Как найти расстояние от точки до плоскости векторным способом

Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Расстояние от точки до плоскости – определение

Расстояние от точки до плоскости находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М 1 с плоскостью χ , то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н 1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М 1 Н 1 – это перпендикуляр, который провели из точки М 1 к плоскости χ , где точка Н 1 – основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М 1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М 1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н 2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н 2 , тогда получаем прямоугольный треугольник вида М 2 H 1 H 2 , который является прямоугольным, где имеется катет М 2 H 1 , М 2 H 2 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M 1 H 1 M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 считается наклонной, которая проводится из точки М 1 до плоскости χ . Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) с плоскостью χ , необходимо определить расстояние от М 1 к плоскости χ . Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н 1 , которые являются основанием перпендикуляра из точки М 1 к плоскости χ . Далее необходимо вычислить расстояние между М 1 и Н 1 .

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н 1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М 1 на плоскость χ . Тогда определяем координаты ( x 2 , y 2 , z 2 ) точки Н 1 . Искомое расстояние от М 1 к плоскости χ находится по формуле M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 + ( z 2 — z 1 ) 2 , где M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и H 1 ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Для решения необходимо узнать координаты точки Н 1 .

Имеем, что Н 1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a , которая проходит через точку М 1 , расположенную перпендикулярно плоскости χ . Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н 1 . Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) к плоскости χ :

• составить уравнение прямой а, проходящей через точку М 1 и одновременно
• перпендикулярной к плоскости χ ;
• найти и вычислить координаты ( x 2 , y 2 , z 2 ) точки Н 1 , являющимися точками
• пересечения прямой a с плоскостью χ ;
• вычислить расстояние от М 1 до χ , используя формулу M 1 H 1 = ( x 2 — x 1 ) 2 + ( y 2 — y 1 ) 2 + z 2 — z 1 2 .

В заданной прямоугольной системе координат О х у z имеется плоскость χ , тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Отсюда получаем, что расстояние M 1 H 1 с точкой M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , проведенной на плоскость χ , вычисляемое по формуле M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p . Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Если задана точка M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M 1 H 1 производится из формулы M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p , так как x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M 1 до плоскости χ — это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M 1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ . Тогда получаем выражение M 1 H 1 = n p n → O M → — p . Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n → = cos α , cos β , cos γ , а его длина равняется единице, n p n → O M → — числовая проекция вектора O M → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) по направлению, определяемым вектором n → .

Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , так как n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Координатная форма записи примет вид n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогда M 1 H 1 = n p n → O M → — p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Теорема доказана.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 вместо х , у , z координаты x 1 , y 1 и z 1 ,относящиеся к точке М 1 , взяв абсолютную величину полученного значения.

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Вычислить расстояние от точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) к плоскости 2 x — y + 5 z — 3 = 0 .

Решим задачу двумя способами.

Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a . По условию имеем, что заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 является уравнением плоскости общего вида, а n → = ( 2 , — 1 , 5 ) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a , которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) с направляющим вектором с координатами 2 , — 1 , 5 .

Уравнение получит вид x — 5 2 = y — ( — 3 ) — 1 = z — 10 5 ⇔ x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 .

Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н 1 . Получим, что

x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 ⇔ — 1 · ( x — 5 ) = 2 · ( y + 3 ) 5 · ( x — 5 ) = 2 · ( z — 10 ) 5 · ( y + 3 ) = — 1 · ( z — 10 ) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0

После чего необходимо разрешить систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 2 x — y + 5 z — 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x — 2 z = 5 2 x — y + 5 z = 3

Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:

1 2 0 — 1 5 0 — 2 5 2 — 1 5 3

1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 — 5 5 5

1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = — 1 10 · 10 + 2 · z = — 1 , x = — 1 — 2 · y = 1

Получаем, что H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) .

Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) и H 1 ( 1 , — 1 , 0 ) и получаем

M 1 H 1 = ( 1 — 5 ) 2 + ( — 1 — ( — 3 ) ) 2 + ( 0 — 10 ) 2 = 2 30

Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 1 2 2 + ( — 1 ) 2 + 5 2 = 1 30 . Отсюда выводим уравнение плоскости 2 30 · x — 1 30 · y + 5 30 · z — 3 30 = 0 . Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x = 5 , y = — 3 , z = 10 , причем нужно взять расстояние от M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) до 2 x — y + 5 z — 3 = 0 по модулю. Получаем выражение:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 — 1 30 · — 3 + 5 30 · 10 — 3 30 = 60 30 = 2 30

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

В трехмерном пространстве задаются точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) , A ( 0 , 2 , 1 ) , B ( 2 , 6 , 1 ) , C ( 4 , 0 , — 1 ) . Вычислить расстяние от М 1 к плоскости А В С .

Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M 1 ( 5 , — 3 , 10 ) , A ( 0 , 2 , 1 ) , B ( 2 , 6 , 1 ) , C ( 4 , 0 , — 1 ) .

x — 0 y — 2 z — 1 2 — 0 6 — 2 1 — 1 4 — 0 0 — 2 — 1 — 1 = 0 ⇔ x y — 2 z — 1 2 4 0 4 — 2 — 2 = 0 ⇔ ⇔ — 8 x + 4 y — 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x — y + 5 z — 3 = 0

Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М 1 к плоскости А В С имеет значение 2 30 .

