Инженерный способ решения примеров

7. Методы решения инженерных задач

Для современных инженерно-технических задач необходимо использовать математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто встречаются задачи, для которых аналитическое решение, т.е. общее решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные задачи с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей явно нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов. Использование ПЭВМ для выполнения вычислительных алгоритмов позволяет получать необходимые результаты с достаточной эффективностью.

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы — точные и приближенные.

Точными называют методы, которые предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Однако точные методы имеют ряд существенных недостатков. Они могут оказаться настолько громоздкими, что становятся неприемлемыми для практического использования. Поскольку любые вычисления, в том числе и на ЭВМ, ведутся с округлением, то значения неизвестных, полученные точными методами, неизбежно содержат погрешности. Любая погрешность, допущенная в промежуточных вычислениях, при работе с точными методами влияет и на конечные результаты. Так, например, при решении системы алгебраических уравнений методом Гаусса возникающая один раз вычислительная погрешность накапливается, что может привести к значительному отличию полученного результата от истинного.

Приближенными называются методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Приближенный метод называется итерационным, если решение с его помощью может быть получено как результат бесконечного процесса повторяющихся операций, при котором каждая следующая операция уточняет значения неизвестных, используя приближенные значения, уже найденные на предыдущих операциях. Вычислительный алгоритм, реализующий такой метод, называется итерационным алгоритмом.

Итерационные методы не всегда сходятся в применении к данному классу уравнений, однако если они сходятся, то затраты времени на получение решения с приемлемой точностью, как правило, сокращаются по сравнению с точными методами решения этой же задачи. Итерационные методы, в отличие от точных, требуют предварительной проверки условий сходимости и выбора начального приближения.

8. Рекомендуемая литература

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Гос. изд. физ-мат лит., 1963. – 660 с.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.:Высш.шк., 1990. – 544 с.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.:Наука, 1977.

Маликов А.И. Лабораторный практикум по программированию. Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева, 1998, 78 с.

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа . – М.:Наука, 1967. – 368 с.

Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. – М.:Мир, 1977. — 584 с.

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./ Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. – М.:Мир, 1979, 312 с.

Кибернетика. Микрокалькуляторы в играх и задачах. – М.:Наука, 1986. – 160 с.

Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. – М.:Наука, 1986. – 224 с.

Сальвадори М.Дж. Численные методы в технике. – М.:Иностранная литература, 1955. – 248 с.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.Наука, 1976. 352 с.

Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. – М.: Машиностроение, 1976.

Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. – М.:Наука, 1960. – 216 с.

Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988. – 223 с.

Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1977, 343 с.

Бояринов Ф.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. Изд. 2-е. М.: Химия, 1975. – 576 с.

Муртаф Б. Современное линейное программирование: Пер. с англ. – М.:Мир, 1984. – 224 с.

Дэннис Д., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений.– М.:Мир, 1988. – 289 с.

Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.:Мир, 1962, 236 с.

Информатика. Базовый курс. Учебник для ВУЗов /Под ред. Симоновича. – СПб: Питер, 2000. – 640 с.

Информатика. Учебник /Под ред. Макаровой. – СПб: , 1998.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

7. Методы решения инженерных задач

Для современных инженерно-технических задач необходимо использовать математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто встречаются задачи, для которых аналитическое решение, т.е. общее решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные задачи с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей явно нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов. Использование ПЭВМ для выполнения вычислительных алгоритмов позволяет получать необходимые результаты с достаточной эффективностью.

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы — точные и приближенные.

Точными называют методы, которые предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Однако точные методы имеют ряд существенных недостатков. Они могут оказаться настолько громоздкими, что становятся неприемлемыми для практического использования. Поскольку любые вычисления, в том числе и на ЭВМ, ведутся с округлением, то значения неизвестных, полученные точными методами, неизбежно содержат погрешности. Любая погрешность, допущенная в промежуточных вычислениях, при работе с точными методами влияет и на конечные результаты. Так, например, при решении системы алгебраических уравнений методом Гаусса возникающая один раз вычислительная погрешность накапливается, что может привести к значительному отличию полученного результата от истинного.

Приближенными называются методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

Приближенный метод называется итерационным, если решение с его помощью может быть получено как результат бесконечного процесса повторяющихся операций, при котором каждая следующая операция уточняет значения неизвестных, используя приближенные значения, уже найденные на предыдущих операциях. Вычислительный алгоритм, реализующий такой метод, называется итерационным алгоритмом.

Итерационные методы не всегда сходятся в применении к данному классу уравнений, однако если они сходятся, то затраты времени на получение решения с приемлемой точностью, как правило, сокращаются по сравнению с точными методами решения этой же задачи. Итерационные методы, в отличие от точных, требуют предварительной проверки условий сходимости и выбора начального приближения.

8. Рекомендуемая литература

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Гос. изд. физ-мат лит., 1963. – 660 с.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.:Высш.шк., 1990. – 544 с.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.:Наука, 1977.

Маликов А.И. Лабораторный практикум по программированию. Казань: КГТУ им.А.Н.Туполева, 1998, 78 с.

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа . – М.:Наука, 1967. – 368 с.

Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. – М.:Мир, 1977. — 584 с.

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./ Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. – М.:Мир, 1979, 312 с.

Кибернетика. Микрокалькуляторы в играх и задачах. – М.:Наука, 1986. – 160 с.

Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. – М.:Наука, 1986. – 224 с.

Сальвадори М.Дж. Численные методы в технике. – М.:Иностранная литература, 1955. – 248 с.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.Наука, 1976. 352 с.

Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. – М.: Машиностроение, 1976.

Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. – М.:Наука, 1960. – 216 с.

Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988. – 223 с.

Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1977, 343 с.

Бояринов Ф.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. Изд. 2-е. М.: Химия, 1975. – 576 с.

Муртаф Б. Современное линейное программирование: Пер. с англ. – М.:Мир, 1984. – 224 с.

Дэннис Д., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений.– М.:Мир, 1988. – 289 с.

Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.:Мир, 1962, 236 с.

Информатика. Базовый курс. Учебник для ВУЗов /Под ред. Симоновича. – СПб: Питер, 2000. – 640 с.

Информатика. Учебник /Под ред. Макаровой. – СПб: , 1998.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Численные методы решения инженерных задач

Тема 1

Численные методы решения инженерных задач

В технике и во многих областях науки основным результатом решения задачи является ее численное решение.

Численные методы –это методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, выполняемыми на ЭВМ.

При применении численных методов решение задачи оказывается, как правило, приближенным. Это объясняется тем, что точное решение многих задач неизвестно.

Кроме того, даже при наличии точного метода часто используются приближенные методы, в частности, по следующим причинам:

— точное решение очень трудоемко, а приближенное решение при существенно меньшем объеме вычислений оказывается вполне приемлемым;

— точность полученного результата не играет существенной роли, так как в любом случае округляется до целого числа;

— приходится удовлетворяться приближенным решением, поскольку точное решение не может быть получено из-за неизбежных погрешностей, возникающих в процессе вычислений.

Основные источники и типы погрешностей

Элементы теории погрешностей

Неустранимые погрешности:

1. Несоответствие математической модели (задачи) изучаемому реальному явлению.

2. Погрешность исходных данных (входных параметров).

Устранимые погрешности:

3. Погрешность метода.

4. Ошибки округления в действиях над числами

Численный метод считается выбранным удачно, если погрешность метода значительно меньше неустранимой погрешности, а погрешность округления – значительно меньше погрешности метода.

Приближенные числа и действия над ними

Пусть А– точное значение некоторой величины, a– приближенное значение (число), заменяющее А в вычислениях.

Абсолютная погрешность (ошибка) числа

(1.1)

— предельная абсолютная погрешность — всякое число, не меньшее абсолютной погрешности числа.

Следовательно, точное число А заключено в границах

, (1.2)

Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности вычислений, например м и м

Относительная погрешность числа

(1.3)

— предельная относительная погрешность, не меньшая относительной погрешности числа.

Обычно относительная погрешность определяется в процентах

(1.4)

Теоремы, применяемые для оценки погрешностей результатов арифметических действий

Теорема 1. Абсолютная погрешность суммы или разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей чисел.

(1.5)

Теорема 2. Относительная погрешность произведения или частного двух приближенных чисел, отличных от 0, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

; (1.6)

Некоторые следствия из теорем

;

(1.7)

; .

Системы счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (I – 1, V – 5, т.е. цифры сохраняют значение числа вне зависимости от положения цифры).

Арабская система записи чисел – позиционная.

В позиционной системе с основанием β запись

(1.8)

является представлением числа с фиксированной десятичной запятой.

Представление числа с плавающей запятой

, (1.9)

где М – мантисса числа х,

β – основание системы счисления,

Значащие и верные цифры

Первая слева, отличная от нуля и все расположенные справа за ней цифры в десятичном изображении числа называются значащими.

Пример:127,56 – 5 значащих цифр

0,028 – 2 значащих цифры

0,3050 – 4 значащих цифры

Значащая цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой.

Пример:у числа0,230245 значащих цифр

0,23024 0,0001 (0,00005

Правило округления: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньшая 5, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется. В противном случае, в младшем сохраняемом разряде добавляется единица.

Тема 2

Абсолютное отклонение

(2.1)

Среднеквадратичное отклонение

(2.2)

Интерполяция

Пусть на отрезке задана сетка с узлами интерполяции x₀, x₁. x_n.

Задача интерполирования заключается в построении многочлена (полинома) F_m (x) степени m, который в узлах интерполяции принимает те же значения, что и заданная функция f(x).

Если многочлен строится на части узлов, то такая интерполяция называется локальной, если на всех узлах – то это глобальная интерполяция.

Если значение х выходит за пределы отрезка интерполирования, то задача отыскания значения функции в этой точке называется задачей экстраполирования.

Разности высших порядков

. . .

(2.6)

. . .

Многочлен Ньютона будем искать в следующем виде

= (2.7)

(2.8)

.

Введем обозначение и подставим его и (2.8) в формулу (2.7).

Выполняя преобразования, получим

(2.9)

Для повышения точности целесообразно применять полученную формулу Ньютона не для всего интервала [x₀, x_n], а для x₀ ≤ x ≤ x₁. Для других значений аргумента x_i ≤ x ≤ x_i+1 вместо x₀ взять x_i.

Тогда, в общем виде получим 1–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед, т.е. x₀, x₀ + h. x₀ + nh.

(2.10)

Эта формула используется для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка [x₀, x_n], т.к. разности вычисляются через значения функции y_i, y_i+1, . y_i+k при i+k 0 определяется:

— по абсолютным отклонениям в виде

, i = 1, 2, . n

— по относительным разностям в виде

(5.8)

Тема 6

Метод половинного деления

Пусть задано уравнение (6.1), где f(x) – непрерывна и найден интервал [a, b], содержащий только один корень, т.е. f(а)∙ f(b) 0.

Найдем значение f(c₀), где — начальное приближение. Последующие приближения будем определять по формуле , а = с₀, если f(c₀)∙ f(b)

Источник