Инженерный способ задания линейчатых поверхностей

Способы задания поверхности

Существуют различные способы задания поверхности.

Поверхность в этом случае описана математическим выражением и представляется как геометрическое место точек или линий, удовлетво­ряющих уравнению F(x, у, z) = 0.

Например, поверхность шара задана уравнением: х 2 +у 2 +z 2 =г 2 .

1. Задание поверхности каркасом.

Этот способ используется при задании сложных поверхностей. По­верхность задается семейством линий, принадлежащих поверхности (каркасом). Каркасы могут быть сетчатые, линейчатые, точечные.

При задании поверхности каркасом необходимо иметь ряд ее па­раллельных сечений, которые можно рассматривать как положения обра­зующей переменного вида. Такой способ применяется при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении и судостроении.

Способ задания поверхности каркасом с помощью линий пересе­чения поверхности плоскостями уровня применяется в топографии, гор­ном и дорожном деле. Проекции линии уровня на плоскость проекций с соответствующими отметками представляют собой карту рельефа мест­ности. Поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топо­графической (рис. 1).

рис. 1

1. Кинематический способ

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных по­ложений движущейся линии. Та­кой способ образования поверх­ности называется кинематиче­ским.

Линия (кривая или прямая) движется в пространстве и созда­ет поверхность. Она называется образующей. Как правило, образующая движется по второй линии. Эта линия называется направляющей (рис. 2).

Классификация поверхностей

Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направ­ляющих:

1. Поверхности закономерные и незакономерные.
2. Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и не­линейчатые (криволинейные) поверхности.
3. Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертываю- щиеся.

Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плос­костью без наличия разрывов и складок.

Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не мо­гут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

1. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы.
2. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

Задание поверхности на чертеже

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют постро­ить каждую ее точку. Совокупность этих элементов называется определи­телем поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

включающей постоянные геометри­ческие элементы (точки, линии), ко­торые участвуют в образовании по­верхности;

задающей закон движения зующей, характер изменения ее формы.

Когда какая-нибудь поверх­ность С! проецируется с помощью параллельных лучей на плоскость проекций Р, то проецирующие пря­мые, касающиеся поверхности О, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3).

Эти проецирующиеся прямые касаются поверхности Ω в точках, образующих некоторую ли­нию т, которая называется контурной линией.

Проекция контурной линии m на плоскость Р, m_р, называется очер­ком поверхности.

Чтобы сделать чертеж более наглядным строят очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки.

Линейчатые поверхности

Гранной поверхностью называется поверхность, образованная пе­ремещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 4, а) и призматические (рис. 4, б).

Пирамидальной называется поверхность, образованная перемеще­нием прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Опре­делитель поверхности — ломаная направляющая т и точка S.

Призматической называется поверхность, образованная переме­щением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному на­правлению I. Определитель поверхности — ломаная направляющая т и направление I.

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии, принадлежащей поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, принадлежащие поверхности.

Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проек­ции принадлежат одноименным проекциям линии этой поверхности.

Точки М и N принадлежат соответственно пирамидальной и приз­матической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположен­ным на этих поверхностях.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими много­угольниками. Рассмотрим два многогранника — пирамиду и призму.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань — основание (произвольный многоугольник). Остальные грани (бо­ковые) — треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пи­рамиды.

Для задания на чертеже пирамиды достаточно задать ее основание и вершину. Чтобы построить проекции точки на поверхности пирамиды, нужно через эту точку провести вспомогательную прямую, принадлежа­щую поверхности пирамиды (рис. 5).

Призмой называется многогранник, у которого основания — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы — параллелограммы. Если ребра боковых граней перпен­дикулярны основанию, то призму называют прямой (рис. 6), если нет — наклонной (рис. 7).

Для задания призмы достаточно задать одно ее осно­вание и боковое ребро. Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани призмы, нужно через эту точку провести прямую.

рис. 6 рис. 7

Источник

Инженерный способ задания линейчатых поверхностей

Многое, что окружает нас в жизни, если смотреть с позиции геометрии, — это линии и поверхности простых и сложных форм. Поверхности широко используются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований.

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

При каркасном способе поверхность задастся совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ используется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето — и судостроении, в топофафии и т. п.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а. Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a.

Различают геометрическую и алгоритмическую часть определителя поверхности. Определитель имеет следующую форму записи Ф( Г ) [ А ], где Ф — обозначение поверхности; ( Г ) -геометрическая часть определителя, в ней перечисляются все геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и задании ее на чертеже; [А ] — алгоритмическая часть определителя — в ней записывается алгоритм формирования поверхности.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а) как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

Определитель поверхности — Ф ( а,m ) [ A₁]:

б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

Определитель поверхности — Ф ( b,m ) [ A₂];

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m. при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

Определитель поверхности — Ф ( а,m ) [ A₃]:

г) как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Определитель поверхности —Ф ( p,m ) [ A₄].

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф ( а,m ) [ A₁].

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

класс 1 — поверхности нелинейчатые (образующая — кривая линия);

класс 2 — поверхности линейчатые (образующая — прямая линия).

Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность. Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

3. Циклическая поверхность — частный случай каналовой поверхности, когда образующая — окружность, радиус которой монотонно изменяется (рис. 100).

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:

1. Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

2. Поверхность дважды косого цилиндроида. Эта поверхность образуется в том случае, когда две направляющие кривые, а третья -прямая линия (рис. 104).

3. Поверхность дважды косого коноида получается в том случае, когда одна из направляющих — кривая, а две других — прямые линии (рис. 105).

4. Поверхность однополостного гиперболоида образуется в случае, когда направляющие — три скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Пример. Найти недостающие проекции точек А» и В’ принадлежащих поверхности однополостного гиперболоида (рис. 106).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A’ проводим проекцию образующей а’₂, определяем ее фронтальную проекцию а₂«, на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A».

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В’ выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a₁,a₂,a₃,a₄ .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В» проведем проекцию вспомогательной линии b’ принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b» с образующими а₁«, а₂«, а₃«, а₄« найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b’ на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В’.

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

1. Поверхность прямого цилиндроида. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по двум направляющим m и n в том случае, когда они — гладкие кривые линии, причем одна из них — плоская кривая, плоскость которой β перпендикулярна плоскости параллелизма a (n ⊂ β, β ⊥ a) (рис. 107).

2. Поверхность прямого коноида. Эта поверхность получается в том случае, когда одна направляющая — кривая линия, а вторая -прямая, причем она перпендикулярна плоскости параллелизма

a( n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. . Такая поверхность образуется в том случае, когда две направляющие — скрещивающие прямые (рис. 109). Поверхность косой плоскости применяется в инженерно — строительной практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железнодорожных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения имеющих различные углы наклона.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

Торсы являются развертываемыми поверхностями — они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов. К торсовым поверхностям относятся:

1. Поверхность с ребром возврата. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2. Цилиндрическая поверхность. Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3. Коническая поверхность. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Источник