Вычисление средней арифметической по способу моментов
При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют
упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.
где М — средняя арифметическая; А — условная средняя; i — интервал между группами вариант;
S — знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;
р — частота встречаемости вариант; n — число наблюдений.
Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела
юношей в возрасте 18 лет)
| V(n в кг) | Р | а (V-А) | а . Р |
| +2 | +4 | ||
| +1 | +3 | ||
| Мо=62 | |||
| -1 | -6 | ||
| -2 | -8 | ||
| -3 | -3 | ||
| п = 25 | Sар = — 10кг |
Этапы расчета средней по способу моментов:
1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;
2) определяем «а» — условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и т.д.).
3) умножаем условное отклонение «а» на частоту «р» каждой варианты и получаем произведение а р;
4) находим сумму Sа . р = — 10кг
5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:
М = А + i SаР = 62 — 1×0,4 = 61,6кг
Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела
Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого
она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого
материала и колеблемость ряда.
Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых
представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет
| Ряд 1 | Ряд 2 | |
| Окружность головы(в см) Частота | 41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2 | 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2 |
Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды
имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от
средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает
возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого
ряда, чем для второго.
В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее
квадратическое отклонение (s)
Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический
способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:
где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при
Источник
Основные свойства средней величины:
1.имеется абстрактный характер так как является обобщающей величиной, в ней стираются
2.занимает срединное положение в ряду (в строго симметричном ряду)
3.сумма отклонений всех вариант от средней величины равна нулю. Данное свойство средней
величины используется для проверки правильности расчета средней величины.
Виды средних величин
1. Мода (Мо) — варианта, наиболее часто встречающая и в вариационном ряду.
2. Медиана (Ме) — варианта занимающая в вариационном ряду срединное
положение, т.е., центральная варианта, делящая вариационный ряд на две
3. Средняя арифметическая:
а).Средняя арифметическая простая
б).Средняя арифметическая взвешенная
в). Средняя арифметическая, вычисленная по способу моментов.
Вычисление средней арифметической , простой и взвешенной
В случаях, когда мы имеем простой вариационный ряд, в котором каждой варианте
соответствует частота (Р) равная 1, вычисляется средняя арифметическая простая по
формуле:
где М средняя арифметическая - знак суммирования V — варианта, n — число наблюдений
Таким образом, средняя арифметическая простая равна сумме всех вариант, деленной на число
Пример: Определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг)
Однако чаще всего приходится вычислять среднюю арифметическую взвешенную, которая
получается из взвешенных рядов, где каждая варианта
встречается различное количество раз
или, как говорят, имеет различный вес.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:
n где М средняя арифметическая - знак суммирования , V — варианта,
Р -частота встречаемости, n — число наблюдений
Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант на их
частоты, деленной на число всех наблюдений.
Пример: определение средней массы тела юношей в возрасте 18 лет (в кг.)
кг.
Вычисление средней арифметической по способу моментов
При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют
упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.
где М — средняя арифметическая; А — условная средняя; i — интервал между группами вариант;
— знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;
р — частота встречаемости вариант; n — число наблюдений.
Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела
юношей в возрасте 18 лет)
Этапы расчета средней по способу моментов:
1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;
2) определяем «а» — условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и т.д.).
3) умножаем условное отклонение «а» на частоту «р» каждой варианты и получаем произведение а р;
4) находим сумму а . р = — 10кг
5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:
М = А + i аР = 62 — 10,4 = 61,6кг
Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела
Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого
она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого
материала и колеблемость ряда.
Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых
представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет
Окружность головы(в см)
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50
1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2
Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды
имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от
средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает
возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого
ряда, чем для второго.
В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее
Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический
способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:
где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при
небольшом числе наблюдений (п 30)
Формула для определения по способу моментов:
где а — условное отклонение варианты от условной средней 
;
момент второй степени, а 
момент первой степени, возведенный в квадрат.
