- Прямая линия
- Обозначение прямой
- Свойства прямой
- Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная | Математика (геометрия)
- — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение
- точка A, точка B, точка C
- точка 1, точка 2, точка 3
- — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет
- линия a, линия b, линия c
- замкнутые линии
- разомкнутые линии
- самопересекающиеся линии
- линии без самопересечений
- прямые линии
- ломанные линии
- кривые линии
- — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны
- прямая линия a
- прямая линия AB
- параллельные линии
- пересекающиеся линии
- перпендикулярные линии
- — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону
- солнышко
- луч a
- луч AB
- лучи AB и AC совпадают
- лучи CB и CA совпадают
- — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. — это расстояние между его начальной и конечной точками
- кривые линии, проходящие через две точки
- прямая линия AB
- отрезок AB
- — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°
- ломанная линия ABCDE
- вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
- звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
- звено AB и звено BC являются смежными
- звено BC и звено CD являются смежными
- звено CD и звено DE являются смежными
- — это замкнутая ломанная линия
- Геометрия 7 класс. Точка, прямая и отрезок
- Как обозначить прямую
- Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
- Решение задачи
- Как обозначается пересечение прямых
- Взаимное расположение прямой и точек
- Сколько общих точек имеют две прямые
- Первый случай расположения прямых
- Второй случай расположения прямых
- Третий случай расположения прямых
- Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
- Решение задачи
- Что такое отрезок
Прямая линия
Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.
Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:
Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.
Обозначение прямой
Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая a, или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая AB:
Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.
Свойства прямой
1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.
Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.
2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.
Точки N и M лежат на прямой a. Точка L не лежит на прямой a.
Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности — ∈ . Например, запись M ∈ a обозначает, что точка M принадлежит прямой a. Для того, чтобы указать что точка не принадлежит прямой можно использовать символ ∉ . Например, запись L ∉ a обозначает, что точка L не принадлежит прямой a.
5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.
На рисунке изображена прямая с тремя точками A, B и C, лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:
точка B лежит между точками A и C, точка B разделяет точки A и C
точки A и C лежат по разные стороны от точки B .
Также можно сказать:
точки B и C лежат по одну сторону от точки A, они не разделяются точкой A
точки A и B лежат по одну сторону от точки C .
6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.
Источник
Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная | Математика (геометрия)
— это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение
Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать
точка A, точка B, точка C
точка 1, точка 2, точка 3
— это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет
Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами
линия a, линия b, линия c
Линия может быть
- , если её начало и конец находятся в одной точке,
- , если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
прямые линии
ломанные линии
кривые линии
— это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны
Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны
Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой
прямая линия a
прямая линия AB
Прямые могут быть
- , если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
- , если пересекаются под прямым углом (90°).
- , если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии
— это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону
У луча света на картинке начальной точкой является солнце
солнышко
Точка разделяет прямую на две части — два луча
Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче
луч a
луч AB
Лучи совпадают, если
- расположены на одной и той же прямой,
- начинаются в одной точке,
- направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
— это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. — это расстояние между его начальной и конечной точками
Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых
Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую
кривые линии, проходящие через две точки
прямая линия AB
От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками.
Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок
отрезок AB
— это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°
Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких
(похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.
(похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.
Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.
ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
— это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
— это замкнутая ломанная линия
(помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. — это смежные звенья ломанной.
— это вершины ломанной. — это точки концов одной стороны многоугольника.
Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.
Источник
Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H . Точки F и G лежат на прямой a . Точки D и H не лежат на прямой a .
В тексте точку обозначают символом « (·)» . Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами « ∈ » и « ∉ ». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы « Э » или как знак евро « € » .
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
- (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a );
- (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a ;
- (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a );
- (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a .
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
- На рисунке изображены:
Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE , прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B , лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a , используя символы ∈ и ∉ .
Решение задачи
Обозначим её буквой a .
Отметим точки (·)A и (·)B , лежащие на прямой a .
Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R , не лежащие на прямой a .
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
Как обозначается пересечение прямых
На рисунке прямые a и b не пересекаются . Прямые b и c пересекаются .
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩ . Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:
- b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
- a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
Прямые e и g имеют общую точку M . Другими словами, прямые пересекаются в точке M . Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну .
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M .
Третий случай расположения прямых
Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B .
Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно .
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Теперь прямая a пересекается с прямой b , прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a .
В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D .
Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так, чтобы она не проходила через точку (·)D . Тогда получится три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F .
Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D , прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E . Условие задачи выполнено.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T .
Сам отрезок можно назвать ST или TS . Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Источник
