Задача по математике -5класс
Подсказываю, выписываем ряд трехзначных чисел в прямом и в обратном порядке
100 101 102 . 998 999 далее в обратном
999 998 997 . 101 100
Обращаем внимание, что сумма каждой пары чисел 1099
всего таких пар 900.
Итак два раза просуммированный ряд = 1099х900. Половина этого произведения и будет искомой суммой всех трехзначных чисел.
Вообще это частный случай арифметической прогрессии.
А помнишь, а выкладывала задачку, которую Эшли придумала на Ряды Гаусса, когда ей лет 7-8 было? Я ее тогда с ее слов записала и сохранила.
В волшебной стране Математика, в маленьком городке Ряды Гаусса жили-были в одном классе дети, у которых вместо имен были . номера! И было в этом классе 23 ученика.У них и футболки были с номерами: 1-й,2-й,3-й. 22-й,23-й.
Вот как-то учительница и говорит: «Сегодня мы идём в Парк аттракционов! Но сначала скажите мне, кто сегодня отсутствует». Выяснилось, что 1-го и 2-го нет. Ладно, значит в классе сейчас 21 ученик.
Пришли они в Парк. А контролер говорит,что вместо входных билетиков сегодня надо решить маленькую задачку, причем устно! Надо сказать сумму всех чисел, которые написаны на футболках. Опечалились ребята, трудно ведь сложить все числа,да еще и устно.
Но учительница попросила всех встать в РЯД по порядку: 3,4,5. 22,23. Потом хотела построить всех парами, но ведь 21-го человека парами не поставишь. Пришлось ей ученика номер 3 попросить отойти в сторонку. Стоит 3-й там и грустно наблюдает за остальными ребятами.
А учительница оставшихся 20 человек построила парами, да причем так хитро. 4-го и 23-го, 5-го и 22-го, 6-го и 21-го.То есть последнего из ряда и первого. Пар получилось 10 (20:2) и в каждой паре сумма была 27 (23+4, 22+5. )
» У нас получилось 270! » — закричали радостно ребята. И тут все заметили грустного 3-го, который уже собирался плакать. «Нет, ребята. Наша сумма 273!» — сказала учительница и обняла 3-го. (270+3)
Конечно весь класс пригласили пройти в Парк. И ребята катались на всех горках и каруселях целый день!
О Карле Гауссе:
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 50 х 101 = 5050.
Источник
Найти наиболее удобным способом сумму всеx треxзначныx чисел.. пожалуйста
Все вам правильно ответили, но вы еще сможете блеснуть своей эрудицией.
Был такой величайший немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (Gauss) родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге. Умер — 23 февраля 1855 года в Геттингене.
Родился в семье водопроводчика.
С детства проявил способности к математике. В 10-летнем возрасте решил задачу о суммировании чисел от 1 до 100, чем обратил на себя внимание учителя.
По известным данным, во времена его обучения в одной группе были собраны по нашим меркам несколько классов. Учитель, чтобы объяснить, что-то старшеклассникам, должен был чем-то занять учеников младших классов. Он дал им задачу найти сумму чисел от 1 до 100, в надежде что они за этим занятием проведут очень много времени (калькуляторов как вы понимаете тогда не было) . Но учителя постигло разочарование, когда буквально через 2-3 минуты, маленький Карл сказал, что он справился с задачей и назвал число — 5050. Учитель был поражен и спросил как он это вычислил. Карл объяснил. Вот ряд чисел 1, 2, 3, 4 . 97, 98, 99, 100. Пара чисел 1+100 = 101, 2+99 = 101, 3+98 =101 и т. д
То есть сумма пары чисел первого и последнего, второго и предпоследнего дают в сумме 101 таких пар 50. Тогда если одна пара дает в сумме 101 то 50 пар дадут 50*101 = 5050. Вот что значит гениальные люди.
После этого учитель начал дополнительно заниматься с этим учеником.
Аналогично, поступили и те, кто дал вам ответ на ваш вопрос.