Теоретически и практически доказано, что если при большом числе наблюдений к средней
арифметической прибавить и отнять от нее 1(М1), то в пределах полученных величин
будет находится 68,3% всех вариант вариационного ряда. Если к средней арифметической
прибавить и отнять 2(М2), то в пределах полученных величин будет находиться 95,5%
всех вариант. М 3включает в себя 99,7% всех вариант вариационного ряда.
Исходя из этого положения можно проверить типичность средней арифметической для
вариационного ряда, из которого она была вычислена. Для этого надо к средней
арифметической прибавить и от нее отнять утроенную (М3). Если в полученные пределы
данный вариационный ряд укладывается, то средняя арифметическая типична, т.е. она
выражает основную закономерность ряда и ей можно пользоваться.
Указанное положение широко применяется при выработке различных стандартов (одежды,
обуви, школьной мебели и т.д).
Степень разнообразия признака в вариационном ряду можно оценить покоэффициенту
вариации(отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической,
умноженное на 100% )
При Сvменее 10% отмечается слабое разнообразие, при Сv10-20% — среднее, а при более 20% —
сильное разнообразие признака.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Источник
Способ моментов
Применяя этот способ, среднюю арифметическую рассчитывают по формуле: 
Эта формула технически упрощает расчеты, особенно в тех случаях, когда варианты состоят из многозначных чисел, а совокупность — из большого числа наблюдений.
Например: Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов Таблица 8.
| V кг | p | а | а ×р |
| 64 | 2 | +2 | +4 |
| 63 | 3 | +1 | +3 |
| 62 | 9 | 0 | 0 |
| 61 | 6 | -1 | -6 |
| 60 | 4 | -2 | -8 |
| 59 | 1 | -3 | -3 |
| n =25 | Sа × р = -10 кг |
Этапы расчета М по способу моментов:
1) за условную среднюю Ао рекомендуется принять варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду. В нашем примере: Ао = М = 62 кг., так как 62 кг было у 9 юношей из 25;
2) определяем а — условное отклонение от условной средней. Для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V — Ао).
В нашем примере: а = 64 — 62 = + 2 и т. д.;
3) умножаем условное отклонение (а) на частоту (р) каждой варианты и получаем произведения
(а × р).
В нашем примере: 2 ×(+2) = 4 и т.д.
4) получаем сумму S а × р
В нашем примере: — 10кг;
5) определяем интервал между группами вариант ( I)
В нашем примере: i = 1 кг;
6) момент первой степени 
В нашем примере: -10 кг / 25× 1 = — 0,4
7)рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:
В нашем примере: М = 62 кг – 0,4 = 61,6 кг
Есливариационный ряд предварительно был сгруппирован, то в качестве ряда(V)используются середины групп.
Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами.
1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.
2. Средняя является обобщающей величиной и за ней не видны колебания, различия индивидуальных данных.
3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. Sd = S (V-M) = 0
Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность.
Наиболее полную характеристику разнообразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклонение, обозначаемое греческой буквой «сигма» — s.
Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу: s = 
где d— истинное отклонение вариант от истинной средней (V-М). Эта формула используется при небольшом числе наблюдений (n 1 используют формулу такого вида:
s = 
;
При Р>1 и N>30 — s = 
Следующая формула предназначена для определения s по способу моментов: s =i× 
где а — условное отклонение вариант от условной средней: а =V — А; Sa 2 ×p/n момент второй степени, а (Sa×p/n) 2 — момент первой степени, возведённый в квадрат. Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислительной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многозначными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в моменте второй степени n заменяют на (n-1).
Например: Расчет среднего квадратического отклонения по среднеарифметическому способу. Таблица 9.
| Рост мальчиков 12 лет. | Число детей (р) | V • Р | d | d 2 | d 2 × Р |
| 155 | 1 | 155 | +2 | 4 | 4 |
| 154 | 4 | 616 | +1 | 1 | 4 |
| 153 | 6 | 918 | 0 | 0 | 0 |
| 152 | 4 | 608 | —1 | 1 | 4 |
| 151 | 1 | 151 | —2 | 4 | 4 |
| М = 153 | n = 16 | SV ×p = 1448 | S d 2 × Р = 16 |
Последовательность расчета s.
