Измерение отрезков
Цели урока:
1) Обучающая: формирование знаний о длине отрезка, свойствах длин отрезка, инструментах измерения отрезков; формирование умений измерять данный отрезок и выразить его длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах , а также находить длину отрезка, разделённого на две части точкой, длины которого известны.
2) Развивающая: развитие умений применять полученные теоретические знания на практике, развитие внимания, аналитических способностей.
3) Воспитывающая: воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.
Литература: «Геометрия 7 — 9 класс» Л. С. Атанасян и др.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Получение знаний.
4. Закрепление нового материала.
6. Домашнее задание.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.
Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.
2. Актуализация опорных знаний.
На прошлом уроке мы говорили о сравнении двух отрезков способом наложения их друг на друга.
— Скажите, в каком случае два отрезка называют равными? (если их можно совместить наложением)
Сегодня на уроке мы снова поговорим об измерении отрезков, а точнее научимся измерять отрезки и выражать их длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах.
Для начала, давайте, ответим на несколько вопросов.
— Что называют серединой отрезка?
— Что называют биссектрисой угла?
3. Получение знаний.
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.
Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.
Рисунок 1.
Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.
Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).
Рисунок 2.
Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.
Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, выразить его длину некоторым положительным числом.
Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.
Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, равные отрезки имеют равные длины.
Рисунок 3.
Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, меньший отрезок имеет меньшую длину.
Рисунок 4.
Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:
Таким образом, сформулируем следующее.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рисунок 5.
Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.
Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.
Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен 
земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.
В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).
При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.
Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).
Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.
4. Закрепление нового материала.
Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.
Задание 1. На прямой отмечены точки А, В и С. Отрезок АВ = 50 мм, а отрезок АС = 1,7 дм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах. Рассмотрите различные варианты взаимного расположения точек.
Решение: Переведём значения длин отрезков в сантиметры.
АВ = 50 мм = 5 см; АС=1,7 дм =17 см.
Рисунок 6.
ВС = АС — АВ, ВС = 17 см — 5 см = 12 см.
Рисунок 7.
ВС = АВ + АС, ВС = 5 см + 17 см = 22 см.
Рисунок 8.
В данном случае задача не имеет решения, так как АС > АВ.
Ответ: 12 см или 22 см.
Задание 2. На прямой MN лежит точка L. Найдите длину отрезка MN, если ML = 7 см, а LN = 4ML.
Решение: MN = ML + LN = ML + 4ML = 5ML;
Рисунок 9.
Ответ: 35 см.
Задание 3. Точка О — середина отрезка KL, длина которого равна 8,4 см. От точки О на прямой KL отложены отрезки ОМ = 2 см и ON = 5 см. Найдите длины отрезков КМ и KN, если MN = 3 см.
Рисунок 10.
Решение: Так как О — середина отрезка KL, то KO = ОL = 4,2 см.
KM = KO + OM = 4,2 + 2 =6,2 см.
Из последнего выражения видим, чтобы найти длину отрезка KN, нам необходимо найти длину отрезка LN.
Так как ОL = 4,2 см и ON = 5 см, то LN = ON — ОL = 5 — 4,2 = 0,8 см.
Тогда KN = 8,4 + 0,8 = 9,2 см.
Ответ: 6,2 см; 9,2 см.
5. Рефлексия.
Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Учащиеся задают вопросы, возникшие при изучении нового материала и выполнении практических заданий. Затем ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:
1. сегодня я узнал…
2. было интересно…
4. я выполнял задания…
7. у меня получилось …
Оценивается работа учащихся на уроке.
6. Домашнее задание: § 4, № 26, 34.
Источник
Урок 3 Бесплатно Отрезок. Длина отрезка
Начнем знакомство с одним из разделов математики, который называется геометрия.
Слово геометрия древнегреческого происхождения, оно означает «землемерие» («гео» — земля, «метрео» — измерять).
Геометрия — древняя наука, возникла в результате практической деятельности человека: строительства зданий и дорог, установления земельных наделов и определения их размеров.
Становление данной науки происходило тысячелетиями.
В настоящее время геометрия — наука, занимающаяся изучением геометрических фигур, их свойствами, размерами и преобразованиями.
Сегодня обратим внимание на основные, базовые геометрические фигуры, такие как точка и отрезок.
