Как находить погрешность косвенным способом
Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?
© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.
Источник
Как находить погрешность косвенным способом
В чем смысл оценки погрешности измерения? В том, что мы задаем границы истинного значения величины, которого мы не знаем, и никогда не сможем узнать, т.к. все измерения всегда делаются с погрешностью. Если, например, значение силы задано вот таким образом:
это означает, что истинное значение лежит между значениями 2,3 Н и 2,5 Н. Эти значения можно назвать «границами» значения этой величины.
При проведении прямых измерений абсолютная погрешность измерения определяется прибором и методом измерения (погрешность отсчета).
Возникает вопрос: как найти погрешность результата косвенных измерений? Ответ вполне логичен: надо найти верхнюю и нижнюю границу результата, используя верхние и нижние границы значений величин, входящих в формулу для нахождения искомой величины. Т.е., смотря на формулу, вы должны понять, как максимально увеличить результат, подставляя верхние или нижние границы измеренных значений. Знания арифметики должны нам подсказать, что, чтобы получить больше, в числитель дроби надо поставить верхнюю границу, а в знаменатель – нижнюю, это приведет к увеличению дроби; чтобы получить больше, надо уменьшаемое сделать больше, а вычитаемое — меньше. Рассмотрим пример.
Допустим, при смешивании горячей и холодной воды мы имеем следующие результаты измерений:
· температура холодной воды t1 = (16,0 ± 1,5) °С,
· температура горячей воды t1 = (66,0 ± 1,5) °С
· температура смеси t = (43,0 ± 1,5) °С,
· масса холодной воды m х = (80 ± 2) г = (80 ± 2) ∙ 10 –3 кг,
· масса горячей воды m г = (100 ± 5) г = (100 ± 5) ∙ 10 –3 кг.
Надо рассчитать количества теплоты, полученное холодной водой и отданное горячей при смешивании и сравнить полученные значения в пределах погрешности.
При расчёте количества теплоты, полученного холодной водой, получаем значение:
А для количества теплоты, отданного горячей:
Вычислим верхнюю границу количества теплоты, полученного холодной водой.
Так как количество теплоты определяется умножением, то максимальное количество теплоты получится, если взять для каждого из множителей максимальное значение, то есть верхние границы интервалов значений с погрешностью. А максимальное значение разности получится, если для уменьшаемого взять верхнюю границу значения, а для вычитаемого – нижнюю. Полученное значение будет верхней границей значения количества теплоты:
Аналогично вычисляем нижнюю границу значения количества теплоты:
Округлять раньше времени результаты не надо, ведь мы еще не знаем, с какой точностью (погрешностью) мы определили значение количества теплоты. Но и переписывать все цифры с калькулятора, если ответ получается в виде бесконечной дроби, тоже не надо. Поскольку в эксперименте мы редко измеряем значения с точностью меньше 1 процента, но и держать цифры, которые «поправляют» значение меньше, чем на процент, наверно, не стоит. Если первая значащая цифра дает 100% результата, то третья — как раз 1%. Так что достаточно оставлять в промежуточных вычислениях 3 значащие цифры. У нас получены целые числа, но мы могли бы округлить и их:
В полученных границах для Qпол и лежит искомое значение. Чтобы сравнивать это значение с количеством теплоты, отданным горячей водой методом интервалов, оценим
абсолютную погрешность найденного значения количества теплоты. Из рисунка видно, что
Найденное нами прежде значение для Qпол близко к значению, найденному как среднее значение границ:
Кроме того, нам все равно придется округлить эти значения в соответствии с вычисленной погрешностью. Поэтому вычислять среднее в дальнейшем не обязательно.
А вот для погрешности найдём следующее значение:
Кстати, если бы мы предварительно округлили бы значения границ, как описывалось, значение погрешности не изменилось бы (проверьте!).
Произведем необходимые округления (до разряда сотен) и запишем значение количества теплоты, полученного холодной водой:
Qпол = 9100 Дж ± 1200 Дж.
Значит, полученное значение лежит округлённо между 7900 Дж и 10 300 Дж.
Попробуйте рассчитать таким же образом границы значения количества теплоты, отданного горячей водой. Если не получится сделать это самим, посмотрите еще раз, как это делается.
Вычисляем верхнюю границу:
Вычисляем нижнюю границу значения количества теплоты:
Сравнение значений величины с учетом погрешности
Итак, мы выяснили, что количество теплоты, полученное холодной водой, лежит между 7900 Дж и 10300 Дж, а количество отданного горячей водой — между 8000 и
11400 Дж. Как сделать вывод о том, равны ли эти значения? Очень просто: надо нанести интервалы значений на числовую ось и посмотреть, перекрываются ли эти интервалы. Из рисунка можно видеть, что эти количества теплоты совпадают в пределах погрешности эксперимента.
Правила округления значения погрешности
Следует пояснить правила округления при записи результатов с погрешностью. Обычно во всех пособиях предлагается в значении абсолютной погрешности оставлять одну значащую цифру. Так, число 0,63 следует округлить до 0,6. Однако надо быть осторожным в случае, если в процессе округления полученная одна значащая цифра является единицей. В этом случае при округлении числа 1,49 до 1 погрешность округления может составить (1,49 – 1)/1 0,49 = 49% от неокруглённого значения, поскольку интервал округления по величине близок к самому значению погрешности. Даже когда единственная значащая цифра после округления 2, погрешность может составить до 25% от самого значения. Поэтому в вузе обычно объясняют студентам, что значение погрешности окончательного результата округляется до одной значащей цифры, но если эта значащая цифра 1 или 2, то до двух. В школьном эксперименте абсолютная погрешность результата около 30% вполне обычное дело, поэтому в значении погрешности рекомендуется оставлять две значащие цифры только в том случае, если первая из них – единица. В значении результата следует оставлять столько десятичных знаков (или разрядов), сколько их в значении погрешности, так как погрешность «поправляет» «неверные» цифры результата.
© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.
Источник
Как находить погрешность косвенным способом
Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений
- Оценка погрешности прямых измерений
Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.
Различают прямые и косвенные измерения.
Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.
Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.
Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.
Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.
1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.
1.2. Систематическими погрешностями Δxсист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.
Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.
Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.
Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.
1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.
Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x1, x2, … xN. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение
Результаты измерений x1, x2, … xN «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение
Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.
Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.
Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.
Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.
Источник
