Измерение площади фигуры разными способами

Измерение площади фигуры разными способами

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которых мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 8 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

изучить литературу по исследуемой теме;

отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

провести сравнительный анализ «плюсов» и «минусов» найденных способов.

провести эксперимент в 8В классе об выявлении математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;

Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Из истории возникновения понятия «Площадь».

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей. В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе.

Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур» (н.п. земельных участков). Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке — пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рис.1. фотография рыбацкой сетки

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так S = В + Г/2 — 1, где В — количество внутренних узлов, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

S = 17 + 14/2 — 1 = 23.

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.

Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиенияне подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 5; Г = 4; S = 5 + 4/2 — 1 = 6.

И опять я получил один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S₀ = m/m₀, вычислить искомую площадь. [3, с.65]

Вычисление площади клинового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа (рис. 2).

Рисунок 2. Фотография листа клена

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники. (Рисунок 3).

Рисунок 3. Разбиение листа клена на прямоугольники и прямоугольные треугольники

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Тогда общая площадь листа будет равна:

см 2

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника. (Рисунок 4).

Рисунок 4. Дополнение листа клена на прямоугольника

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Общий прямоугольник имеет размеры 18,2 см на 15 см, т. Е. его площадь прямоугольника составляет S=18,2∙15=273 см 2

см 2

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Разбиение листа клена на узлы

В (внутренние точки) =13353 шт.

Г (граничные точки) = 725 шт.

Тогда по формуле S = В + Г/2 – 1

S=13353+362,5-1=13714,5мм 2 =137,145 см 2

4. Метод взвешивания

Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy. По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги А4 =5г. Размеры листа А4 равны 210х297мм, т.е. площадь одного листа равна S₀ = 623,7 см 2

Рис. 6. Фотография оборотной стороны упаковки бумаги SvetoCopy

Рис. 7. Таблицы дляболее точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2)), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле.

Прямоугольник имеет размеры: 7см на 5 см, а квадрат: 5см на 5см.

Источник

Площадь фигур

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см 2

Формулу площади квадрата, зная определение степени, можно записать следующим образом:

Площадь прямоугольника

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см 2

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м 2
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м 2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м 2

Ответ: S = 65 м 2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

АС — диагональ прямоугольника ABCD . Найдём площадь треугольников ABC и ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см 2

S _ABC = S_ABCD : 2

S _ABC = 20 : 2 = 10 см 2

S _ABC = S _ACD = 10 см 2

Источник

1.Понятие площади и ее измерение.Измерение площади фигуры при помощи палетки.

Площадью фигуры называется неотриц.величина,определенная для каждой фигуры так,что:1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура составлена из конечного числа фигур,то ее площадь равна сумме их площадей.Чтобы измерить площадь фигуры,нужно иметь ед.площади.Как правило за ед.площади принимают площадь квадрата со стороной,равной ед.отрезку е,т.е.отрезку,выбранному в качестве ед.длины.Площадь квадрата со стороной е обознач.е^2.Н-р,если длина стороны еденич. квадрата m,то его площадь m^2.Одним из приемов измерения площадей явл.палетка-сетка квадратов,нанесенной на прозрачный материал.Допустим,что на фигуру F,площадь которой надо измерить,наложена палетка.Тогда по отнош.к этой фигуре можно выделить кв.двух видов:1)кв.,которые целиком лежат внутри фигуры F; 2)кв,через которые проходит контур фигуры и которые лежат частью вне, часть. Внутри фигуры F.

Как видим,такая палетка позволяет измерить площадь фигуры F лишь с невысокой точностью.Из опред.площади и сути ее измерения вытекают известные правила сравнения площадей и действия над ними.1)Если фигуры равны,то равны числен.знач.их площадей.фигуры у которых площади равны,назыв.равновеликие.2)Если фигура F составл.из фигур F1, F2,…. Fn,то числен.знач.площади фигуры F равно сумме числен.знач.площадей фигур F1,F2…Fn.3)при замене ед.площади чмслен.знач.площади увеличивается во столько раз,во сколько новая ед.меньше старой.

2.Методика обуч.Письменным приемам умножения.

Объяснение письменного умножения на однозначное число, как и сложения, не нуждается в опоре на предметные наглядные пособия; здесь достаточно только подчеркнуть строгую поразрядность выполнения этого действия, отразив это в первой записи умножения следующим образом. Допустим, что нужно 324 умножить на 2. После разбора состава числа 324 учитель записывает этот пример Из этой записи видно, что умножение трехзначного числа сводится к умножению каждого разряда этого числа начиная с единиц. Надо отметить, что в школьной практике ученики часто пользуются вместо устных письменными приемами. Чтобы предупредить этот недочет, полезно чаще сравнивать устные и письменные приемы. Например, ученику предлагается решить два примера: 460 + 320 и 347 + 486. Эти примеры записываются на доске в строчку. Ученик должен сам выбрать способ решения каждого примера, устный или письменный, подчеркивая их сходство и различие

Рассматриваемые случаи относятся к внетабличному делению и решение основывается на правиле деления суммы на число.