Вот вам еще некоторые данные из биографии величайшего ученого.
В 1795-98 учился в Геттингенском ун-те.
С 1807 — профессор математики и астрономии Геттингенского ун-та и одновременно директор обсерватории. К концу учебы в ун-те подготовил фундаментальную работу по теории чисел и высшей алгебре «Арифметические исследования» (издана в 1801).
30 марта 1796 решил задачу о построении правильного 17-угольника, что явилось поворотным пунктом в жизни Гаусса, он решает посвятить себя не филологии, а исключительно математике.
Мировую известность Гаусс приобрел после разработки им метода вычисления эллиптической орбиты планеты по трем наблюдениям. Применение этого метода к малой планете Церера дало возможность вновь найти ее на небе после того, как она была утеряна вскоре после ее открытия Дж. Пиацци в 1801. В фундаментальной работе «Теория движения небесных тел» (1809) Гаусс изложил методы вычисления планетных орбит, с небольшими усовершенствованиями используемые и в настоящее время.
Иностранный почетный член Петербургской АН (1824). Его имя занесено на карту Луны.
Желаю вам тоже достичь таких же сияющих вершин. Удачи.
Источник
Как найти сумму всех трехзначных чисел?
Последовательность трёхзначных чисел можно представить как конечную арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 100, последний член равен 999, а разность равна 1.
Соответственно нам нужно найти сумму этой прогрессии.
Формула суммы арифметической прогрессии давно известна:
a1 — первый член; an — последний член; n — количество членов.
a1 и an нам известны, они равны соответственно 100 и 999.
Остаётся найти n. Оно равно 999 – 100 + 1 = 900.
Подставляем всё в формулу:
S = (a1 + an)* n/2 = (100 + 999) * 900/2 = 1099 * 900/2 = 989100/2 = 494550.
Лично я подобные задачки решаю на компьютере. Тут требуется элементарная по простоте программка.
Например на бейсике она может выглядеть так:
For x = 100 To 999
Если её запустить, получается результат: 494550.
Стал я смотреть дальше на закономерности, учитывая ручной способ сложения по два.
И пришёл к интересным выводам.
Если наш диапазон чисел 900. Это числа: 100,101. 999. Всего их 900. (999-100+1=900 )
Это 899 чисел (от 101 до 999) и 900 — е число — это число 100.
То если решать методом сумм по 2, то нужно 450 сложений.
Число 450 получается из числа 900: 900/2=450.
Теперь получается интересный эффект.
Если попробовать поделить полученный результат 494550 на наше число 450, то получается число 1099.
А что такое число 1099?
Это сумма чисел из нашего условия: 100+999=1099.
Получается, зная это с самого начала, не нужно было бы делать 450 сложений.
Нужно просто перемножить 450 на 1099 и получишь 494550.
Получается вот такая формула для решения данной задачки:
Не знаю, насколько годится данная формула для решения других задачек (особенно для нечётного диапазона чисел), это ещё надо проверять, но результат получился интересный.
Я не занимаюсь составлением программ и помнить формулы прогрессий тоже не в состоянии. Однако найти сумму всех трехзначных чисел не сложно. надо просто скомбинировать их правильным образом. Для начала отбросим число 100 и 550, которые пригодятся на последнем этапе подсчета. Потом обратим внимание, что 101+999 = 1100. Такая же сумма будет у всех остальных пар чисел до 549+551. Остается определить, сколько же пар чисел мы имеем 549-100 = 449. Теперь просто умножаем 449 на 1100, и добавляем к этому произведению отброшенные ранее числа 100 и 550. Получается 494550.
Только не надо путаться и добавлять 1000 — это уже четырехзначное число.
всё просто сумма чисел от 100 до 999 расчитывается так 1000+101, потом 999+102 итд до 550+551 всего таких пар 450 поэтому расчет идет так 1101*450+100-1000=494550
А ещё можно написать программу на на каком-нибудь языке программирования с помощью цикла. Например, если писать на Паскале, то программа будет иметь вид:
for i:=100 to 999 do
Программа выведет число 494450. Можете сами проверить результат программы.
Задача в школе, которую продвинутые в математике родители предлагают решить по методу Гаусса.
Составляем в ряд комбинации (100 + 999) + (101 + 998) + (102 + 997) и так далее. И далее считаем
1099 умножить 900 деленное на 2 будет равно 494 550. Это и есть сумма всех трехзначных чисел.
Вы все правильно написали, только чисел из одинаковых цифр, не одно, а 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
И у всех сумма цифр, естественно, четная.
Но решение обеих задач
«Почему чисел с четной суммой цифр нечетное количество» и «Почему чисел с нечетной суммой цифр нечетное количество»
намного проще, чем вы расписываете.
Очевидно, что числа с четной и нечетной суммой цифр идут через одно.
Поэтому их одинаковое количество. А так как всего двузначных чисел ровно 90, то чисел каждого вида по 45.
Перевод из двоичной системы в десятичную осуществляется по формуле:
Каждый разряд умножается на 2^n ( то есть для последней цифры степень будет 0 а для следующих n+1), а после происходит сложение получившегося .
1*2^0+0*2^1+0*2^2+ 1*2^3+1*2^4+1*2^5+1*2 ^6=1+8+16+32+64=121
Числа используются для количественной характеристики объектов (вес, стоимость, время и т.п.). Именно в количественных характеристиках легко можно сравнить объекты между собой, но только в одинаковых единицах измерения или их нужно с помощью стандартизации или пересчета в темпах роста и т.п. привести в соизмеримые значения. Именно наличие числовых значений помогают провести анализ объектов и событий и принять обоснованные решения на текущий момент или спрогнозировать значения показателей на будущие периоды. Имея числовые характеристики, можно контролировать многие процессы (в бизнесе, государственном секторе, медицине, личной жизни (например, хронометраж времени и выявление хронофагов (поглотителей времени) и т.п.)
Для перевода двоичного числа 1110001 в десятичную систему используем формулу:
1110001₂=1*2^6+1*2 ^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+ 0*2^1+1*2^0=113₁₀ , где знаком ^ ообозначена операция возведения в степень.
Математическая запись этого преобразования выглядит так:
Если нужно перевести число 1100001 из двоичной системы счисления в десятичную систему можно использовать формулу:
1100001₂=1*2^6+1*2 ^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+ 0*2^1+1*2^0=97₁₀ , где знак ^ обозначает операцию возведения в степень.
Математическая запись этого преобразования выглядит так:
Источник
Как найти сумму всех трехзначных чисел?
Последовательность трёхзначных чисел можно представить как конечную арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 100, последний член равен 999, а разность равна 1.
Соответственно нам нужно найти сумму этой прогрессии.
Формула суммы арифметической прогрессии давно известна:
a1 — первый член; an — последний член; n — количество членов.
a1 и an нам известны, они равны соответственно 100 и 999.
Остаётся найти n. Оно равно 999 – 100 + 1 = 900.
Подставляем всё в формулу:
S = (a1 + an)* n/2 = (100 + 999) * 900/2 = 1099 * 900/2 = 989100/2 = 494550.
Лично я подобные задачки решаю на компьютере. Тут требуется элементарная по простоте программка.
Например на бейсике она может выглядеть так:
For x = 100 To 999
Если её запустить, получается результат: 494550.
Стал я смотреть дальше на закономерности, учитывая ручной способ сложения по два.
И пришёл к интересным выводам.
Если наш диапазон чисел 900. Это числа: 100,101. 999. Всего их 900. (999-100+1=900 )
Это 899 чисел (от 101 до 999) и 900 — е число — это число 100.
То если решать методом сумм по 2, то нужно 450 сложений.
Число 450 получается из числа 900: 900/2=450.
Теперь получается интересный эффект.
Если попробовать поделить полученный результат 494550 на наше число 450, то получается число 1099.
А что такое число 1099?
Это сумма чисел из нашего условия: 100+999=1099.
Получается, зная это с самого начала, не нужно было бы делать 450 сложений.
Нужно просто перемножить 450 на 1099 и получишь 494550.
Получается вот такая формула для решения данной задачки:
Не знаю, насколько годится данная формула для решения других задачек (особенно для нечётного диапазона чисел), это ещё надо проверять, но результат получился интересный.
Я не занимаюсь составлением программ и помнить формулы прогрессий тоже не в состоянии. Однако найти сумму всех трехзначных чисел не сложно. надо просто скомбинировать их правильным образом. Для начала отбросим число 100 и 550, которые пригодятся на последнем этапе подсчета. Потом обратим внимание, что 101+999 = 1100. Такая же сумма будет у всех остальных пар чисел до 549+551. Остается определить, сколько же пар чисел мы имеем 549-100 = 449. Теперь просто умножаем 449 на 1100, и добавляем к этому произведению отброшенные ранее числа 100 и 550. Получается 494550.
Только не надо путаться и добавлять 1000 — это уже четырехзначное число.
всё просто сумма чисел от 100 до 999 расчитывается так 1000+101, потом 999+102 итд до 550+551 всего таких пар 450 поэтому расчет идет так 1101*450+100-1000=494550
А ещё можно написать программу на на каком-нибудь языке программирования с помощью цикла. Например, если писать на Паскале, то программа будет иметь вид:
for i:=100 to 999 do
Программа выведет число 494450. Можете сами проверить результат программы.
Задача в школе, которую продвинутые в математике родители предлагают решить по методу Гаусса.
Составляем в ряд комбинации (100 + 999) + (101 + 998) + (102 + 997) и так далее. И далее считаем
1099 умножить 900 деленное на 2 будет равно 494 550. Это и есть сумма всех трехзначных чисел.
Вы все правильно написали, только чисел из одинаковых цифр, не одно, а 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
И у всех сумма цифр, естественно, четная.
Но решение обеих задач
«Почему чисел с четной суммой цифр нечетное количество» и «Почему чисел с нечетной суммой цифр нечетное количество»
намного проще, чем вы расписываете.
Очевидно, что числа с четной и нечетной суммой цифр идут через одно.
Поэтому их одинаковое количество. А так как всего двузначных чисел ровно 90, то чисел каждого вида по 45.
Перевод из двоичной системы в десятичную осуществляется по формуле:
Каждый разряд умножается на 2^n ( то есть для последней цифры степень будет 0 а для следующих n+1), а после происходит сложение получившегося .
1*2^0+0*2^1+0*2^2+ 1*2^3+1*2^4+1*2^5+1*2 ^6=1+8+16+32+64=121
Числа используются для количественной характеристики объектов (вес, стоимость, время и т.п.). Именно в количественных характеристиках легко можно сравнить объекты между собой, но только в одинаковых единицах измерения или их нужно с помощью стандартизации или пересчета в темпах роста и т.п. привести в соизмеримые значения. Именно наличие числовых значений помогают провести анализ объектов и событий и принять обоснованные решения на текущий момент или спрогнозировать значения показателей на будущие периоды. Имея числовые характеристики, можно контролировать многие процессы (в бизнесе, государственном секторе, медицине, личной жизни (например, хронометраж времени и выявление хронофагов (поглотителей времени) и т.п.)
Для перевода двоичного числа 1110001 в десятичную систему используем формулу:
1110001₂=1*2^6+1*2 ^5+1*2^4+0*2^3+0*2^2+ 0*2^1+1*2^0=113₁₀ , где знаком ^ ообозначена операция возведения в степень.
Математическая запись этого преобразования выглядит так:
Если нужно перевести число 1100001 из двоичной системы счисления в десятичную систему можно использовать формулу:
1100001₂=1*2^6+1*2 ^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+ 0*2^1+1*2^0=97₁₀ , где знак ^ обозначает операцию возведения в степень.
Математическая запись этого преобразования выглядит так:
Источник
