Изобразить последовательность геометрически 2 способами

Числовые последовательности и способы их задания. Геометрическое изображение числовых последовательностей

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел. Общий вид: а₁; а₂; а₃; … а_n; … (или (а_n)).

Способы задания последовательностей:

1. Последовательность может быть задана при помощи формулы, указывающей, как по номеру n члена последовательности вычислить его значение а.

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.

2. Реккурентный (индуктивный) способ: он состоит в том, что указывается правило (обычно это формула), позволяющая вычислить общий член последовательности через предыдущие, и задается несколько начальных членов последовательности. Эта формула называется реккурентным соотношением.

3. Последовательность может быть задана словесно, т.е. описанием ее членов.

При изучении последовательностей удобно использовать их геометрическое изображение. Для этого используют в основном 2 способа:

1. Т.к. последовательность (а_n) есть функция, заданная на N, то ее можно изобразить как график этой функции с координатами точек (n; а_n).

2. Члены последовательности (а_n) можно изобразить точками х=а_n.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность (а_n) называется ограниченной, если существуют числа M и m, такие, что имеет место неравенство m≤a_n≤M. В противном случае она называется неограниченной.

Существует 3 вида неограниченных последовательностей:

1. Для нее существует m и не существует M – в таком случае она ограниченная снизу и неограниченная сверху.

2. Для нее не существует m и существует M – в таком случае она неограниченная снизу и ограниченная сверху.

3. Для нее не существует ни m, ни М – в таком случае она не ограниченная ни снизу, ни сверху.

Монотонные последовательности.

К монотонным последовательностям относятся убывающие, строго убывающие, возрастающие, строго возрастающие последовательности.

Последовательность (а_n) называется убывающей, если каждый предыдущий член не меньше последующего: а_n+1≤a_n.

Последовательность (а_n) называется строго убывающей, если каждый предыдущий член строго больше последующего: а_n>a₂>a₃>…>a_n+1>…

Последовательность (а_n) называется возрастающей, если каждый последующий член не меньше предыдущего: а_n≤a_n+1.

Последовательность называется строго возрастающей, если каждый последующий член строго больше предыдущего: а₁23 N выполняется неравенство:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Если последовательность имеет предел, то она ограниченная.

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Для того, чтобы число а было пределом последовательности (а_n), необходимо и достаточно, чтобы а_n имело представление а_n=а+α_n, где (α_n) — бесконечно малая последовательность.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Теоремы о пределах:

1. О пределе суммы: Если последовательность (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n + в_n) также сходится и: lim (а_n + в_n) = lim а_n + lim в_n.

2. О пределе произведения: Если последовательности (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n ∙ в_n) также сходится и:

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3. Если последовательности (а_n) и (в_n) сходятся, то последовательность (а_n/в_n) также сходится и: lim (а_n / в_n) = (lim а_n )/ (lim в_n).

Функция. Способы задания функции.

Если каждому элементу х по какому-либо правилу f поставлен в соответствие элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А задана функция f со значением из множества В, и пишут: f :А->В, или у=f (х).

Пусть задана функция у=f (х). Тогда х назыв. аргументом или независимой переменной, а у – значением функции или зависимой переменной.

Множество А называют областью определения функции, а множество всех у, поставленных в соответствие хотя бы одному х – множеством значений функции. Область определения функции называют также областью значений аргумента, или областью изменения независимой переменной..

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

2. Аналитический способ: при таком способе указывается область определения функции (множество А), и формулируется закон (задается формула), по которому каждому х сопоставляется соответствующий у.

3. Способ словесного описания.

4. Геометрический (графический) способ: задать функцию графически – значит изобразить ее график.

Источник

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

где −i-ый член последовательности.

Последовательности можно задавать тремя способами: словестно, аналитически и рекуррентно .

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность называется заданной аналитически , если указана формула ее n-го члена.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Действительно. Взяв для n значения 1, 2, 3, . мы получим последовательность (1).

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Последовательность задана рекуррентно , если указан метод вычисления n — го члена, при известных предыдущих членах последовательности.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Определение 2. Числовая последовательность, в котором все члены равны называется стационарным .

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Возрастающие и убывающие последовательности называются также монотонными последовательностями .

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

.

Найдем разность членов и :

.

(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

.

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

.

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

(5)

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что y_n Определение 6. Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что y_n>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (y_n) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (a_n) является монотоннной и ограниченной:

.

(5)

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

.

Найдем разность членов и :

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (a_n) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

(7)

Из выражения (7) видно, что при любых n a_n≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

(8)

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

(9)

(10)

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Как можно заметить из рисунков Рис.1 и Рис.2, члены последовательности , при увеличении n, постепенно приближаются к некоторой точке (в данном случае к точке O), а для последовательности такое не наблюдается. Говорят, что последовательность сходится , а полседовательность расходится .

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n₀, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n₀ содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

.

(11)

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n₀, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n₀.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

.

(12)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

.

.

В качестве n₀ берем 501. Имеем:

.

.

(13)

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

.

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

.

(14)

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы

.

(15)

.

.

,

(16)

.

(17)

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n₀ натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n₀). Из неравенства (16) можно найти номер n₀, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n₀=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

.

(18)

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

.

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

.

На Рис. 3 представлена функция . Абсцисы нарисованных точек это номера членов последовательности, а ординаты образуют последовательность (18) (или (19)). Прямая y=1 (горизонтальная пунктирная линия) называется горизонтальной асимптотой . Как видно из Рис.3 последовательность приближается к горизонтальной асимптоте.

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

.

2. Предел произведения равен произведению пределов:

.

3. Предел частного равен частному пределов:

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

.

Пример 7. Найти предел последовательности:

.

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

.

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

.

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник