Информация меры информации способы представления информации

Способы представления информации

Понятие информации, виды информации

Слово “информация” происходит от латинского слова «informatio», что в переводе означает сведение, разъяснение, ознакомление. Понятие “информация” в курсе информатики является базовым (основным), его нельзя дать через другие, более простые понятия. В геометрии, например, базовыми являются понятия: “точка”, “луч”, “плоскость”. Содержание базовых понятий в любой науке поясняется на примерах или выявляется путем сопоставления с содержанием других понятий.

Информация – это сведения об окружающем мире, которые повышают уровень осведомленности человека.

В науке под информацией понимается новое полученное знание. Например, математик включит в это понятие те сведения, которые человек не получал, а сам создал с помощью умозаключений.

В кибернетике понятие информация связано с процессами управления в сложных системах, та часть знаний, которая используется для ориентирования, активного действия, управления, в целях сохранения, развития системы;

В информатике информация — это сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности, неполноты. В технике под информацией понимают сообщения, передаваемые в форме знаков или сигналов.

Основные виды информации по ее форме представления, способам ее кодирования и хранения, что имеет наибольшее значение для информатики, это:

ü Графическая или изобразительная — первый вид, для которого был реализован способ хранения информации об окружающем мире в виде наскальных рисунков, а позднее в виде картин, фотографий, схем, чертежей на бумаге, холсте, мраморе и др. материалах, изображающих картины реального мира;

ü Звуковая— мир вокруг нас полон звуков и задача их хранения и тиражирования была решена с изобретение звукозаписывающих устройств в 1877 г. ее разновидностью является музыкальная информация — для этого вида был изобретен способ кодирования с использованием специальных символов, что делает возможным хранение ее аналогично графической информации;

ü Текстовая— способ кодирования речи человека специальными символами — буквами, причем разные народы имеют разные языки и используют различные наборы букв для отображения речи; особенно большое значение этот способ приобрел после изобретения бумаги и книгопечатания;

ü Числовая— количественная мера объектов и их свойств в окружающем мире; особенно большое значение приобрела с развитием торговли, экономики и денежного обмена; аналогично текстовой информации для ее отображения используется метод кодирования специальными символами — цифрами, причем системы кодирования (счисления) могут быть разными;

ü Видеоинформация— способ сохранения «живых» картин окружающего мира, появившийся с изобретением кино.

Классификация информации

1. по способу восприятия:

ü Визуальная — воспринимаемая органами зрения.

ü Аудиальная — воспринимаемая органами слуха.

ü Тактильная — воспринимаемая тактильнымирецепторами.

ü Обонятельная — воспринимаемая обонятельнымирецепторами.

ü Вкусовая — воспринимаемая вкусовымирецепторами.

2. по форме представления:

ü Текстовая— передаваемая в виде символов, предназначенных обозначать лексемы языка.

ü Числовая— в виде цифр и знаков, обозначающих математические действия.

ü Графическая— в виде изображений, предметов, графиков.

ü Звуковая— устная или в виде записи и передачи лексем языка.

3. по назначению:

ü Массовая— содержит тривиальные сведения и оперирует набором понятий, понятным большей частисоциума.

ü Специальная — содержит специфический набор понятий, при использовании происходит передача сведений, которые могут быть не понятны основной массе социума, но необходимы и понятны в рамках узкой социальной группы, где используется данная информация.

ü Секретная — передаваемая узкому кругу лиц и по закрытым (защищённым) каналам.

ü Личная(приватная) — набор сведений о какой-либо личности, определяющий социальное положение и типы социальных взаимодействий внутри популяции.

ü Актуальная — информация, ценная в данный момент времени.

ü Достоверная — информация, полученная без искажений.

ü Понятная — информация, выраженная на языке, понятном тому, кому она предназначена.

ü Полная — информация, достаточная для принятия правильного решения или понимания.

ü Полезная — полезность информации определяется субъектом, получившим информацию в зависимости от объёма возможностей её использования.

5. по истинности:

Способы представления информации

Информация может храниться и быть представлена в электронном виде и в виде твердой копии.

Твердой копией называют вид представления информации, имеющей возможность храниться отдельно от средств, на которых она была созданаине требует для прочтения специальных технических устройств. Твердые копии могут быть выполнены на бумаге, пленке, камне, металле, стеклеи других видах физических носителей.

Электронный вид информации для представления требует специальные электронные устройства. Наиболее распространенными электронными устройствами, предназначенными для хранения, обработки и отображения информации, в настоящее время являются персональные ЭВМ.

Текстовый способ характеризуется тем, что информация излагается в виде сплошного текста. Текст может включать символьные обозначения и цифровые значения отдельных величин. В текст часто помещаются формулы.