1.Определить М (по среднеарифметическому способу). 
В нашем примере: 
= 153см.
2.Найти истинное отклонение d =(V-M).
В нашем примере:155-153=+2; 154-153= +1 и т.д.
3.Возвести каждое отклонение в квадрат d 2.
4.Найти произведение (d 2 × р) по всем строкам ряда.
5.Определить сумму (S d 2 ×р).
В нашем примере: 4+4+0+4+4=16
6.Рассчитать s по формуле: 
В нашем примере: Ö16/16-1 =1,05 см. 
=1,05
Например: Расчет среднего квадратического отклоненияпо способу моментов Таблица 10.
| Рост, см (V) | Число детей (р) | а | а×р а×р | a 2 ×р |
| 155 | 1 | +2 | 2 | 4 |
| 154 | 4 | + 1 | 4 | 4 |
| 153 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 152 | 4 | -1 | -4 | 4 |
| 151 | 1 | -2 | -2 | 4 |
| n = 16 | Sар = 0 | Sa 2 ×р = 16 |
Последовательность расчета s по способу моментов.
1.Найти условную среднюю А
В нашем примере: А =153 cм.
2.Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней: а =V — А.
3.Получить произведения а × р, а затем их просуммировать.
В нашем примере: =0.
4.Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле
=153 см, так как сумма отклонений равна 0, то поэтому М=А.
5.Получить произведения а 2 ×p по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их.
В нашем примере:Sa 2 ×p =16.
6. Рассчитать по способу моментов по формуле: s =i× 
В нашем примере:s =1× 
= 1,05
Ошибка репрезентативности (m) является важнейшей статистической величиной, необходимой для оценки достоверности результатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выборочного исследования: генеральная совокупность может быть охарактеризована по выборочной совокупности только с некоторой погрешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.
По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генеральной совокупности.
Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточного количества наблюдений (n):
· 
– для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться относительные величины.
· 
– для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться средние величины.
p– вероятность наступления явления (выбирается по данным аналогичных исследований)
q— вероятность не наступления явления, q =100-p
t— доверительный критерий – таблица 11.
D— предельная ошибка, вытекает из таблицы 6, исходя из выбранного t.
| Степень безошибочного прогноза (Р) | Доверительный критерий (t) | Предельная ошибка (D) |
| 68% | — | |
| 95% | 5% | |
| 99% | 1% |
Если аналогичных исследований нет, то p и q принимаются как 50% на 50%.
Ошибки репрезентативности рассчитываются по следующим формулам:
· 
– для относительных величин;
· 
– для средних величин.
В медицине и здравоохранении по разности параметров оценивают средние и относительные величины, полученные для разных групп населения по полу, возрасту, а также групп больных и здоровых и т. д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их разность, но и оценить ее достоверность. Достоверность разности величин, полученных при выборочных исследованиях, означает, что вывод об их различии может быть перенесен на соответствующие генеральные совокупности. Достоверность различия сравниваемых величин измеряется доверительным критерием (критерием точности t), который рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин.
Формула оценки достоверности разности сравниваемых величин такова:
· 
— для средних величин;
· 
— для относительных величин.
Разность величин считается достоверной при значениях, равных или больших 2. Р1 всегда выбирается больше, чем Р2.
Например: При изучении влияния анаболических гормонов при инфаркте миокарда на белковый обмен были получены следующие данные: общий белок до лечения (Р) составил 7,14% (m-±0,17%), после лечения (Р) 8,04% (m-±0,12%).
1. Определяем большую величину как Р1, а меньшую как Р2.
2.Возводим ошибки репрезентативности в квадраты:
В нашем примере: 0,17 2 =0,0289;0,12 2 = 0,0144.
3.Складываем квадраты и извлекаем квадратный корень.
В нашем примере: Ö0,0289+0,0144=Ö0,0433 = 0,2.
4.Находим разность сравниваемых величин и делим на знаменатель.
В нашем примере:8,04-7,14=0,9/0,2=4,5.
В нашем примере: 4,5>2, значит разность величин достоверна, т.е, анаболические гормоны действительно увеличивают уровень общего белка.
Источник
