Использовать способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника является одним из тех методов в котором находится действительная величина отрезка или расстояние между двумя точками прямой по двум проекциям. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB₁) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник: — первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов); — из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций; — гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.

Ортогональная проекция отрезка общего положения всегда будет меньше его действительной величины.

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка или расстояния между двумя точками прямой может быть использован способ прямоугольного треугольника. Где выполняется построение прямоугольного треугольника: — за один его катет принимается горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция отрезка; — а за другой катет — разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции; — гипотенуза, полученного таким образом, прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка или расстояния между двумя точками прямой.

Графическое определение действительной величины отрезка [AB] или расстояния между двумя точками прямой A и B путем построения прямоугольных треугольников ΔA`B`B₀ или ΔA»B»A₀.

Используя способ прямоугольного треугольника, можно также решать задачу по построению на эпюре: — проекции отрезка, наперед заданной величины; — проекции расстояния между двумя точками прямой, наперед заданной величины.

Даны проекции равностороннего треугольника ABC(A`B`C`,A»B». ) .
Построить недостающие проекции треугольника.

Построение равностороннего треугольника выполняется с использованием способа прямоугольного треугольника

Другие графические способы определение действительной величины, натурального вида или натуральной величины отрезка, плоской фигуры изложены в статье: Метод преобразования. Определение действительной величины треугольника ΔABC показаны на примере решения двух задач в статье: Графическая работа 3

Способ прямоугольного треугольника применяется в статье графическая работа 1: Графическая работа 1

Если вы искали не Способ прямоугольного треугольника а: Проекции треугольника, нажмите на ссылку.

Построение треугольника в плоскости общего положения смотри: Вращение вокруг следа

Источник

Начертательная геометрия выполнение заданий

Способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника применяется в задачах, в которых требуется определить натуральную величину отрезка, разность координат концов отрезка, углы наклона его к плоскостям проекций и так далее. Посмотрим на способ прямоугольного треугольника как частный случай замены плоскостей проекций. Это тот случай определения длины отрезка, когда один из его концов принадлежит плоскости проекций, а новая плоскость проекций проводится через сам отрезок (Рис.58). На чертеже это новая ось, совпадающая с проекцией отрезка. При этом искомая величина отрезка окажется равной гипотенузе прямоугольного треугольника, один из катетов которого есть проекция отрезка. Помимо длины треугольник содержит в себе и другие сведения об отрезке.

Точно такой же треугольник с точно такими же сведениями об отрезке можно получить без операции проецирования и даже – на безосном комплексном чертеже. Применим одну из проекций отрезка за катет прямоугольного треугольника. Второй катет равен разности координат концов отрезка в направлении, в каком была задана выбранная проекция. Что имеем в итоге:

1) Длина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого – это проекция отрезка, второй катет – равен разности координат концов отрезка, измеренной в направлении получения использованной проекции отрезка.

2) Угол наклона отрезка к плоскости проекций равен углу между гипотенузой и проекцией отрезка на той же плоскости.

Пример (Рис.59). Определить длину отрезка и угол его наклона к плоскости .

При определении длины отрезка за катет прямоугольного треугольника может быть выбрана любая проекция отрезка. Другое дело, если определяется угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций. Здесь выбор падает на проекцию отрезка, принадлежащую именно той же плоскости проекций.

Строим прямоугольный треугольник, приняв за катет фронтальную проекцию отрезка . Второй катет по длине равен разности координат точек и в направлении мнимой в данном случае оси y. На чертеже эта разница берется на другой плоскости проекций: на плоскости . Из построенного треугольника делаем выводы:

3.2.4.1. Выполнить чертёж болта исполнения 1 по ГОСТ 7798-70 в двух проекциях в соответствии с рис. 7. Все необходимые размеры взять из табл. 3 и нанести на чертеже. Проекции гиперболы, получающейся в результате пересечения конической фаски с гранями призматической головки болта, для упрощения заменить дугами окружностей. Построение их приведено на рис. 8, б Резьбовой конец болта оформить по ГОСТ 12414-66 (табл. 4).

3.2.4.2. Гайка ГОСТ 5915-70 навинчивается на резьбовой конец болта или шпильки до упора в одну из деталей (рис. 6 и 12)

и представляет собой шестигранную призматическую деталь, имеющую в центре резьбовое отверстие (рис. 8, а).

Чертёж гайки исполнения 2 (рис. 9) выполнить в двух проекциях по ГОСТ 5915-70, нанести необходимые размеры (табл. 5), коническую фаску на шестигранной поверхности вычертить так же, как и на болте в соответствии с рис. 8

Источник

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»₁ и F»₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Источник

Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет найти истинную величину отрезка прямой общего положения и углы его наклона к плоскости проекций: истинная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность значений координат его концов до плоскости проекций, в которой ведется построение.

Возьмем отрезок общего положения АВ (АIП₁) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций П1. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник eА₁ВВ₁, в котором гипотенузой является сам отрезок, одним катетом – горизонтальная проекция этого отрезка, а вторым катетом разность высот точек А и В отрезка. Так как по чертежу (эпюру) прямой определить разность высот ее точек не составит труда, то можно построить по горизонтальной проекции отрезка (рис.б) прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка АВ. Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов (рис.в), замеренную на плоскости П₁. При этом мы получаем и значение угла наклона отрезка к плоскостям проекций, смотря от какой плоскости мы замеряем удаление точек отрезка.

Взаимное положение прямых.

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Взаимное положение прямых может быть определено по относительному расположению их проекций.

Прямые параллельны, если их одноименные проекции параллельны.

Прямые пересекаются, если их одноименные проекции пересекаются и точки их пересечения находятся на одной линии проекционной связи

Теорема о проецировании прямого угла.

Следует отметить, что если прямые пересекаются под прямым углом, то в общем случае их проекции образуют угол, не равный 90°. Прямой угол проецируется в истинную величину на плоскость, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

Скрещивающиеся прямые – это прямые не имеющие общих точек. На эпюре таких прямых точки пересечения их проекций не лежат на одной линии проекционной связи.

Источник

Натуральная величина отрезка прямой общего положения. Метод прямоугольного треугольника

В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований. Существует несколько методов нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций. Одним из этих методов является метод прямоугольного треугольника, в котором находится зависимость длины проекции отрезка от его истинной величины.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого ( ) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций (рис. 2.18).

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник:

1. Первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов).

2. Из проекции любого конца отрезка ( или ) под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций.

3. Гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна длине заданного отрезка.

4. Угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией на эту плоскость проекций.

Следовательно, для определения угла наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций прямоугольный треугольник строится на базе горизонтальной проекции отрезка, к фронтальной плоскости проекций – на базе фронтальной проекции, к профильной плоскости проекций – на базе профильной проекции.

2.3. Плоскость. Способы ее задания, положение относительно плоскостей проекций

Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 2.20 а);

2) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис. 2.20 б);

3) двумя параллельными прямыми (рис. 2.20 в);

4) двумя пересекающимися прямыми (рис. 2.20 г);

5) плоской фигурой (рис. 2.20 д);

6) следом плоскости (рис. 2.20 е).

На КЧ плоскость задается проекциями этих элементов, но не ограничивается ими, т.к. она безгранична и бесконечна.

Всегда от одного способа задания плоскостей можно перейти к другому. Например, соединив между собой точки А, В и С отрезками прямых линий, можно получить плоскость, заданную треугольником (рис. 2.20 а, д).

След плоскости – это линия пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Соответственно различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Задание плоскости следами дает наиболее наглядное представление о положении плоскости в пространстве.