При графическом способе представления информации используются рисунки, фотографии, чертежи, графики, схемы и другие графические объекты, визуально отображающие информацию.

Табличный способ характерен тем, что строго форматизированные данные тщательно систематизируются по определенным признакам и располагаются в строго определенных этими признаками полях документа, называемого таблицей. Как правило, первая строка и первый столбец таблицы служат для размещения показателей, а в полях (ячейках) таблицы располагаются их значения.

Источник

Информация меры информации способы представления информации

Виды информации. Представление информации.

По способу восприятия информации человеком можно выделить визуальную (зрительную), аудиальную (звуковую), обонятельную (запахи) вкусовую, тактильную (осязательную), вестибулярную и мышечную информацию (рис.3).

Визуальную информацию люди воспринимают с помощью глаз. Человек может увидеть объект или явление, букву или цифру, картину или фильм, схему или карту, жест или танец. Аудиальную информацию люди воспринимают с помощью ушей. Человек может услышать произвольные звуки, шум, музыку, пение и речь. Обонятельную информацию, или запахи, человек воспринимает с помощью носа. Запах можно охарактеризовать как терпкий или пряный, приятный или неприятный, тяжелый или легкий. Вкусовую информацию человек воспринимает с помощью языка. Вкус может быть горький или сладкий, кислый или соленый. Тактильную информацию человек воспринимает кожей. Прикасаясь к предмету, можно определить его температуру (холодный или горячий) и вид поверхности (гладкая или шероховатая, мокрая или сухая). Вестибулярную информацию человек воспринимает с помощью вестибулярного аппарата, который отслеживает положение тела человека в трехмерном пространстве. Летя в самолете и не видя горизонта, человек может определить, куда и как он перемещается: вверх или вниз, вправо или влево, ускоренно или замедленно. Мышечную информацию люди воспринимают с помощью мышц. Закрыв глаза, человек не пронесет ложку с супом мимо своего рта, может дотронуться указательным пальцем до своего носа, сравнить массу гирь, одинаковых на ощупь.

Воспринимать информацию могут не только люди, но и животные, и растения. Однако в отличие от людей, восприятие информации животными и растениями имеет свои особенности. Например, слоны способны воспринимать звуки, которые не слышит человек, у собак лучше всего развито обоняние, у летучих мышей – слух, а растения могут получать информацию с помощью корней и листьев. Несмотря на эти особенности, в живой природе, так же как и в мире людей, информация играет важную роль в обеспечении жизненных процессов. Воспринимаемую с помощью органов чувств информацию человек стремится выразить так, чтобы она была понятна другим. Одну и ту же информацию, в зависимости от цели деятельности, можно выразить разными способами и представить в разной форме.

По форме представления принято выделять числовую, текстовую, графическую, звуковую и комбинированную информацию (рис. 4).

Рис. 4. Виды информации по форме представления

Например, если человек хочет выучить слова песни наизусть, то, скорее всего, он запишет стихи с помощью букв. В этом случае информация будет представлена в текстовой форме. Запомнить мелодию песни позволит прослушивание этой песни в исполнении певца или музыканта. В этом случае информация будет представлена в звуковой форме. Образ, навеянный стихами или мелодией, можно изобразить в графической форме с помощью рисунка.

Для того чтобы выяснить количество поклонников исполнителя песни, необходимо их подсчитать и результат представить в числовой форме. Каждая из этих форм представления информации имеет свои особенности. Графическая информация наиболее доступна, так как срезу передает визуальный образ.

С помощью текстовой и звуковой информации можно представить исчерпывающие разъяснения. Числовая информация дает возможность проводить различные сравнения и вычисления. Поэтому чаще всего информацию представляют в комбинированной форме. Частным случаем комбинированной информации является мультимедийная информация , когда текстовая и числовая информация сочетается со звуковой и графической информацией, с видеоизображением .

Для представления информации человек использует различные знаки. Один и тот же знак может иметь разный смысл. Если человек наделил знак смыслом, то этот знак называют символом

Например, нарисованный овал может означать или букву «О», или цифру ноль, или химический элемент кислород, или геометрическую фигуру. В нашем примере нарисованный овал – это знак. Буква, цифра и обозначение химического элемента являются символами.

Для того чтобы понимать смысл информации, представленной с помощью символов, человеку необходимо знать не только символы, но и правила составления сообщений из этих символов. Говоря другими словами, человеку необходимо знать язык. Язык может быть разговорным, языком рисунков, мимики и жестов, языком науки и искусства.

Выделяют естественные (разговорные) и искусственные языки (рис. 5).

Естественные языки исторически сложились в процессе развития человеческой цивилизации. К естественным языкам относятся русский, английский, китайский и многие другие языки. В мире насчитывается более 10 тыс. разных языков, диалектов и наречий.

Искусственные языки специально созданы для профессионального применения в какой-либо области человеческой деятельности. Некоторые искусственные языки складывались в течение длительного исторического периода, например язык математических обозначений. С этой точки зрения они мало отличаются от естественных языков. Примерами искусственных языков являются эсперанто, языки программирования, язык математики, язык химии, язык логики, язык флажков на флоте, язык дорожных знаков.

Некоторые естественные языки имеют искусственно созданные алфавиты. Так, например, авторами русского языка являются Кирилл и Мефодий.

Представление информации с помощью определенного языка всегда связано с алфавитом. Алфавит содержит конечный набор символов, из которых можно составить как угодно много слов. Все символы в алфавите упорядочены.

Количество символов в алфавите называют мощность алфавита.

Представленную информацию можно преобразовать из одной последовательности знаков в другую, не задумываясь о смысле сообщения. Такой процесс преобразования сообщения называется кодированием. Обратный процессом кодированию является процесс декодирования. Для того чтобы выполнить кодирование или декодирование, необходимо знать правила перевода одних знаков в другие знаки. Говоря другими словами, надо знать код или шифр.

По мере развития средств появились различные способы кодирования информации. Например, кодирование с помощью азбуки (кода) Морзе (длительный сигнал – тире, короткий сигнал – точка, нет сигнала – пауза), с помощью двоичного кода (нет сигнала – 0, есть сигнал – 1). Кодирование используется для представления информации в такой форме, которая будет наиболее удобна для работы человека или технического устройства. Например, человеку удобно и привычно работать с десятичными числами, а компьютер настроен на работу с двоичными числами. Поэтому десятичное число, введенное с помощью клавиатуры компьютера, кодируется в двоичное число. При выводе числа на экран монитора происходит декодирование из двоичного числа в десятичное число. Кодирование информации необходимо не только для ее рационального представления, но и для ее эффективной защиты. Не случайно другим примером кода является пин-код сотового телефона или банковской карточки, а также код, используемый в качестве ключа от цифрового замка дорожной сумки.

Источник

Лекция-2 «Информация: понятие, представление, единицы измерения информации» (1 курс специальности СД)

Специальность 34.02.01 «Сестринское дело»

« Информация: понятие, представление, единицы измерения информации »

Представление и кодирование информации

Кодирование информации — это процесс преобразования информации из одной формы представления в другую.

Декодирование — это воспроизведение закодированной информации. В ЭВМ информация может быть представлена в двух формах: аналоговой и цифровой .

Аналоговая форма представляет непрерывный сигнал, который меняется пропорционально изменению информации, т. е. информация кодируется изменяющимся во времени напряжением или током. Такое представление информации используется в аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Однако эти машины не получили дальней шего развития в основном из-за невысокой точности вычислений.

Цифровая форма представления информации используется в цифровых вычислительных машинах (ЦВМ). В этих машинах информация кодируется цифрами. В виде цифр представляются различные виды информации: числа, буквы, звук, изображения.

В ЦВМ применяется двоичная система счисления. В этой системе используются только две цифры: 0 и 1.

Имеются и другие системы счисления: восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и др. Но двоичная система отлича- ется от них высокой надежностью представления информации. Распознать два состояния (0 или 1) значительно проще, чем, например, 10 состояний. В живых системах также для передачи информации используется двоичное кодирование информации в виде потенциала покоя и потенциала действия, биологические 0 и 1.

В двоичной системе счисления можно выполнять все математические действия, как и в привычной нам десятичной системе счисления. В ЦВМ для кодирования двоичных знаков используются два уровня напряжения.

Обычно, единица — это высокий уровень напряжения, порядка 5 В, а низкий уровень (меньше 0,8 В) — ноль. Имеются специальные устройства для преобразования аналоговой формы в цифровую, и наоборот.

Такие устройства называются соответственно аналого-цифровым преобразователем (АЦП) и цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Процесс преобразования непрерывных сигналов в цифровую форму состоит из трех этапов: дискретизации, квантования и кодирования.

Дискретизация — это процесс разбиения сигнала на отдельные составляющие, взятые через равные промежутки времени, величины которых зависят от частоты дискретизации (рис. 1.2, а).

Квантование — измерение дискретной величины сигнала в моменты времени t 1 , t 2 , t 3 и т. д. и представление их с определенной точностью. Точность определяется уровнями квантования, т. е. количеством уровней разбиения величины сигнала у.

Кодирование — перевод значения уровня квантования в двоичную систему счисления. Полученная цифровая информация называется дискретной . В ЦАП происходит обратное преобразование информации — из цифровой формы в аналоговую (рис. 1.2, б).

Информация — это сведения об объектах и явлениях окружающего мира, уменьшающие степень неопределённости знаний об этих объектах или явлениях.

Информация не существует сама по себе. Всегда имеется источник , который производит информацию, и приемник , который её воспринимает.

В роли источника или приемника может быть любой объект материального мира: человек, устройство, животное, растение. То есть информация всегда предназначена конкретному объекту.

Источник информации — это объект, порождающий информацию и представляющий её в виде сообщения.

Приемник информации — это объект, принимающий сообщение и способный правильно его интерпретировать.

Под словом «кодирование» понимают процесс представления информации, удобный для её хранения и/или передачи. Следовательно, запись текста на естественном языке можно рассматривать как способ кодирования речи с помощью графических элементов (букв, иероглифов). Записанный текст является кодом, заключающим в себе содержание речи, т. е. информацию.

Код — система условных знаков (символов ), предназначенных для представления информации в соответствии с определенными правилами.

Кодирование — переход от одной формы представления информации к другой, наиболее удобной для её хранения, передачи или обработки.

Декодирование — процесс по восстановлению первоначальной формы представления информации, т. е. операция, обратная кодированию.

При кодировании ставятся разные цели и, соответственно, применяются различные способы кодирования.

Наиболее распространенные цели кодирования:

1) экономность (сократить запись);

2) надежность (засекретить информацию);

3) удобство обработки или восприятия .

Чаще всего кодированию подвергаются тексты на естественных языках (русском, английском и пр.).

Существуют три основных способа кодирования текста:

1) графический — с помощью специальных рисунков или значков;

2) числовой — с помощью чисел;

3) символьный — с помощью символов того же алфавита, что и исходный текст.

Процесс чтения текста — это обратный по отношению к письму процесс, при котором письменный текст преобразуется в устную речь. Чтение можно назвать декодированием письменного текста.

А теперь обратим внимание на то, что может существовать много способов кодирования одного и того же текста на одном и том же языке.

Русский текст мы привыкли записывать с помощью русского алфавита. Но то же самое можно сделать, используя латинский алфавит. Иногда так приходится поступать, отправляя SMS по мобильному телефону, на котором нет русских букв, или электронное письмо на русском языке за границу, если у адресата нет русифицированного программного обеспечения. Например, фразу «Здравствуй, дорогой Саша!» приходится писать так: « Zdravstvui , dorogoi Sasha !».

Существует множество способов кодирования. Например, стенография — быстрый способ записи устной речи. Ею владеют лишь немногие специально обученные люди — стенографисты. Они успевают записывать текст синхронно с речью выступающего человека. В стенограмме один значок обозначает целое слово или сочетание букв. Скорость стенографического письма превосходит скорость обычного в 4-7 раз. Расшифровать (декодировать) стенограмму может только сам стенографист.

Для кодирования одной и той же информации могут быть использованы разные способы; их выбор зависит от ряда обстоятельств: цели кодирования, условий, имеющихся средств.

Обсудим это на примере представления чисел — количественной информации. Используя русский алфавит, можно записать число «тридцать пять». Используя же алфавит арабской десятичной системы счисления, пишем: 35 . Пусть нам надо произвести вычисления. Скажи, какая запись удобнее для выполнения расчётов: «тридцать пять умножить на сто двадцать семь» или « 35 х 127 »? Очевидно, что для перемножения многозначных чисел вы будете пользоваться второй записью.

Заметим, что две эти записи, эквивалентные по смыслу, используют разные языки: первая — естественный русский язык, вторая — формальный язык математики, не имеющий национальной принадлежности. Переход от представления на естественном языке к представлению на формальном языке можно также рассматривать как кодирование. Человеку удобно использовать для кодирования чисел десятичную систему счисления, а компьютеру — двоичную систему.

Шифрование представляет собой процесс превращения открытого текста в зашифрованный, а дешифрование — процесс обратного преобразования, при котором восстанавливается исходный текст. Шифрование — это тоже кодирование, но с засекреченным методом, известным только источнику и адресату. Методами шифрования занимается наука криптография .

Шифрование — медот защиты любой информации от несанкционированного доступа, просмотра, а также её использования, основанный на преобразовании данных в зашифрованный формат.

Криптография — это наука о методах и принципах передачи и приема зашифрованной с помощью специальных ключей информации.

Ключ — секретная информация, используемая криптографическим алгоритмом при шифровании/расшифровке сообщений.

Единицы измерения информации.

Для информации существуют свои единицы измерения информации. Если рассматривать сообщения информации как последовательность знаков, то их можно представлять битами, а измерять в байтах, килобайтах, мегабайтах, гигабайтах, терабайтах и петабайтах.

Давайте разберемся с этим, ведь нам придется измерять объем памяти и быстродействие компьютера.

Единицей измерения количества информации является бит – это наименьшая (элементарная) единица.