В первом выражении число 96 представляем виде суммы разрядных слагаемых, т.к. каждая из них делится на 3; во втором выражении число 96 представляем виде суммы удобных слагаемых, каждая из которых делится на 4.

С какой целью учитель может предложить следующие упражнения: «Сравните способы деления для случаев 96:3 и 96:4». Чем они отличаются и чем похожи?

Рассматриваемые случаи относятся к внетабличному делению и решение основывается на правиле деления суммы на число.

В первом выражении число 96 представляем виде суммы разрядных слагаемых, т.к. каждая из них делится на 3; во втором выражении число 96 представляем виде суммы удобных слагаемых, каждая из которых делится на 4.

Методика обучения учащихся письменным приемам умножения.

Различают три этапа в изучении:1) * и / на однозначное число, 2) * и / на двух- и трехзначные разрядные числа, 3) * и / на двух- и трехзначные числа.

4кл 1/79 подготовительная работа: замена суммы одинаковых слагаемых произведением и наоборот;

Повторение особых случаев * (умножение с нулем и единицей);

Переход от устного к письменному строят так, чтобы учащиеся поняли, что в обоих случаях используется свойство умножения суммы на число, но письменное * начинается с низших разрядов, а устное – с высших. При ознакомлении с письменным * надо взять такой пример на * трех- или четырехзначного числа на однозначное, где были бы переходы через дес или сотню. Например: 418*3. Сначала решают знакомым способом: заменяют первый множитель суммой разрядных слагаемых и * сумму на число: 418*3= (400+10+8)*3=400*3+10*3+8*3=1200+30+24=1254. Предлагается решить еще его раз, переставив разрядные слагаемые: 418*3=(8+10+400)*3=8*3+10*3+400*3=24+30+ 1200=1254. после идет знакомство с письменным * на однозначное число: записывая столбиком, давая подробное объяснение. Например:418*3.

записываем второй множитель под ед. первого множителя. Проводим черту. Слева ставим знак *. Начинаем * с ед. умножаем 8ед на 3 – получается 24ед. это 2дес и 4ед. 4ед пишем под ед, а 2дес запомним, 1дес умножим на 3 – получим 3дес, да еще 2дес в уме – получаем 5дес. Пишем их под дес, 4сот умножаем на 3 – получаем 12сот. Это 1тыс и 2сот. 2сот пишем под сот и 1тыс пишем на месте тыс. произведение 1254. Потом переходят к краткому объяснению.

Рассмотрим случаи, когда первый множитель содержит в конце нули 4/1 82. 42300*6=253800. Подписываю второй множитель 6под первой отличной от нуля цифрой первого множителя, под цифрой 3; в числе 42300 содержится 423 сот; умножаем 423сот на 6, получится 2538 сот, или 253800.

Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических ед, например: 9т 453кг * 3; 5км 65см * 9. Можно сразу выполнить умножение или сначала заменить величины выраженные в единицах двух наименований, величинами одного наименования и выполнить действие.

Понятие длины отрезка и ее измерение. Свойства длины. Стандартные единицы длины

Табличное умножение и деление чисел.

Табличное умножение и деление изучается совместно т. е. из каждого случая умножения получают соответствующие слу­чаи деления; если 5-3=15, то 15:5 = 3 и 15:3 = 5. Основой для этого служит знание учащимися связи между компонентами и результатом действия умножения.

Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и деления с числом 3, затем 4, 5 и т. д.Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану. Прежде всего составляется таблица умножения по постоян­ному первому или второму множителю.

Как и при составлении таблицы умножения двух, для на­хождения результата используют различные приемы: произве­дение заменяют суммой (3-4 = 3 + 3 + 3 + 3=12); к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствую­щее число: 3 умножить на 4, получится 12, а при умножении 3 на 5 получится на одну тройку больше и результат вычис­ляют так: 12 + 3=15; можно также из известного результата вычесть соответствующее число: ученики знают, что 8-10 = 80, а в произведении 8-9 будет на одну восьмерку меньше, значит, получим: 80 — 8 = 72; используют и перестановку множителей (3-5 = 5-3).После того как составлена таблица по постоянному перво­му множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют еще один пример на умножение (переставляют мно­жители) и два примера на деление (на основе связи между компонентами и результатом умножения).Каждая таблица умножения по постоянному первому мно­жителю составляется начиная со случая равных множителей (3-3, 4-4 и т. д.), поскольку случаи, предшествующие этим,уже были рассмотрены ранее в других таблицах. Примеры на ум­ножение читаются по-разному: по 5 взять 3 раза, получится 15. Пример: Вы уже знаете таблицу умножения двух и трех, а сегодня составим таблицу умножения четырех и будем делить на 4.Учитель открывает заранее записанную на доске таблицу умножения четырех (4-4, 4-5, . . ., 4-9) и предлагает пе­реписать ее в тетрадь. Прочитайте первое произведение. (4 умножить на 4.) Изо­бразите произведение этих чисел, используя квадрат с уголком (рис. 22). (Ученики показывают 4 ряда квадратов, по 4 квад­рата в каждом.) Вычислите это произведение (16.) Как вы­числяли? (4 + 4+4 + 4=16.) Запишите эту сумму внизу под таб­лицей умножения. (Выполняют.) Сколько же получится, если 4 умножить на 4? (16.) Запишем в таблице умножения. Теперь вычислим следующее произведение: 4-5. Как вы изобразите его на квадратах? (Дети показывают 5 рядов квадратов, по 4 квад­рата в каждом.) Сколько всего квадратов? (20.) Как узнали? (4+4+4 + 4+4 = 20.) Запишем эту сумму под первой. Как мож­но вычислить вторую сумму, пользуясь первой? (16 + 4 = 20.) Как еще можно вычислить результат? (Переставить множите­ли: 5-4 — это 5 + 5 + 5 + 5=20.) Сколько же получится, если 4 умножить на 5? (20.) Какой следующий пример будем решать? (4 умножить на 6.) Решите и назовите результат. (24.) Как вычисляли? (4+4 + 4+4+4 + 4 = 24.) Запишем. Как« по-другому можно решить этот пример? (Прибавить к предыдущему ре­зультату, к 20, число 4 или переставить множители: 6-4 — это 6+6+6 + 6 = 24; можно и так вычислить: 4 + 4 + 4=12 и еще 4 + 4 + 4=12, 12+12 = 24.)В таком же плане рассматриваются и другие случаи умно­жения, после чего ученики читают таблицу умножения.Объясните, почему начали составлять таблицу со случая 4-4? (Другие случаи уже были в таблицах.) Какие еще приме­ры на умножение можно составить с такими же результатами? (Переставим множители и получим примеры на умножение на 4.)Рядом с таблицей умножения четырех ученики сами запи­сывают таблицу умножения на 4 и читают ее по-разному.Ученики составляют по каждому примеру на умножение два примера на деление и записывают их. Последними составляют­ся примеры к случаю 4-4; здесь получаются одинаковые при­меры на деление.Полезно предложить ученикам рассмотреть все примеры пер­вой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые множители увеличиваются на единицу, а произведения на 4 еди­ницы. Так же сравниваются примеры и других столбиков.Как уже отмечалось, аналогично проводится работа над дру­гими таблицами. Число новых случаев в каждой следующей таблице уменьшается. Учащиеся от таблицы к таблице прояв­ляют больше самостоятельности в их составлении. Они быстро замечают, что в каждой таблице умножения по постоянному первому множителю первым берется пример с одинаковыми множителями, что в каждом следующем примере на единицу больше второй множитель (2-3, 2-4). Все это помогает уча­щимся самим и составить очередной новый пример, и решить его. Уже при составлении таблицы умножения четырех или пя­ти можно предложить учащимся самим назвать первый, второй и т. д. примеры таблицы по порядку.Приведем краткую таблицу умножения, подлежащую запо­минанию наизусть. Зная эту таблицу, можно решить все приме­ры, относящиеся к табличному умножению и делению. Рассмотрев таблицу, ученики сами могут пояснить, почему включены только эти случаи и почему здесь отсутствуют ос­тальные. В ходе изучения таблиц и позднее необходимо уделять боль­шое внимание упражнениям на запоминание табличных резуль­татов: составить четыре примера на умножение и деление с оди­наковыми числами (4-3=12, 3-4=12, 12:4 = 3, 12:3=4), повто­рить таблицы по порядку и вразбивку, составить по памяти таб­лицу умножения двух или на 2, трех или на 3 и т. д., заменить число (24) произведением соответствующих множителей (8-3, 6-4), отгадать задуманное число (если его умножили на 8 и получили 72). Полезно в этих целях вместе с учащимися со­ставить таблицу умножения Пифагора и научить ею пользо­ваться. После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулем. Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0-5,0-2,0-7). Результат учащиеся находят сложением (0-2 = = 0+0 = 0, 0-3 = 0 + 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руковод­ствуются.Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множи­телей, так как это новая область чисел, в которой перемести- тельное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю»—учитель просто сообщает детям.Затем оба эти правила применяются при выполнении раз­личных упражнений на вычисления.Деление нуля на любое число, не равное нулю (0:6), рас­сматривается на основе связи между компонентами и резуль­татом деления. Ученики рассуждают так: чтобы 0 разделить на 6, надо найти число, при умножении которого на 6 полу­чится 0. Это нуль, так как 0-6=0. Значит, 0:6 = 0. В результа­те решения ряда аналогичных примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим пра­вилом.Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении которого на нуль полу­чится 8.Необходимо чаще включать в тренировочные упражнения случаи умножения и деления с числами 0 и 1, сравнивая соот­ветствующие приемы (5-0 и 5-1), чтобы предупредить их смешение.

Делители и кратные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Способы нахождения НОД и НОК

Методика обучения письменным приемам сложения и вычитания

Понятие числового равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.

Источник