Как найти сднф аналитическим способом

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;

ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Правила построения СКНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;

ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Записать логическую функцию по ее таблице истинности:

Решение:

Воспользуемся правилом построения СДНФ:

\[F\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)=\left(\overline\wedge \overline\wedge \overline\right)\vee \left(\overline\wedge \overline\wedge x_3\right)\vee \left(x_1\wedge \overline\wedge \overline\right)\vee \left(x_1\wedge \overline\wedge x_3\right)\vee \left(x_1\wedge x_2\wedge x_3\right)\]

Воспользуемся правилом построения СКНФ:

\[F\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)=\left(x_1\vee \overline\vee x_3\right)\wedge \left(x_1\vee \overline\vee \overline\right)\wedge \left(\overline\vee \overline\vee x_3\right)\]

Готовые работы на аналогичную тему

Функция задана таблицей истинности:

Представить эту функцию в виде СДНФ и СКНФ.

Решение:

Запишем логическую функцию в СДНФ. Для удобства решения добавим к таблице вспомогательный столбец.

Используя правило составления СДНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 0. Инвертировать нулевые значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения конъюнкций в нули основной функции.

Полученные во вспомогательном столбце конъюнкции соединим знаком дизъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СДНФ:

\[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(\overline\wedge \overline\wedge z\wedge f\right)\vee \left(\overline\wedge x_2\wedge \overline\wedge \overline\right)\vee \left(\overline\wedge x_2\wedge x_3\wedge x_4\right)\vee \left(x_1\wedge \overline\wedge \overline\wedge \overline\right).\]

Запишем логическую функцию в СКНФ.

Используя правило составления СКНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 1. Инвертировать единичные значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения дизъюнкций в единицы основной функции.

Полученные во вспомогательном столбце дизъюнкции соединим знаком конъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СКНФ:

\[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee \overline\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee \overline\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee \overline\vee x_3\vee \overline\right)\wedge \left(x_1\vee \overline\vee \overline\vee x_4\right)\wedge \left(\overline\vee x_2\vee x_3\vee \overline\right)\wedge \left(\overline\vee x_2\vee \overline\vee x_4\right)\wedge \left(\overline\vee x_2\vee \overline\vee \overline\right)\wedge \left(\overline\vee \overline\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(\overline\vee \overline\vee x_3\vee \overline\right)\wedge \left(\overline\vee \overline\vee \overline\vee x_4\right)\wedge \left(\overline\vee \overline\vee \overline\vee \overline\right).\]

Источник

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина

введите функцию или её вектор

Построено таблиц, форм:

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
2. Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
3. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
4. Нажмите на кнопку «Построить»

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a , x , a1 , B , X , X1 , Y1 , A123 и так далее.

Для записи логических операций можно использовать как обычные символы клавиатуры ( * , + , ! , ^ , -> , = ), так и символы, устоявшиеся в литературе ( ∧ , ∨ , ¬ , ⊕ , → , ≡ ). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

• И (AND): & • ∧ *
• ИЛИ (OR): ∨ +
• НЕ (NOT): ¬ !
• Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
• Импликация: -> → =>
• Эквивалентность: =

Что умеет калькулятор

• Строить таблицу истинности по функции
• Строить таблицу истинности по двоичному вектору
• Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
• Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
• Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
• Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
• Строить карту Карно
• Минимизировать ДНФ и КНФ
• Искать фиктивные переменные

Что такое булева функция

Булева функция f(x₁, x₂, . x_n) — это любая функция от n переменных x₁, x₂, . x_n, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2 n строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

• таблица истинности
• характеристические множества
• вектор значений
• матрица Грея
• формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2 n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

• Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
• Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
• Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬a bc ∨ ¬a ¬b c ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
3. Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
3. Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
4. Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

1. Построить таблицу истинности для функции
2. Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5. ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6. прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5. строк.
3. Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10. строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12. строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
4. Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
5. Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
6. Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬a b∨ ¬b c∨ca

1. Построим таблицу истинности для функции

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: < 0, 0, 1 > < 0, 1, 0 > < 0, 1, 1 > < 1, 0, 1 >

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: < 0, 0, 0 > < 1, 0, 0 >

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

Построение полинома Жегалкина:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc

Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.

Источник