1бит – это количество информации, содержащейся в сообщении, которое вдвое уменьшает неопределенность знаний о чем-либо.

Байт – основная единица измерения количества информации.

Байтом называется последовательность из 8 битов.

Байт – довольно мелкая единица измерения информации. Например, 1 символ – это 1 байт.

Производные единицы измерения количества информации

1 килобайт (Кб)=1024 байта =2 10 байтов

1 мегабайт (Мб)=1024 килобайта =2 10 килобайтов=2 20 байтов

1 гигабайт (Гб)=1024 мегабайта =2 10 мегабайтов=2 30 байтов

1 терабайт (Гб)=1024 гигабайта =2 10 гигабайтов=2 40 байтов

Запомните, приставка КИЛО в информатике – это не 1000, а 1024 , то есть 2 10 .

Методы измерения количества информации

Итак, количество информации в 1 бит вдвое уменьшает неопределенность знаний. Связь же между количеством возможных событий N и количеством информации I определяется формулой Хартли:

Алфавитный подход к измерению количества информации

При этом подходе отвлекаются от содержания (смысла) информации и рассматривают ее как последовательность знаков определенной знаковой системы. Набор символов языка, т.е. его алфавит можно рассматривать как различные возможные события. Тогда, если считать, что появление символов в сообщении равновероятно, по формуле Хартли можно рассчитать, какое количество информации несет в себе каждый символ:

Вероятностный подход к измерению количества информации

Этот подход применяют, когда возможные события имеют различные вероятности реализации. В этом случае количество информации определяют по формуле Шеннона:

.

I – количество информации,

N – количество возможных событий,

P _i – вероятность i-го события.

Если подбросить монету и проследить, какой стороной она упадет, то мы получим определенную информацию. Обе стороны монеты “равноправны”, поэтому одинаково вероятно, что выпадет как одна, так и другая сторона. В таких случаях говорят, что событие несет информацию в 1 бит.

Если положить в мешок два шарика разного цвета, то, вытащив вслепую один шар, мы также получим информацию о цвете шара в 1 бит.

Задача 1.

Шар находится в одной из четырех коробок. Сколько бит информации несет сообщение о том, в какой именно коробке находится шар.

Имеется 4 равновероятных события ( N=4 ).

По формуле Хартли имеем: 4=2 i . Так как 2 2 =2 i , то i=2 . Значит, это сообщение содержит 2 бита информации.

Задача 2.

Чему равен информационный объем одного символа русского языка?

В русском языке 32 буквы (буква ё обычно не используется), то есть количество событий будет равно 32. Найдем информационный объем одного символа.I=log ₂ N =log ₂ 32=5 битов ( 2 5 =32 ).

Примечание . Если невозможно найти целую степень числа, то округление производится в большую сторону.

Задача 3.

Чему равен информационный объем одного символа английского языка?

Задача 4.

Световое табло состоит из лампочек, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний (“включено” или “выключено”). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 50 различных сигналов?

С помощью N лампочек, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний, можно закодировать 2 N сигналов.

2 5 6 , поэтому пяти лампочек недостаточно, а шести хватит. Значит, нужно 6 лампочек.

Задача 5.

Метеостанция ведет наблюдения за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100, которое записывается при помощи минимально возможного количества битов. Станция сделала 80 измерений. Определите информационный объем результатов наблюдений.

В данном случае алфавитом является множество чисел от 0 до 100, всего 101 значение. Поэтому информационный объем результатов одного измерения I=log ₂ 101 . Но это значение не будет целочисленным, поэтому заменим число 101 ближайшей к нему степенью двойки, большей, чем 101. это число 128=2 7 . Принимаем для одного измерения I=log ₂ 128=7 битов. Для 80 измерений общий информационный объем равен 80*7 = 560 битов = 70 байтов.

Задача 6.

Определите количество информации, которое будет получено после подбрасывания несимметричной 4-гранной пирамидки, если делают один бросок.

Пусть при бросании 4-гранной несимметричной пирамидки вероятности отдельных событий будут равны: p ₁ =1/2, p ₂ =1/4, p ₃ =1/8, p ₄ =1/8 .

Тогда количество информации, которое будет получено после реализации одного из них, можно вычислить по формуле Шеннона:

Задача 7.

В книге 100 страниц; на каждой странице — 20 строк, в каждой строке — 50 символов. Определите объем информации, содержащийся в книге.

Задача 8.

Оцените информационный объем следующего предложения:

Тяжело в ученье – легко в бою!

Так как каждый символ кодируется одним байтом, нам только нужно подсчитать количество символов, но при этом не забываем считать знаки препинания и пробелы. Всего получаем 30 символов. А это означает, что информационный объем данного сообщения составляет 30 байтов или 30 * 8 = 240 битов .

Представление информации в различных системах счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные .

В позиционной системе счисления значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) она записана. Например, меняя позицию цифры 2 в десятичной системе счисления, можно записать разные по величине десятичные числа, например: 2 ; 20 ; 2000 ; 0,02 и т. д. Позиция цифры в числе называется разрядом . Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

В непозиционной системе счисления цифры не изменяют своего значения при изменении их расположения в числе. Примером непозиционной системы может служить римская система, в которой независимо от местоположения одинаковый символ имеет неизменное значение (например, символ X в числе XXV ).

В римской непозиционной системе счисления для каждого числа используется некоторый набор базовых символов ( I , V , X , L , C , D и M ), соответствующих числам 1,5,10,50,100,500 и 1000 . Остальные значения чисел получаются из базовых путем их сложения (например, XVII =17 ) или вычитания (например, IX =9 ).

Количество ( р ) различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее в младший или старший разряд.

Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом.

Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: 0 и 1 , а алфавит шестнадцатеричной системы — 16 символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B , C , D , E , F ).

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:

N p =±( a k −1 ⋅ p k −1 + a k −2 ⋅ p k −2 +. + a 0 ⋅ p 0 + a −1 ⋅ p −1 +. + a − m ⋅ p − m )

Такой вид записи числа называют развернутой формой записи числа ,

где р — основание системы счисления;

a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

k — количество разрядов в целой части числа;

m — количество разрядов в дробной части числа.

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

— положительные значения индексов — для целой части числа;

— отрицательные значения индексов — для дробной части числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

N =( a k −1 a k −2 . a 1 a 0 , a −1 a −2 . a − m ) p

— при р =10 в записи числа 2466,67510 в десятичной системе счисления k =3 , m =3 ;

— при р =2 в записи числа 1011,112 в двоичной системе k =3 , m =2 .

Свернутой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, ее называют естественной илицифровой.

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число (например, 5 , 21 , 37 ). Во избежание путаницы справа от числа нижним индексом приписывают основание: 101101 2 , 367 8 , 3 B 8 A 16 , 3 AO 37 .

Десятичная система счисления

Основание: p =10 .
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Используется при повседневном счете. Для записи чисел используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10 ), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

765,345 10 =7 ⋅ 10 2 +6 ⋅ 10 1 +5 ⋅ 10 0 +3 ⋅ 10 −1 +4 ⋅ 10 −2 +5 ⋅ 10 −3

Двоичная система счисления

Двоичную систему счисления широко применяют в вычислительной технике. К ее достоинствам относятся:

— возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники — всего с двумя устойчивыми состояниями;

— возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

— возможность использования простейших правил арифметики.

Основной недостаток двоичной системы — быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел. По этой, а также по некоторым другим причинам в вычислительной технике, кроме двоичной, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2 ), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

1011,01 2 =1 ⋅ 2 3 +0 ⋅ 2 2 +1 ⋅ 2 1 +1 ⋅ 2 0 +0 ⋅ 2 −1 +1 ⋅ 2 −2

Восьмеричная система счисления

Основание: p =8 .
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7 .

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 8 ), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

567,12 8 =5 ⋅ 8 2 +6 ⋅ 8 1 +7 ⋅ 8 0 +1 ⋅ 8 −1 +2 ⋅ 8 −2

Шестнадцатеричная система счисления

Основание: p =16 .
Алфавит : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B , C , D , E , F .

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1. 9 . Для записи остальных цифр ( 10,11,12,13,14 и 15 ) обычно используются первые шесть букв латинского алфавита.

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.

Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 16 ), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

10 FC 16 =1 ⋅ 16 3 +0 ⋅ 16 2 + F ⋅ 16 1 + C ⋅ 16 0

Помимо рассмотренных выше позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
— троичная ( 0,1,2 );

— двенадцатеричная ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B )

— тринадцатеричная ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B , C ).

В системах счисления с основанием больше 10 для представления чисел после цифр 0,1,2,…,9 используют латинские буквы в алфавитном порядке: А ( 10 ), В ( 11 ), С ( 12 ) и т. д.

1) Представим двоичное число 10110,101 2 в виде суммы слагаемых, а затем произведем их сложение:

10110,101 2 =1 ⋅ 2 4 +0 ⋅ 2 3 +1 ⋅ 2 2 +1 ⋅ 2 1 +0 ⋅ 2 0 +1 ⋅ 2 −1 +0 ⋅ 2 −2 +1 ⋅ 2 −3 ==16+0+4+2+0+0,5+0+0,125=22,625 10

Читайте также:  Указать способ образования облитый

Таким образом, 10110,101 2 =22,625 10

2) Представим шестнадцатеричное число 5 D 8 , AC 16 в виде суммы слагаемых, а затем произведем их сложение:

5 D 8 , AC 16 =5 ⋅ 16 2 +13 ⋅ 16 1 +8 ⋅ 16 0 +10 ⋅ 16 −1 +12 ⋅ 16 −2 =1280+208+8+0,625+0,046875=1496,671875 10

Таким образом, 5 D 8 , AC 16 =1496,671875 10

3) Вычислим сумму чисел 2 F 16 , 232 4 и 53 8 , представив результат в десятичной системе счисления.