Узнаем, что называют ломаной линией, какие геометрические фигуры называют многоугольниками, рассмотрим их основные элементы и характеристики.
Научимся сравнивать, находить длины отрезков.
Познакомимся с различными единицами измерения отрезков.
Рассмотрим свойства измерения длин отрезков.
Отрезок
Геометрическая фигура- это математическая модель, в которой рассматривается только форма и размер, не обращая внимания на иные свойства и состояния (цвет, из какого материала изготовлены, в каком состоянии находятся).
Как здания складываются из кирпичиков, так и сложные геометрические фигуры состоят из базовых фигур.
Одной такой элементарной фигурой является точка.
Точка — это неделимая фигура, не имеет частей и размеров (высоты, радиуса, длины и т.д.), направления и других характеристик.
В реальности моделью, которая дает представление о точке может стать, например, след, оставленный острием карандаша, или отверстие на бумаге от швейной иглы.
Слово «точка» с латинского языка означает мгновенное касание, укол.
Точку принято рассматривать как некоторое место в пространстве или на плоскости.
Принято обозначать точки заглавными латинскими буквами (А, В, С и т.д.).
Две точки на плоскости можно соединить бесконечным множеством линий.
Самой короткой линией, соединяющей две точки на плоскости, будет прямая, проведенная по линейке через эти две точки.
Кратчайшая линия между двумя точками называется отрезком.
Любые две точки можно соединить только одним отрезком.
Отрезок — это часть прямой линии, ограниченной двумя точками.
Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.
Отрезок обозначают указанием имен его концов.
Через точки А и В с помощью линейки провели прямую.
А и В — концы отрезка.
Так как отрезок обозначают именами точек, получим отрезок АВ или ВА.
Пишут и говорят так: «Отрезок АВ» или «Отрезок ВА».
В названии отрезка не важно в каком порядке указываются его концы.
Отрезок АВ и ВА — это один и тот же отрезок.
Отрезок можно построить с помощью линейки.
Для этого необходимо к отмеченным на плоскости точкам приложить линейку и провести прямую от одного конца отрезка до другого.
Чтобы с помощью линейки начертить отрезок, который длиннее чем сама линейка, нужно поступить следующим образом:
Между точками А и В отметить точку С.
Затем передвинем линейку так, чтобы левый конец линейки оказался около точки С, по правому концу линейки отложим точку D.
Последовательно соединив концы отрезков, получится отрезок AD, который длиннее, чем линейка.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Давайте разберемся, как могут располагаться точки по отношению к отрезку:
1. Точка лежит на отрезке.
Говорят: «Точка G принадлежит отрезку ».
Записывают это так: G ∈ AB
2. Точка не лежит на отрезке.
Говорят: «Точка не принадлежит отрезку ».
Записывают это так: R ∉ AB
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина отрезка
Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.
Длина в геометрии — это величина, которая характеризует протяженность.
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка.
Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.
Существует несколько способов сравнения отрезков.
1. Приблизительный способ сравнения.
Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.
Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР
Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР
2. Совмещение отрезков — более точный способ сравнения отрезков.
Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.
По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.
Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).
Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).
Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ
Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.
Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.
Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.
Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.
Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.
3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.
Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.
В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.
Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.
Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.
- Если ножки циркуля совпадают с концами сравниваемого отрезка, то отрезки считаются равными.
- Если отрезок выходит за пределы расставленных ножек циркуля, то он больше исходного отрезка.
- Если же отрезок находится между концами измерителя, то сравниваемый отрезок меньше исходного.
Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.
В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.
Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG
Сравним эти отрезки с помощью циркуля.
Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.
Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.
Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).
Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.
4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.
Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.
Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.
Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Ломаная линия
Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.
Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.
Концы отрезков называют вершинами ломаной.
Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной
Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.
Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.
На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.
Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.
Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.
A и E — концы ломаной.
Найдем длину ломаной АВСDE:
АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см
Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой.
Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.
Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.
Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.
Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.
Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.
Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.
Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.
На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.
Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.
Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.
Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.
Периметр многоугольника — это сумма длин всех сторон.
Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р
Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):
РАВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.
Существует огромное множество различных видов многоугольников.
Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.
Например: пятиугольник имеет 5 углов и 5 сторон, шестиугольник — 6 углов и 6 сторон.
Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.
Треугольник — плоская геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.
Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.
На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).
А, В, С — вершины треугольника АBC.
Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.
Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.
Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):
РАВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Источник
