Интерполяция это способ нахождения промежуточных значений

Интерполяция

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Содержание

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

• Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Пары называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
• Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

• Полином Лагранжа
• Обратное интерполирование по формуле Ньютона
• Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции нескольких переменных

Другие способы интерполяции

• Рациональная интерполяция
• Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции

• Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
• Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. также

• Регрессия (математика)
• Сглаживание данных эксперимента

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Интерполяция» в других словарях:

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — 1) способ определять по ряду данных величин какого либо математического выражения промежуточные его величины; так напр., по дальности полета ядра при угле возвышения оси пушечного канала в 1°, 2°, 3°, 4° и т. д. можно определить помощью… … Словарь иностранных слов русского языка

интерполяция — вставка, интерполирование, включение, отыскание Словарь русских синонимов. интерполяция см. вставка Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2 … Словарь синонимов

интерполяция — Вычисление промежуточных значений между двумя известными точками. Например: linear линейная интерполяция exponential экспоненциальная интерполяция Процесс вывода цветного изображения, когда пикселы, относящиеся к области между двумя цветными… … Справочник технического переводчика

Интерполяция — (interpolation) Оценка значения неизвестной величины, находящейся между двумя точками ряда известных величин. Например, зная показатели населения страны, полученные при проведения переписи населения, проводившейся с интервалом в 10 лет, можно… … Словарь бизнес-терминов

Интерполяция — с латинского собственно «подделка». Так называются ошибочные поправки или позднейшие вставки в рукописях, сделанные переписчиками или читателями. Особенно часто этот термин употребляется в критике рукописей античных писателей. В этих рукописях… … Литературная энциклопедия

Интерполяция — нахождение промежуточных значений некоторой закономерности (функции) по ряду известных ее значений. По английски: Interpolation См. также: Преобразования данных Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

интерполяция — и, ж. interpolation f. < лат. interpolatio изменение; переделка, искажение. 1. Вставка позднейшего происхождения в каком л. тексте, не принадлежащая оригиналу. БАС 1. В древних рукописях много интерполяций, внесенных переписчиками. Уш. 1934. 2 … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — (interpolatio), пополнение эмпйрич. ряда значений какой либо величины недостающими промежуточными значениями ее. Интерполирование может быть произведено тремя способами: математич., графич. и логическим. В основе их лежит общая им гипотеза о том … Большая медицинская энциклопедия

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — (от латинского interpolatio изменение, переделка), отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений функции y = f(x) в точках x, лежащих между точками x0 и xn, x0 … Современная энциклопедия

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — (от лат. interpolatio изменение переделка), в математике и статистике отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Напр., отыскание значений функции f(x) в точках x, лежащих между точками xo x1 . xn, по… … Большой Энциклопедический словарь

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — в филологии изменение первоначального текста; вставка переписчиком или переводчиком в текст слов или фраз, отсутствовавших в оригинале … Большой Энциклопедический словарь

Источник

Интерполяция

Интерполяция — это способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. Перечисленные ниже методы предназначены для создания ряда с более высокой частотой наблюдений на основе ряда с низкой частотой. Например, вычислить ряд с квартальной динамикой на основе ряда годовых данных.

Предположим, что есть система несовпадающих точек x i ( i ϵ 0, 1, …, N ) из некоторой области G . Значения функции f известны только в этих точках: y i = f ( x i ), i = 1, …, N .

Процесс интерполяции состоит в поиске такой функции f из заданного класса функций, что F ( x i ) = y i , i = 1, …, N .

Точки x i являются узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

Пары ( x i , y i ) являются точками данных (базовыми точками).

Разность между «соседними» значениями ∆ x i = x i — x i — 1 — называют шагом интерполяционной сетки. Шаг может быть переменным или постоянным.

Функцию F ( x ) — интерполирующей функцией (интерполянтой).

Линейная интерполяция

При линейной интерполяции существующие точки данных М ( x i , y i ) ( i = 0, 1, . n ) соединяются прямыми линиями и функция f ( x ) приближается к ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов ( x i , x i+1 ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i -го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки ( x i , y i ) и ( x i+1 , y i+1 ), в виде:

Геометрическая интерполяция

При геометрической интерполяции значения результирующей динамики пропорциональны значению инкремента и обратно пропорциональны фактору, вычисленному на основе инкремента. Инкремент экспоненциально зависит от логарифма относительного прироста исходной динамики, умноженного на длину периода результирующей динамики.

Рассмотрим принцип геометрического метода на примере вычисления квартальных данных на основе годовых.

X [ t ] – исходные данные по годам;

Factor [ t ] = (1 + Inc [ t ] + Inc [ t ]^2 + Inc [ t ]^3) / 4 – значение фактора;

Из этого следует:

Интерполяция для других динамик осуществляется аналогичным образом.

Интерполяция кубическими сплайнами

Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющих достаточно сложную структуру. Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f ( x ) требуется найти приближение y = ϕ( x) таким образом, чтобы f ( x i ) = ϕ( x i ) в точках x = x i , а в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f ( x ) и ϕ( x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек (например, 6-8) для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т.е. график функции будет содержать точки «излома».

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования теории балок показали, что гибкая тонкая балка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой. Это означает, что функции ϕ( x) , ϕ'( x) , ϕ»( x ) должны быть непрерывными на отрезке [a, b].

Кубическим интерполяционным сплайном, соответствующим данной функции f ( x ) и данным узлам x i , называется функция S ( x ), удовлетворяющая следующим условиям:

на каждом сегменте [ x i -1 , x i ], i = 1, 2, . n функция S ( x ) является полиномом третьей степени;

функция S ( x ), а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b];

На каждом из отрезков [ x i -1 , x i ], i = 0, 1, . n находится функция S ( x ) = S i ( x ) в виде полинома третьей степени:

Условие непрерывности всех производных до второго порядка записываются в виде:

a i , b i , c i , d i — коэффициенты сплайна, подлежащие определению на всех n элементарных отрезках:

Если функция f ( x ) является полиномом третьей или меньше степени, данные воспроизводятся более точно, если граничные условия сплайна c 0 и c n равны точным значениям второй производной кубического полинома.

Интерполяция многочленом Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — это многочлен минимальной степени, который принимает данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел ( x 0 , y 0 ), ( x 1 , y 1 ), …, ( x n , y n ), где все x i различны ( i = 0, 1, . n ), существует единственный многочлен L ( x ) степени не более n , для которого L ( x i ) = y i .

В самом простом случае ( n = 1) — это линейный многочлен и его график — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил методику вычисления подобных многочленов:

Где базисные полиномы определяются по следующей формуле:

l j ( x ) обладают свойствами:

являются многочленами степени n ;

Из этого следует, что L ( x ), как линейная комбинация l j ( x ), может иметь степень не больше n , и L ( x j ) = y j .

Полиноминальная интерполяция

Полиномиальная интерполяция является наиболее известным из методов одномерной интерполяции. Её достоинствами являются простота реализации и хорошее качество получаемых интерполянтов.

Данный метод представляет полином n -ой степени P 0, 1, …, n -1, n , проходящий через n точек (с 0-ой по n -ую), как функцию двух полиномов n -1-ой степени по формуле:

К полученным полиномам рекурсивно применяется та же формула, до тех пор, пока мы не дойдем до полиномов вида P i , которые вычисляются по формуле P i = y i .

Достоинством данного метода является простота реализации, недостатком — сравнительно невысокое быстродействие.

Равномерная интерполяция

Значение исходного ряда делится на число наблюдений, попадающих в один период результирующего ряда. Полученное значение присваивается всем наблюдениям нового ряда, в пределах одного периода.

Повторная интерполяция

Значения исходного ряда повторяются на всех наблюдениях ряда с более высокой частотой динамики.

Интерполяция по шаблону

Пусть Input — входной ряд, Output — выходной ряд, Pattern — шаблонный ряд. Обозначим за t текущую дату входного ряда, а за n — количество точек выходного ряда в одном периоде.

Рассмотрим три метода интерполяции по шаблону:

среднее по элементам

по первому элементу

по последнему элементу

Первое значение

Значение первой точки результирующей динамики будет совпадать со значением точки на исходной динамике. Значения в остальных точках результирующей динамики остаются пустыми.

Последнее значение

Значение последней точки результирующей динамики будет совпадать со значением точки на исходной динамике. Значения в остальных точках результирующей динамики остаются пустыми.

Источник