- Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям
- Формула интегрирования по частям
- Резюме
- Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
- Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
- Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x
- Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
- Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
- Пример
- Другие примеры
- Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
- Пример
- Другие примеры
- Интегрирование по частям
- Интегрирование по частям. Примеры решений
- Интегралы от логарифмов
- Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям
Формула интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x : u(x) и v(x) .
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u , а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx .
В некоторых случаях f(x) = 1 . То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v .
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть – через dv .
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Подробное решение этих интегралов >>>
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x) – многочлен от x . При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u , а e ax dx , cos ax dx или sin ax dx – через dv .
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x ,
dv = x 2 dx .
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C , поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
Другие примеры
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x ) .
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.
Другие примеры
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014
Источник
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.
Формула для неопределенного интеграла:
$$ \int udv = uv — \int vdu $$
Формула для определенного интеграла:
Рассмотрим на практике примеры решения интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.
| Пример 1 | ||||||||
| Найти интеграл $ \int xe^xdx $ | ||||||||
| Решение | ||||||||
| Пример 2 |
| Найти интеграл $ \int x\cos x dx $ |
| Решение |
| Пример 3 | ||
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 x\ln x dx $ | ||
| Решение | ||
| Пример 4 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Решение |
. Зато есть такая: 
– формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).
, 
, 
– логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
, 
– экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде 
– показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.
, 
, 
– тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
, 
– обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.
. Очевидно, что в нашем примере 
(и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за 
, а что-то за 
.
всегда обозначается логарифм.
мы обозначили логарифм, а за 
– оставшуюся часть подынтегрального выражения.
:
. Для того чтобы найти функцию 
необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства 
:
. 
я сразу переставил местами 
и 
, так как множитель 
принято записывать перед логарифмом.
. И это не случайно.
и формула 
– это два взаимно обратных правила.
необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За 
обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
:
. Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.
, для этого интегрируем правую часть нижнего равенства 
:
. Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью 
:
в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.
, и эти скобки нужно корректно раскрыть.
всегда обозначается многочлен
, то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
или даже 
– сложная функция.
всегда обозначается многочлен
обозначается многочлен.
, то рекомендую посетить урок Интегралы от тригонометрических функций.
всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде.
для всех «икс», и поэтому достаточно круглых скобок. Но если вам трудно это проанализировать (да и «начинка» бывает мутная), то ставьте модуль в любом случае. Именно так я и поступил в Примере 10 урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Недочёт некритичный.
. Её можно было использовать и сразу: 
, а потом интегрировать по частям.
, 
– в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
, то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей. 
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам 