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к координатной плоскости О х у z и плоскости, заданной уравнением 2 y — 5 = 0 .

Координатная плоскость О у z соответствует уравнению вида х = 0 . Для плоскости О у z оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х = — 3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к плоскости. Получаем значение, равное — 3 = 3 .

После преобразования нормальное уравнение плоскости 2 y — 5 = 0 получит вид y — 5 2 = 0 . Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) к плоскости 2 y — 5 = 0 . Подставив и вычислив, получаем 2 — 5 2 = 5 2 — 2 .

Ответ: Искомое расстояние от M 1 ( — 3 , 2 , — 7 ) до О у z имеет значение 3 , а до 2 y — 5 = 0 имеет значение 5 2 — 2 .

Источник

Расстояние от точки до плоскости (ЕГЭ 2022)

Стереометрия выглядит жутко… Вернее, сама-то стереометрия красивая!

Знаю, что, когда на уроках скучно, все мы любим порисовать на полях кубы и объемные рисунки 🙂

А вот задачи по стереометрии жутковатые. Однако, если в них хорошо разобраться, все будет легко!

Давай начнем с базы – с расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — коротко о главном

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Существует два способа найти расстояние от точки до плоскости:

Плюсы и минусы обоих способов:

+	—
АЛГ	Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.	Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО	Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.	Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство.

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно:

• Ввести систему координат;
• Найти координаты точки и уравнение плоскости;
• Применить формулу расстояния от точки до плоскости (Формулу Герона).

\( \displaystyle \rho =\frac<|<_<<_<0>>>>+<_<<_<0>>>>+<_<<_<0>>>>+D|><\sqrt<<^<2>>+<^<2>>+<^<2>>>>\)

Читайте также:  Ингалятор небулайзер способы применения

\( \displaystyle \rho \)— искомое расстояние

\( \displaystyle \left( <_<0>>;<_<0>>;<_<0>> \right)\) — координаты точки \( \displaystyle C\)

При геометрическом способе нужно:

• Построить перпендикуляр от точки до плоскости;
• Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью;
• Выполнить необходимое дополнительное построение;
• Определяется расстояние от точки до точки, используя необходимые геометрические теоремы (по ситуации).

А теперь подробнее…

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Способы нахождения расстояния от точки до плоскости

Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости: геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

+	—
АЛГ	Не нужно думать, можно просто применить несколько формул и стандартную процедуру.	Формулы громоздкие, их сложно запомнить, легко допустить ошибку. Особенно если система координат введена неудачно.
ГЕО	Не нужно запоминать длинных формул, вычисления обычно не длинные, арифметической ошибке трудно вкрасться.	Нужно уметь применять стереометрические теоремы и понимать, что такое доказательство

Сейчас мы разберём один достаточно хитрый пример, двумя способами.

Задача: в кубе \( \text

Геометрический способ

Куда же опускается перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A<_<1>>M\)?

Смотрим на \( \displaystyle \Delta A<_<1>>M\) – оказывается, он равнобедренный – \( \displaystyle <_<1>>M=AM\)!

Проведём \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C<_<1>>\). Зачем? А они тоже равны \( \displaystyle CA\) и \( \displaystyle C<_<1>>\).

Отметим точку \( \displaystyle K\) — середину \( \displaystyle A<_<1>>\) — и проведём \( \displaystyle MK\) и \( \displaystyle CK\). Треугольники \( \displaystyle A<_<1>>M\) и \( \displaystyle A<_<1>>C\) — равнобедренные, поэтому \( \displaystyle MK\bot A<_<1>>\) и \( \displaystyle CK\bot A<_<1>>\).

И вот теперь! Стереометрическая теорема идёт в ход: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Остался один шаг: проведём \( \displaystyle CH\bot MK\) (в плоскости \( \displaystyle CMK\), естественно).

Что же можно сказать о \( \displaystyle CH\)?

\( \displaystyle CH\bot MK\) по построению

\( \displaystyle CH\bot A<_<1>>\) – так как \( \displaystyle A<_<1>>\bot CMK\) и значит, \( \displaystyle A<_<1>>\) перпендикулярна всякой прямой в плоскости \( \displaystyle CMK\), в частности и \( \displaystyle CH\).

\( \displaystyle \left\< \beginCH\bot MK\\CH\bot A<_<1>>\end \right.\Rightarrow CH\bot A<_<1>>M\) – Ура!

Искомый перпендикуляр из точки \( \displaystyle C\) на плоскость \( \displaystyle A<_<1>>M\) — это высота в \( \displaystyle \Delta CMK\). Осталось найти эту высоту.

Ищем \( \displaystyle KM\):

Ищем \( \displaystyle CK\):

Теперь площадь \( \displaystyle \Delta KCM\) по формуле Герона:

Источник