Переведем все числа в десятичную систему счисления, и сложим их:

2 F 16 =2 ⋅ 16 1 +15 ⋅ 16 0 =32+15=47 10

232 4 =2 ⋅ 4 2 +3 ⋅ 4 1 +2 ⋅ 4 0 =32+12+2=46 10

53 8 =5 ⋅ 8 1 +3 ⋅ 8 0 =40+3=43 10

47 10 +46 10 +43 10 =136 10

Таким образом, 2 F 16 +232 4 +53 8 =136 10

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую позиционную систему

Представим десятичное число в общем виде N , M , где N — целая часть числа, а М — его дробная часть. Для перевода десятичного числа в позиционную систему счисления с основанием р необходимо воспользоваться двумя правилами: одно определяет технологию перевода целой части числа, а другое — дробной части.

Правило перевода целой части числа состоит из следующих этапов:

— число N делится на новое основание р ;
— полученный остаток запоминается или записывается (это будет цифра младшего разряда);
— целая часть полученного частного снова делится на р ;
— опять запоминаем полученный остаток (это будет цифра следующего разряда) и т. д.

Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока целая часть частного не окажется меньше, чем основание системы счисления р . Эта последняя целая часть частного будет цифрой старшего разряда. Результат формируется путем последовательной записи слева направо цифры старшего разряда и всех записанных остатков в порядке, обратном их получению .

Правило перевода дробной части числа состоит из следующих этапов:
— дробная часть числа умножается на основание р ;

— запоминается или записывается цифра результата, переносимая в целую часть;

— оставшаяся дробная часть числа умножается на основание р ;

— снова фиксируется цифра результата, переносимая в целую часть, и т. д.

Такое последовательное умножение продолжается до тех пор, пока в дробной части не будет получен ноль или достигнута требуемая точность, например 5 знаков после запятой. Результат формируется в виде последовательной записи зафиксированных цифр переносов в целую часть в том порядке, в котором они были получены.

1) Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Замечание : остаток 11 10 записывается шестнадцатеричной цифрой B 16 .

Ответ: 75 10 =1001011 2 =113 8 =4 B 16

2) Переведем число 0 , 8125 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Замечание : число 13 10 записывается шестнадцатеричной цифрой D 16 .

Ответ: 0,8125 10 =0,1101 2 =0,64 8 =0, D 16

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше. Необходимо отдельно преобразовать целую и дробную части числа и соединить их через запятую.

Переведем число 194 , 125 из десятичной системы в двоичную:

Ответ: 194,125 10 =110000010,001 2

Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждую цифру этого числа заменить двоичной триадой (три разряда) в соответствии с таблицей (если нужно, слева дописывается дополнительный ноль).

734,46 8 =111011100,100110 2

Для перевода двоичного числа в восьмеричное следует воспользоваться следующим алгоритмом:

— разделить целую часть числа на триады от младших разрядов к старшим (влево от запятой);

— разделить дробную часть на триады в обратном направлении (вправо от запятой);

— заменить каждую триаду двоичных чисел соответствующей восьмеричной цифрой по таблице, предложенной выше;

— недостающие до триады позиции заполнить незначащими нуями.

1010,11111 2 =001010,111110 2 =12,76 8

Подобным свойством обладают и шестнадцатеричные цифры. Все шестнадцатеричные цифры (от 0 до F ) можно записать при помощи четырех двоичных разрядов ( тетрады ) (см. таблицу выше).

A 0 , F 8 16 =10100000,11111000 2

10101001,10111 2 =10101001,10111000 2 = A 9, B 8 16

Поразрядные способы перевода чисел можно использовать для сокращения действий при переводе числа, например, из десятичной системы в двоичную. Для этого целое число делением (дробное — умножением) сначала переводят в восьмеричную систему, а затем из восьмеричной системы поразрядно в двоичную систему.

Если в качестве промежуточной системы использовать двоичную, то существенно упрощается перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно. Это показано в следующем примере.

A 2 =010111101,000011100

A 2 =10111101,00001110

Форматы представления чисел в компьютере

Для хранения чисел в памяти компьютера используется два формата: целочисленный (естественная форма) и с плавающей точкой (нормализованная форма) (точка — разделительный знак для целой и дробной части числа).

Целочисленный формат (формат с фиксированной точкой) используется для представления в компьютере целых ( англ. integer) положительных и отрицательных чисел. Для этого, как правило, используются форматы, кратные байту: 1 , 2 , 4 байта.

В форме с фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой (или точки), отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма проста и привычна для большинства пользователей, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда пригодна при вычислениях. Если же в результате какой-либо арифметической операции получается число, выходящее за допустимый диапазон, то происходит переполнение разрядной сетки, и все дальнейшие вычисления теряют смысл.

Однобайтовое представление применяется только для положительных целых чисел. В этом формате отсутствует знаковый разряд. Наибольшее двоичное число, которое может быть записано при помощи 1 байта, равно 11111111 , что в десятичной системе счисления соответствует числу 255 10 .

Для положительных и отрицательных целых чисел обычно используется 2 и 4 байта, при этом старший бит выделяется под знак числа: 0 — плюс, 1 — минус.

Самое большое (по модулю) целое число со знаком, которое может поместиться в 2 -байтовом формате, это число 0111111111111111 , то есть при помощи подобного кодирования можно представить числа от −32 768 10 до 32 767 10 .

Если число вышло за указанные границы, произойдет переполнение! Поэтому при работе с большими целыми числами под них выделяется больше места, например 4 байта.

Формат с плавающей точкой (нормализованная форма) используется для представления в компьютере действительных чисел ( англ. real) . Числа с плавающей точкой размещаются, как правило, в 4 или 8 байтах.

Нормализованная форма представления чисел обеспечивает огромный диапазон их записи и является основной в современных ЭВМ.

Представление целого положительного числа в компьютере

Для представления целого положительного числа в компьютере используется следующее правило:

— число переводится в двоичную систему;
— результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
— последний разряд слева является знаковым, в положительном числе он равен 0 .

Например, положительное число +135 10 в зависимости от формата представления в компьютере будет иметь следующий вид:
— для формата в виде 1 байта — 10000111 (отсутствует знаковый разряд);
— для формата в виде 2 байтов — 0000000010000111 ;
— для формата в виде 4 байтов — 00000000000000000000000010000111 .

Представление целого отрицательного числа в компьютере

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется дополнительный код . Такое представление позволяет заменить операцию вычитания числа операцией сложения с дополнительным кодом этого числа. Знаковый разряд целых отрицательных чисел всегда равен 1 .

Для представления целого отрицательного числа в компьютере используется следующее правило:

— число без знака переводится в двоичную систему;
— результат дополняется нулями слева в пределах выбранного формата;
— полученное число переводится в обратный код (нули заменяются единицами, а единицы — нулями);

— к полученному коду прибавляется 1 .

Обратный код для положительного двоичного числа совпадает с его прямым кодом, а для отрицательного числа нужно во всех разрядах, кроме знакового, нули заменить единицами и наоборот.

Дополнительный код для положительного числа совпадает с его прямым кодом, а для отрицательного числа образуется путем прибавления 1 к обратному коду.

Отрицательное число может быть представлено в виде 2 или 4 байт.

Например, представим число −135 10 в 2 -байтовом формате:

— 135 10 10000111 (перевод десятичного числа без знака в двоичный код);
— 0000000010000111 (дополнение двоичного числа нулями слева в пределах формата);
— 0000000010000111 1111111101111000 (перевод в обратный код);
— 1111111101111000 1111111101111001 (перевод в дополнительный код).

Представление вещественного (действительного) числа в компьютере

Вещественное число может быть представлено в экспоненциальном виде, например:

16000000 10 =0,16 ⋅ 10 8

− 0,0000156 10 =−0,156 ⋅ 10 −4

В этом формате вещественное число ( R ) представляется в виде произведения мантиссы ( m ) и основания системы счисления ( P ) в целой степени ( n ), называемой порядком.

Представим это в общем виде, как: R = m ⋅ P n .

Порядок n указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться в мантиссе точка (запятая), отделяющая дробную часть от целой. Мантисса, как правило, нормализуется, то есть представляется в виде правильной дроби 0 m 1 .

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным.

При представлении в компьютере действительного числа с плавающей точкой тоже используется нормализованная мантисса и целый порядок. И мантисса и порядок представляются в двоичном виде, как это было описано выше.

Для размещения вещественного числа обычно используется 2 или 4 байта.

В 2 -байтовом формате представления вещественного числа первый байт и три разряда второго байта выделяются для размещения мантиссы, в остальных разрядах второго байта размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

В 4 -байтовом формате представления вещественного числа первые три байта выделяются для размещения мантиссы, в четвертом байте размещаются порядок числа, знаки числа и порядка.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.

Пример записи числа 6,25 10 =110,01 2 =0,11001 ⋅ 2 11 , представленного в нормализованном виде, в четырёхбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.

Источник