В системе двух плоскостей проекций плоскость в общем случае имеет два следа (рис. 2.21 а, б). Точки пересечения двух следов на оси проекций называются точками схода следов. Для упрощения решения задач на практике обычно переходят от такого способа задания плоскости к заданию ее двумя пересекающимися прямыми нулевого уровня[2]: горизонталью, лежащей в горизонтальной плоскости проекций и совпадающей с горизонтальным следом плоскости , и фронталью, располагающейся во фронтальной плоскости проекций и совпадающей с фронтальным следом плоскости (рис.2.21 а, в).

Классификация плоскостей относительно плоскостей проекций аналогична классификации прямых: плоскости относительно плоскостей проекций могут занимать общее или частное положение.

Плоскостью общего положения называется плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения пересекает все плоскости проекций (рис. 2.21).[3]

Признаки и свойства плоскости общего положения:

1) Следы плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из осей проекций.

2) Любой плоский геометрический объект (отрезок или фигура), лежащий в плоскости, проецируется на любую из плоскостей проекций с искажением.

Плоскостями частного положения относительно плоскостей проекций называются плоскости параллельные или перпендикулярные им.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая плоскости. Такие плоскости вырождаются в прямую линию (след проекций) на ту плоскость проекций, к которой они перпендикулярны.

1. Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.

Признаки и свойства горизонтально-проецирующей плоскости:

1) горизонтальный след плоскости располагается наклонно к осям проекций 0x и 0y и определяет углы наклона этой плоскости к фронтальной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций;

2) горизонтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, находятся на ее горизонтальном следе , его называют следом проекций.

2. Фронтально-проецирующая плоскость –плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

Признаки и свойства фронтально-проецирующей плоскости:

1) фронтальный след плоскости располагается наклонно к осям проекций 0x и 0z и определяет углы наклона этой плоскости к горизонтальной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций;

2) фронтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, находятся на ее фронтальном следе .

3. Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Признаки и свойства профильно-проецирующей плоскости:

1) горизонтальный и фронтальный следы плоскости располагаются параллельно оси проекций 0x, а профильный след наклонен к осям 0y’ и 0z. Он определяет углы наклона этой плоскости к фронтальной ( ) и горизонтальной ( ) плоскостям проекций;

2) профильные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих в профильно-проецирующей плоскости, находятся на ее профильном следе.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.

Все точки этой плоскости одинаково удалены от той плоскости проекций, к которой она параллельна. Любой отрезок или плоская фигура, лежащие в плоскости уровня, проецируются без искажения на параллельную ей плоскость проекций.

Существует три вида плоскостей уровня: горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости уровня.

Плоскости уровня пересекают только две плоскости проекций, поэтому, в отличие от ранее рассмотренных плоскостей, имеют только два следа.

1. Горизонтальная плоскость уровня– плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.

Признаки и свойства горизонтальной плоскости:

1) фронтальный и профильный следы плоскости располагаются параллельно осям проекций 0x и 0y соответственно;

2) фронтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих в горизонтальной плоскости, находятся на ее фронтальном следе, профильные проекции – на профильном;

3) горизонтальные проекции плоских фигур, лежащих в плоскости, равны их натуральным величинам.

2. Фронтальная плоскость – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций.

Признаки и свойства горизонтальной плоскости:

1) горизонтальный и профильный следы плоскости располагаются параллельно осям проекций 0x и 0z соответственно;

2) горизонтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих во фронтальной плоскости, находятся на ее горизонтальном следе, профильные проекции – на профильном;

3) фронтальные проекции плоских фигур, лежащих в плоскости, равны их натуральным величинам.

3. Профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.

Признаки и свойства профильной плоскости:

1) фронтальный и горизонтальный следы плоскости располагаются параллельно осям проекций 0z и 0y соответственно;

2) фронтальные проекции всех точек, прямых и плоских фигур, лежащих в профильной плоскости, находятся на ее фронтальном следе, горизонтальные проекции – на горизонтальном;

3) профильные проекции плоских фигур, лежащих в плоскости, равны их натуральным величинам.

Источник