Как определить длину отрезка способом прямоугольного треугольника

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»₁ и F»₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Источник

Способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника является одним из тех методов в котором находится действительная величина отрезка или расстояние между двумя точками прямой по двум проекциям. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB₁) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник: — первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов); — из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций; — гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.

Ортогональная проекция отрезка общего положения всегда будет меньше его действительной величины.

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка или расстояния между двумя точками прямой может быть использован способ прямоугольного треугольника. Где выполняется построение прямоугольного треугольника: — за один его катет принимается горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция отрезка; — а за другой катет — разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции; — гипотенуза, полученного таким образом, прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка или расстояния между двумя точками прямой.

Графическое определение действительной величины отрезка [AB] или расстояния между двумя точками прямой A и B путем построения прямоугольных треугольников ΔA`B`B₀ или ΔA»B»A₀.

Используя способ прямоугольного треугольника, можно также решать задачу по построению на эпюре: — проекции отрезка, наперед заданной величины; — проекции расстояния между двумя точками прямой, наперед заданной величины.

Даны проекции равностороннего треугольника ABC(A`B`C`,A»B». ) .
Построить недостающие проекции треугольника.

Построение равностороннего треугольника выполняется с использованием способа прямоугольного треугольника

Другие графические способы определение действительной величины, натурального вида или натуральной величины отрезка, плоской фигуры изложены в статье: Метод преобразования. Определение действительной величины треугольника ΔABC показаны на примере решения двух задач в статье: Графическая работа 3

Способ прямоугольного треугольника применяется в статье графическая работа 1: Графическая работа 1

Если вы искали не Способ прямоугольного треугольника а: Проекции треугольника, нажмите на ссылку.

Построение треугольника в плоскости общего положения смотри: Вращение вокруг следа

Источник

Как определить длину отрезка способом прямоугольного треугольника

Длину отрезка АВ и a — угол наклона отрезка к плоскости П ₁ можно определить из прямоугольного треугольника АВС |A С | =|A ₁ B ₁ | , |BС|= D Z . Для этого на эпюре (рис.31) из точки B ₁ под углом 90 0 проводим отрезок | B ₁ B ₁ * |= D Z , полученный в результате построений отрезок A ₁ B ₁ * и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B ₁ A ₁ B ₁ * = a . Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника . Тот же результат можно получить при вращении треугольника АВ С вокруг стороны A С до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрены в разделе «Методы преобразования ортогональных проекций».

Рисунок 31. Определение натуральной величины отрезка и угла его
наклона к горизонтальной плоскости проекций

а) модель		б) эпюр

Длину отрезка АВ и b — угол наклона отрезка к плоскости П₂ можно определить из прямоугольного треугольника АВС |A С |=|A ₂ B₂| , |BС|= D Y . П остроения аналогичные рассмотренным, только в треугольнике АВВ* сторона |B В* | = DU и треугольник совмещается с плоскостью П₂ (рис.32).

Источник

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Для определения натуральной величины отрезка прямой служит метод прямоугольного треугольника, который заключается в следующем.

Предположим, что точки А и В лежат в I октанте (рис. 20, а). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой АВ.

Из точки А проведем линию параллельную А¢В¢, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку В₀.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВВ_О:

— гипотенуза АВ определяет истинную величину этого отрезка;

— катет АВ₀ равен горизонтальной проекцией А¢В¢;

На ортогональном чертеже оказывается достаточно данных для построения на чертеже треугольника, равного рассмотренному (рис. 20, б). Для этого к горизонтальной проекции А¢В¢ «пристроен» второй катет — разность координат Dz. Гипотенуза построенного треугольника есть натуральная величина отрезка АВ.

Если прямоугольный треугольник строится на фронтальной проекции, то второй катет окажется равным разности координат Dy (табл. 3). Для треугольника, построенного на профильной проекции, вторым катетом будет Dx (рис. 21).

Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата z точки А положительная, а точки В отрицательная, то разность координат будет равна

Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

Проекция отрезка прямой, выбираемая в качестве первого катета треугольника	Разность координат, откладываемая в качестве второго катета	Плоскость проекций, к которой определяется угол наклона	Обозначение угла наклона
горизонтальная: А¢В¢	DzАВ=|AzBz|	p1	j1
фронтальная: А²В²	DyAB=|AyBy|	p2	j2
профильная: А¢¢¢В¢¢¢	DxAB=|AxBx|	p3	j3

В общем случае натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка прямой, а вторым — разность «третьих» координат.

Угол наклона прямой к плоскости проекций – это угол между прямой и ее проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее наклона к плоскости проекций (j₁, j₂, j₃). Угол между гипотенузой и соответствующей проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости проекций.

Пример 3. Определить истинную величину отрезка АВ и угол наклона к плоскости p₁ (рис. 22).

1. По таблице 3 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости p₁ надо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка А¢В¢, а вторым – разность координат по оси z.

2. Определяем координаты по оси z точек А и В и их разность:

3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию А¢В¢. В качестве второго катета откладываем расстояние, равное Dz_АВ.

4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка АВ, а угол при вершине А¢ (угол j₁) – угол наклона прямой к плоскости p₁.

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций (является точкой частного положения – лежит в плоскости проекций).

Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

Выберем две точки: точку М, лежащую в плоскости проекций p_1, и точку N – в плоскости проекций p₂ (рис. 23, а). Через эти точки проведем прямую.

Точка пересечения (M) прямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой; точка пересечения (N) прямой линии с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой; точка пересечения (P) прямой линии с профильной плоскостью проекций называется профильным следом прямой.

Следы прямой совпадут с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: М º M¢, N º N¢¢, P º P¢¢¢.

Поскольку точка М лежит в плоскости p₁, то ее фронтальная проекция М¢¢ располагается на оси x, а профильная М¢¢¢ – на оси y. Горизонтальная проекция точки N — N¢ также располагается на оси x, а профильная проекция N¢¢¢ лежит на оси z. Горизонтальная проекция профильного следа P¢ лежит на оси y, а фронтальная проекция P¢¢ — на оси z.

Охарактеризуем положение каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис. 23, б).

1) Построение проекций горизонтального следа:

M¢¢ — фронтальная проекция горизонтального следа лежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью x;

М¢ — горизонтальная проекция горизонтального следа лежит на пересечении линии проекционной связи, проведенной из проекции M¢¢ перпендикулярно оси x, с горизонтальной проекцией прямой;

M¢¢¢ — профильная проекция горизонтального следа лежит на пересечении профильной проекции прямой с осью y_p3.

2) Построение проекций фронтального следа:

N¢ — горизонтальная проекция фронтального следа лежит в точке пересечения горизонтальной проекции прямой с осью x;

N¢¢ — фронтальная проекция фронтального следа лежит на пересечении фронтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из точки N¢ перпендикулярно оси x;

N¢¢¢ — профильная проекция фронтального следа лежит на пересечении профильного следа прямой с осью z.

3) Построение проекций профильного следа:

P¢ — горизонтальная проекция профильного следа лежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с осью y_p1.

P¢¢ — фронтальная проекция профильного следа лежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью z.

Пример 4. Построить проекции следов отрезка прямой АВ (рис. 24). 1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа М², продолжив А¢¢В¢¢ до пересечения с осью x. 2. Из точки М¢¢ проводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением А¢В¢. Здесь расположена точка М¢. 3. По двум проекциям М¢ и М¢¢ строим третью — М¢¢¢, которая совпадает с точкой пересечения профильной проекции прямой с осью yp3. 4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа N¢ в пересечении А¢В¢ с осью x. 5. Через точку N¢ проводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой A¢¢B¢¢ и получаем точку N¢¢.

P¢¢¢ — профильная проекция профильного следа находится в точке пересечения профильной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из P¢¢ перпендикулярно оси z.

6. По двум проекциям фронтального следа N¢ и N¢¢ строим третью его проекцию — N¢¢¢, которая совпадает с точкой пересечения профильной проекции прямой с осью z.

7. В пересечении А¢В¢ с осью y_p1строим точку Р¢ (горизонтальную проекцию профильного следа).

8. В пересечении А²В² с осью z получаем точку фронтальную проекцию профильного следа — Р².

9. По двум проекциям Р¢ и Р¢¢ строим профильную проекцию — Р¢¢¢ (проекции Р¢¢ и Р¢¢¢ находятся на горизонтальной линии проекционной связи).

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

1) Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис. 25, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

2) Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис. 25, б).

3) Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не могут лежать на одной линии проекционной связи (рис. 25, в).

Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых (точки 1 и 2 на фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций – см. рис. 25, в).

Построение их проекций применяется для определения взаимнойвидимостигеометрических элементов1.

(которые совпадают с самими следами), которые обозначаются соответственно h¢_0a, f²_0a и p¢¢¢_0a. Каждый след плоскости проходит через две точки схода следов. Следовательно, любые два следа плоскости позволяют определить все три параметра плоскости.

Таким образом, любые два следа плоскости однозначно определяют ее положение в пространстве. Также как положение точки в пространстве определяются тремя ее координатами, так и положение плоскости может быть задано аналитически тремя ее параметрами.

Плоскость, пересекающая все три плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. Если плоскость параллельна одной или двум осям координат, то она называется плоскостью частного положения.

ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскости, параллельные одной оси координат

1) Плоскость, параллельная оси z (рис. 32).

У такой плоскости параметры Х_a, и U_a — конечные величины, а параметр Z_a = ¥. Следовательно, фронтальный и профильный следы такой плоскости, которые должны пройти через точку схода следов Z_a, будут параллельны оси z. Плоскость, параллельная оси z перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций и называется горизонтально-проецирующей плоскостью.

Рассмотрим точку А, лежащую в горизонтально-проецирующей плоскости a, и построим горизонтальную проекцию этой точки. Для этого из точки А опустим перпендикуляр на плоскость проекций p₁. Горизонтальная проекция любой точки, лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости, будет всегда располагаться на горизонтальном следе плоскости.

4) Плоскость, параллельная оси y (рис. 33).

Если плоскость параллельна оси y, то ее параметр по этой оси равен бесконечности (Y_b = ¥) и, следовательно, горизонтальный и профильный следы плоскости будут параллельны оси y. Плоскость, параллельная оси y, перпендикулярна фронтальной плоскости проекций p₂ и называется фронтально-проецирующей плоскостью.

Фронтальная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки В), всегда расположена на фронтальном следе плоскости.

4) Плоскость, параллельная оси x (рис. 34).

У такой плоскости параметр по оси x равен бесконечности (Х_{g =} ¥), поэтому ее фронтальный и горизонтальный следы будут параллельны оси x. Такая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций p₃ и называется профильно-проецирующей плоскостью.

Профильная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки С), всегда расположена на профильном следе плоскости.

Источник