (8 ∙ 5) = 100 + 40 = 140.

2) 935∙6 = (900+30+5) ∙6 = (900 ∙ 6)+(30 ∙ 6)+(5 ∙ 6) = 5400 + 180 + 30 = 5610.

2. Умножение на единицу с предшествующими нулями..

Чтобы умножить число на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т. д., можно это число разделить на 10 , 100 , 1000 и т. д.

1) 635 ∙ 0,1 = 635:10 = 63,5.

2) 562 ∙ 0,01 = 562:100 = 5,62.

3) 384 ∙ 0,0001 = 384:10000 = 0,0384.

3. Умножение двузначного числа на 11.

При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа «раздвигают» и в середину ставят сумму этих цифр.

1) 32 ∙ 11=352 , т. к. 2 + 3 = 5.

2) 54 ∙ 11=594 , т. к. 4 + 5 = 9.

3) 69 ∙ 11=759 , т.к. 6 + 9 = 15 (пятерку поставили в середину, а единицу добавили к разряду сотен).

4. Умножение на 1,5 и на 15.

1) При умножении на 1,5 к исходному числу прибавить его половину.

2) При умножении на 15 умножаем на 10 и прибавляем половину полученного произведения.

1) 62 ∙ 1,5 = 62 + 31 = 93.

2) 27∙ 1,5 = 27 + 13,5 = 40,5.

3) 27∙ 15 = 270 + 135 = 405.

5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Число, образованное из цифр, стоящих до 5 умножить на последующее число и приписать справа 25.

1) 8 ∙ 9 = 72 и приписываем 25.

2) 3 ∙ 4 = 12 и приписываем 0,25.

6. Способ умножения русских крестьян.

Один из множителей увеличиваем в несколько раз, а другой уменьшаем во столько же раз.

1) 24 ∙ 35 = (24 : 2) ∙ (35 ∙ 2) = 12 ∙ 70 = 840.

2) 23 ∙ 27 = 69 ∙ 9 = 207 ∙ 3 = 621.

Некоторые рациональные способы счёта при делении

1. Разложение делимого на слагаемые.

Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно.

1) 8154:9 = (8100:9) + (54:9) = 900 + 6 = 906.

2 56820:5 = (50000:5)+(5000:5) + (1500:5)+(300:5)+(20:5) = 10000+1000+300+60+5 = 11365.

2. Деление на единицу с предшествующими нулями.
При делении на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. число умножают на 10, 100, 1000 и т. д.

1) 50,01 : 0,1 = 50,01∙10 = 500,1.

2) 5621,25 : 0,01 = 5621,25 ∙ 100 = 562125.

3) 7,5 : 0,001 = 7,5 ∙ 1000 = 7500.

3. Деление числа на 0,5; 0,25; 0,125

Чтобы разделить число на 0,5, можно его умножить на 2.

Пример: 6 : 0,5 = 6∙2 = 12.

Чтобы разделить число на 0,25, можно его умножить на 4.

Пример: 54 : 0,25 = 54∙4 = 216.

Чтобы разделить число на 0,125, можно его умножить на 8.

Пример: 625 : 0,125 = 625∙8 = 5000.

4. Последовательное деление

Если делитель – составное число, то разлагаем его на множители и делим

последовательно на каждый множитель.

1) 144 : 18 = (144 : 2) : 9 = 72 : 9 = 8.

2) 210 : 15 = (210 : 3) : 5 = 70 : 5 = 14.

Я провёл мастер-класс в 5а и 5г классах, а затем опрос «Знаешь и пользуешься ли ты рациональными способами счёта?»

Для проверки результатов мастер — класса предложили и провели в 5г классе следующую работу:

Экспертиза навыков рационального счета

(заполняется только один столбиков)

При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа «раздвигают» и в середину ставят сумму этих цифр

При умножении на 15 умножаем на 10 и прибавляем половину произведения

При делении на 0,1, 0,01, 0,001

число умножают на 10, 100, 1000

Чтобы разделить число на 0,5, можно его умножить на 2

Чтобы разделить число на 0,25 , можно его умножить на 4

Если слагаемое близко к круглому числу , то его округляют, а потом вычитают (прибавляют) избыток или недостаток

Если владеете иными способами рационального счета, то запишите его в этой строке

Результаты опроса: до мастер-класса знали приемы рационального счета – 2 человека, а после мастер-класса – 11 человек.

Я привел некоторые, изученные мною, рациональные способы счета. Я понял, что все они основываются на свойствах числа и действий: переместительное, сочетательное, распределительное.

Способы рационального сложения и вычитания

Сложение и вычитание по разрядам

Применение переместительного и сочетательного свойств сложения

Способы рационального умножения

Распределительное свойство умножения

Умножение на единицу с предшествующими нулями

Умножение на 1,5; 15

Умножение на 11

Способ умножения русских крестьян

Способы рационального деления

Разложение делимого на слагаемые

Деление числа на 0,5; 0,25; 0,125

Мне было интересно работать над проектом. Для меня открытием было, узнать, что способов рационального устного счета очень много и они достаточно эффективно экономят время.

Владение навыками рационального счета упрощает вычисления, экономит время, тренирует память, развивает математическое логическое мышление, является залогом успешной учебы.

В учебнике 5 класса мало примеров на рациональные способы счета, поэтому моя работа восполнит этот недостаток и может стать методическим пособием для одноклассников.

1. Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Сорокин А.С. Техника счета.- М.: Знание, 1976.

3. ж. «Математика», №3, 2018.

3. Ресурсы Интернет:

4. Презентация Microsoft Office PowerPoint .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Владение способами рационального счета – залог успешной учебы.

Проект «Рациональные способы счёта» может служить п ятиклассникам пособием по овладению некоторыми способами рационального счета, как с натуральными числами, так и с десятичными дробями. Каждый способ обосновывается.

Приводится примерная работа для диагностики навыков рационального счета.

Номер материала: ДБ-1635658

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник