Изобразить сумму векторов двумя способами

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор \( \overrightarrow \) и действительное число \( k \) .

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow \) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора \( \overrightarrow \) равна \( \left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow| \) ;

Векторы \( \overrightarrow \) и \( \overrightarrow \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Обозначение: \( \ \overrightarrow=k\overrightarrow \) .

Источник

Сложение векторов

Сумма векторов

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

3) свойство прибавления нулевого вектора:

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Например,

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Например,

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Построить сумму векторов

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Сумма

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Источник

Сложение и вычитание векторов.

Сложение и вычитание векторов.

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

Представим себе такую ситуацию. Направляясь из школы домой, вам захотелось пить и вы решили зайти сначала в магазин, а затем уже домой. Цель достигнута: вы из школы добрались домой. Сейчас мы описали принцип первого правила сложения векторов.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

совместить параллельным переносом начало вектора с концом вектора ;

провести вектор из начала вектора в конец вектора ;

получившийся вектор и есть вектор суммы: .

Если к вектору прибавить нулевой вектор по правилу треугольника, то получим вектор , т.е. справедливо равенство: .

Утверждение. Если и – произвольные точки, то .

Сложение векторов подчиняется алгебраическим законам.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов и справедливы равенства:

Доказательство теоремы в случае, когда векторы коллинеарны достаточно простое. Его вы можете провести самостоятельно. Мы рассмотрим случай, когда данные векторы неколлинеарны.

1). Отметим произвольную точку и отложим от этой точки вектор . Воспользуемся правилом треугольника и прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок слева).

Теперь от точки и отложим вектор . По правилу треугольника прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух векторов является вектор . (Рисунок справа).

– параллелограмм и точка совпадает с точкой . Значит, , т.е.

2). От точки отложим вектор , от точки отложим вектор , а от точки – вектор . Найдём суммы векторов по правилу треугольника.

При доказательстве первой формулы получился параллелограмм, причём, из точки выходят два вектора и , а вектор их суммы является диагональю параллелограмма. На основе этого возникает второе правило геометрического сложения векторов.

Чтобы найти вектор суммы двух векторов и , нужно:

совместить параллельным переносом начала векторов и ;

на этих векторах достроить параллелограмм;

вектором суммы является вектор, который лежит на диагонали параллелограмма, имеющий своё начало в начале исходных векторов.

Сумма нескольких векторов.

Сложение нескольких векторов происходит по принципу правила треугольника. Складываются два вектора, к вектору суммы прибавляется следующий вектор и т.д. Приведём пример.

Отметим точку и отложим от неё вектор . Прибавим к нему вектор по правилу треугольника. . Теперь к вектору прибавим вектор . . К вектору прибавляем вектор . . Осталось к вектору прибавить вектор . .

Итак, . Значит, суммой векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего. Такое сложение векторов называется правилом многоугольника.

Чтобы найти вектор суммы нескольких векторов, нужно:

последовательно совместить параллельным переносом начало последующего вектора с концом предыдущего;

вектором суммы всех векторов является вектор, с началом в начале первого вектора и концом – в конце последнего.

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , что при сложении его с вектором получается вектор .

Вычитание векторов можно производить, руководствуясь двумя понятиями: следствием из правила треугольника сложения векторов; определением разности двух чисел. Разберём каждое из них.

Сложим векторы и по правилу треугольника. По рисунку видно, что . Отсюда, и . Значит, разность двух векторов можно составить, совмещая их начала, либо совмещая их концы. Отсюда два правила:

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

совместить параллельным переносом начала этих векторов;

вектором разности является вектор с началом в конце второго вектора и концом в конце первого вектора.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

совместить параллельным переносом концы этих векторов;

вектором разности является вектор с началом в начале первого вектора и концом в начале второго вектора.

Далее, из алгебры мы знаем, что для того, чтобы из числа вычесть число , нужно к числу прибавить число, противоположное числу , т.е. . Такое же правило справедливо и для векторов.

ТЕОРЕМА. Для любых векторов справедливо равенство:

1. Найдём разность векторов по I правилу. Вектором разности является вектор (рисунок слева). А теперь найдём сумму векторов по правилу треугольника, где – вектор, противоположный вектору . Вектором суммы является вектор (рисунок справа). Не трудно заметить, что . Они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

2. А теперь докажем то же самое аналитически. По определению разности векторов,

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует третье правило вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно к первому вектору прибавить вектор, противоположный второму.

Используя это правило вычитания векторов, способ сложения векторов выбирается произвольно.

Вектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

Вектор является разностью векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

Вектор является суммой векторов и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

Выразите вектор через векторы , используя рисунок.

Выразите вектор через векторы , используя рисунок.

Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

Длина вектора равна , а длина вектора равна . Сколько различных целых значений может принимать длина вектора ?

В квадрате проведены диагонали и . Укажите номера верных утверждений.

– параллелограмм. Найдите сумму векторов .

– прямоугольник. Диагонали и пересекаются в точке . Укажите номера верных утверждений.

параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

– параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

– прямоугольник. Выразите векторы и через векторы и .

– параллелограмм. Выразите векторы и через векторы и .

Найдите длины векторов , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

Две стороны прямоугольника равны 20 и 21. Найдите длину суммы векторов и .

Две стороны прямоугольника равны 7 и 24. Найдите длину разности векторов и .

На каждом рисунке найдите длину вектора (размеры клетки 1 х 1).

На каждом рисунке найдите длину суммы векторов и (размеры клетки 1 х 1).

На каждом рисунке найдите длину разности векторов и , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки 1 х 1.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Теоретическая часть данной разработки содержит определения, свойства, правила, связанные с геометрическим сложением и вычитанием векторов. К каждому понятию предложен рисунок, разобраны примеры. Практическая часть разработки содержит задания на построение суммы и разности векторов, а также аналитическое определение суммы и разности векторов. Есть задания, встречающиеся на ОГЭ.

Номер материала: ДБ-741821

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

Время чтения: 2 минуты

Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник