Индуктивный способ введения понятия это
§ 6. Индуктивные и дедуктивные умозаключения
С точкой зрения формальной логики различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение. Кратко поясним некоторыми примерами.
Понятие — это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений. Например, квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство всех сторон является существенным признаком квадрата, т.к. этот признак позволяет выделить квадрат из всех прямоугольников.
Суждение — это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. Например, от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Истинность этого положения нуждается в обосновании или же в доказательстве.
Умозаключение — такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Например: «5+1=6, 2+1=3, а 6›3; поэтому 5+1›2+1». Здесь из условий 5+1=6 и 2+1=3 выводится новое суждение 5+1› 2+1. Такого вида последовательность суждений представляют собой умозаключение.
Названные формы мышления рассматриваются в курсах психологии и теоретических основ математики (80, §2,4). В процессе развивающего обучения важным условием является умение обосновывать, доказывать высказанные суждения. Это зависит от того, насколько ученик умеет рассуждать, т.е. из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получает новое предложение.
В начальном обучении математике используются индуктивные и дедуктивные умозаключения, умозаключения по аналогии.
Индукция — умозаключение, при котором из нескольких частных суждений получают новое общее суждение.
В начальной школе, в отличие от самой науки математики, больше всего применяется неполная индукция, которая представляет собой умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы,получаемые применением индуктивных умозаключений носят часто характер предположения, гипотезы и поэтому они нуждаются в доказательстве или опровержении. Рассмотрим это на примере темы «Перестановка слагаемых» (1 класс). Деятельность учителя и учащихся опишем в виде таблицы 6.
Д е я т е л ь н о с т ь
1. На доске учитель пишет выражения: 2+1*1+2, 3+4*4+3 (частные суждения — А.А.) и предлагает сравнить их.
2. Просит вычислить значения правой и левой части и сделать вывод.
3. Просит ставить соответствующий знак между левой и правой частью этих выражений.
4. Какое предположение мы сможем сделать?
5. Правильно ли это для всех чисел?
1. Сравнивают и определяют, что слагаемые одинаковы, но переставлены местами.
2. Вычисляют и устанавливают что суммы одинаковы.
3. Записывают: 2+1=1+2 3+4=4+3.
4. От перестановки слагаемых сумма не изменяется (общее суждение — А.А.)
5. Возможные ответы:
б) надо проверить для всех чисел;
или ответа может и не быть.
Далее беседа продолжается.
— Ребята! Мы для всех чисел проверить не сможем и поэтому покажем наши действия кружками. Возьмите в левую руку 4 красных, а в правую 5 синих кружков. Составьте пример. (4+5=9). Поменяйте местами кружки и назовите пример (5+4=9). Что не изменилось? (Сумма). Используя слово «кружки», как это скажем? (Не изменилось число всех кружков) А если взять и тех и других кружков много-много, то изменится их общее число?
(Нет) Для любого числа кружков? (Да.) Значит наше правило верное? (Да, верное.) Теперь приведите свой пример и объясните.
Мы видим, что в процессе индуктивных рассуждений участвуют такие операции мышления, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование. При таком методе изучения темы главным является обучение учащихся не просто запоминанию правила, а усвоение такой технологии его получения и внедрения (первое звено «практика» в нашем примере отсутствует):
Каждое звено этой технологии должно быть мотивировано и учащиеся должны быть убеждены в его необходимости. Обучение при таком подходе в определенной степени становится развивающим.
Применяя в процессе обучения индуктивные умозаключения, учительница школы N 466 г. Москвы Л.В. Хомякова (88,с.34) предлагает некоторые рекомендации:
1. Полезно рассматривать как можно больше аналогичных частных примеров, в которых повторяется наблюдаемая закономерность. Например, учащимся предлагается задание: «Сравните примеры (4·2):2, (5·3):3, (6·4):4, (4·3):3 и сформулируйте математическое правило». Решив их, после сравнения, определяют: если число умножить и потом разделить на это число, то получим первоначальное число.
2. Рассматривая частные примеры полезно использовать различные приемы и формы активизации познавательной деятельности.
Например, изучая перестановку слагаемых, после записи примеров 2+1*1+2, 4+3*3+4, допустим, учащиеся не смогли найти существенные их признаки. Тогда учитель предлагает им самим написать в тетради такие примеры. В ходе письма происходит «созревание», т.е. когда они по подражанию переставляют множители, у них появляется речевое выражение этого «подражания» — перестановка слагаемых и т.д. Замена фронтальной формы работы индивидуальной способствует более осознанному усвоению учебного материала.
3. Для самостоятельного «открытия» учащимися необходимой в данной ситуации закономерности, полезно использовать действия с предметами, рисунки, использовать схемы, таблицы. Например, изучаем правило умножения суммы на число. С учащимися рассмотрели примеры (4+3)·2=4·2+3·2; (6+4)·3=6·3+4·3, но с выводом они затрудняются. Тогда в этой записи числа заключаем в разные фигуры, потом их стираем и оставляем запись вида (○ + ∆)·□ = ○ · □ + ∆ · □ и пытаемся сформулировать «правило»: «чтобы «сумму» круга и треугольника «умножить» на квадрат, надо сначала круг «умножить» на квадрат. «. Потом вместо фигур пишем:
( I число + II число)·III число = I число·II I число + I I число·III число и добиваемся формулировки правила: чтобы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты прибавить.
4. В работе с заданием надо дать возможность высказываться как можно больше учащимся с грамотной математической речью.
5. Учителю надо своевременно помогать учащимся наводящими вопросами и в конце работы уточнить сделанный вывод.
Применение индуктивных и дедуктивных умозаключений в обучении математике называют индуктивным и дедуктивным методом обучения. Они применяются, в частности, при изучении математических понятий.
В качестве примера применения индуктивных умозаключений рассмотрим один из вариантов методики введения математических понятий: конкретно-индуктивный метод.
Конкретно-индуктивный метод введения понятия означает введение понятия на основе конкретных фактов используя индуктивные умозаключения. В этом процессе необходимо учитывать психологические ступени формирования понятия, т.е. равномерный и целенаправленный переход от восприятия и ощущений к представлению, и далее к понятию.
При введении понятий конкретно-индуктивным методом можно руководствоваться следующей схемой, представленной в виде таблицы. Эта схема может изменяться (сокращаться или дополняться) в зависимости от содержания изучаемых тем и других условий обучения (уровень подготовки класса, наличие оборудования и т.п.). Однако, в любом случае психологические ступени формирования понятия должны соблюдаться. В качестве примера рассмотрим схему поэтапного введения понятия «скорость» в 3 классе (таблица 17).
Этапы процесса обучения(и психологические ступени формирования понятия)
Конкретные примеры и задачи, выражающие
Отыскание практических примеров, убеждающих в целесообразности изучения данного понятия (восприятие и ощущение)
1) Легковая машина может двигаться быстрее велосипедиста, тогда велосипедист движется медленнее. Почему?
За 1 час я пройду 5 км. А в автомобиле проеду 80 км. Почему?
Выделение различных существенных и несущественных признаков данного понятия (учащиеся), введение термина, обозначающего данное понятие и его мотивация (учитель) (переход от восприятия к представлению).
Прочитаем задачу: Велосипедист был в пути 3 часа и проехал за это время 36 км. В течение каждого часа он проезжал одинаковое расстояние. Сколько километров проезжал велосипедист в каждый час?
1) Важна ли марка велосипеда? (несущественный признак)
2) Что сказано о расстоянии? (Одинаково в каждый час, 36 км всего – существенные признаки)
3) За сколько часов он проехал? (3 часа – существенный признак)
4) Мы будем находить расстояние, пройденное велосипедистом в 1 час, которое после решения задачи будем называть скоростью. По нему мы будем говорить, что движется быстрее или медленнее и почему.
Отбор существенных свойств и формулировка определения понятия (переход от представления к понятию).
Итог решения задачи: мы нашли расстояние, пройденное велосипедистом в 1 час. Это называется скоростью. Значит, скорость – это расстояние пройденное в 1 час.
Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия, контрпримеры (образование понятия).
1. Решаем упражнения:
а) За 10 мин. Поезд прошел 1000 м. В каждую минуту он проходил одинаковое расстояние. Сколько метров проходил поезд в каждую минуту?
б) Объясни, как понимать выражения:
1)Скорость самолета 810 км/ч.
2)Теплоход шел со скоростью 34 км/ч.
3)Скорость пешехода 5 км/ч.
4)Космический корабль летит со скоростью 7900 м/с.
2. Правильно ли мы говорим?
а) Поезд прошел в 1 час 90 км, значит его скорость равна 90 км/ч.
б) Самолет пролетел за 2 часа 720 км, значит его скорость 720 км/ч.
Другие возможности определения данного понятия (учащимся разрешается высказать свои формулировки, соблюдая корректность речи и записи) (усвоение понятия и установление способа его нахождения).
1) Возможны варианты формулировок типа: «Скорость – путь, который проходят в 1 час или в 1 минуту», «Расстояние, которое мы проходим в 1 час будет скоростью» и т.д.
2) После решения задачи: «С какой скоростью двигался пешеход, если известно, что, проходя в каждый час одинаковое расстояние, он за 3 часа прошел 12 км?» формулируем правило: «Чтобы найти скорость надо расстояние разделить на время».
3) Составь две задачи, в которых надо найти скорость по известному расстоянию и времени движения. Реши их. (Средние скорости различных средств передвижения даны в учебнике.)
Дедукция — умозаключение, при котором из одного общего и одного частного суждений выводится менее общее или частное суждение. Рассмотрим несколько примеров применения дедуктивных рассуждений.
1. П р и м е р. Является ли число 28 четным?
Если число делится на 2, то оно четное.
Число 28 делится на 2.
Новое частное суждение
Число 28 является четным.
2. Т е м а. Умножение (2 класс).
Определение умножения учитель сам сообщает или же предлагает учащимся прочитать из учебника: «Умножением называют сложение одинаковых слагаемых». После, при выполнении упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых умножением и наоборот, учащиеся рассуждают так:
Сложение одинаковых слагаемых – это умножение, число 7 взяли слагаемым 3 раза. Значит, 7 умножили на 3.
б) Замените 4·5 сложением:4·5=.
Умножение — это сложение одинаковых слагаемых. Здесь 4 умножили на 5, значит 4 взяли слагаемым 5 раз, т.е.
3. Правильно ли решен пример: 45+3=(40+5)+3=40+8=48?
Ученик рассуждает: «Чтобы к сумме чисел прибавить число, можно это число прибавить к одному слагаемому и к полученному результату прибавить другое слагаемое. Число 3 прибавили к второму слагаемому 5, получили 8 и потом прибавили второе слагаемое 40 и получили 48. Пример решен верно.»
В рассмотренных примерах общее суждение использовалось в явном виде. В некоторых случаях они могут быть использованы и в неявном, скрытом виде. Например, решая тот же пример 45+3 ученик может рассуждать так: «45 это сумма чисел 40 и 5. К 5 прибавили 3, получили 8 и к 8 прибавим 40, получим 48». В таких случаях учителю полезно время от времени, для проверки понимания, спросить общее правило, которое и является общим суждением.
В теоретических основах математики рассматриваются три правила дедуктивных рассуждений: заключения, отрицания и силлогизма (80, с.102). Примером применения правила заключения может служить вышеприведенный первый пример. Учителю полезно использовать упражнения на применение и других правил.
Примерами применения правила отрицания могут служить такие упражнения:
1) Если число четное, то оно делится на 2. Число 37 не делится на 2. Какой вывод вы можете сделать?
2) У прямоугольника все углы прямые. У четырехугольника АВСД только два прямых угла. Будет ли он прямоугольником?
Для обучения применению правила силлогизма можно использовать упражнения такого вида:
1) Число 96 делится на 8, а число 8 делится на 4. Делится ли 96 на 4?
(Более сложный вопрос: какой вывод можно сделать из этих двух предложений?)
2) Отрезок АВ равен отрезку СД, а отрезок СД равен отрезку РК. Что вы можете сказать об отрезках АВ и РК?
Обучению дедуктивным умозаключениям на практике не всегда уделают должное внимание. Это связано с непониманием их роли в развитии учащихся. Например, обучение учащихся такому приему запоминания как «применение стимулирующих звеньев» (гл. 3, §5) невозможно без дедуктивных рассуждений. Их отсутствие является серьезным препятствием также и в обучении свертыванию процесса рассуждения (гл. 3, §7).
Прежде чем ответить на конкретный вопрос, учащиеся должны уметь приводит общее положение (правило, свойство и т.п.) и на его основе обосновать свой ответ, т.е. отвечать по схеме: вопрос общее суждение частное суждение вывод. Это — одна из важных задач учителя.
В заключение отметим, что правила дедуктивных умозаключений широко применяются во многих системах развивающего обучения, особенно Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова. Примером этого может служить изучение транзитивности равенства (см.§4 данной главы).
Применение дедуктивных умозаключений в обучении математике называют дедуктивным методом обучения.
Источник
Формирование математических понятий в школьном курсе математики
статья по теме
Формирование у учащихся математических понятий – одна из важнейших задач преподавания математики. Овладение основами наук немыслимо без овладения системой понятий этих наук. В большей мере это относится к математике. Вся постановка преподавания должна способствовать образованию правильных понятий.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| формирование математических понятий | 58.89 КБ |
Предварительный просмотр:
ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Токарева Инна Александровна
МБОУ гимназия №1, Г. Липецк
«Формирование у учащихся математических понятий – одна из важнейших задач преподавания математики. Овладение основами наук немыслимо без овладения системой понятий этих наук. В большей мере это относится к математике. Вся постановка преподавания должна способствовать образованию правильных понятий». [1]
Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления . Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы – формирование понятийного аппарата темы.
Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Содержание понятия — это множество всех существенных признаков данного понятия.
Объем понятия — множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия).
Роль понятий при изучении математики сложна и многообразна. С одной стороны, на понятия мы опираемся в процессе доказательства, с другой – во всяком доказательстве мы раскрываем понятия, углубляем и уточняем знания о понятиях. Само определение понятий также основывается на уже известных понятиях. Поэтому столь важна формулировка определения понятия, которая может быть дана различными способами. Отсюда следует, что одна из основных целей методики преподавания математике – выявить наиболее рациональные способы, с помощью которых можно дать определение того или иного понятия. От этого зависит, насколько хорошо у учащихся сформируется представление о новом понятии.
Методика сообщения определений учащимся обладает известными особенностями, которые объясняются спецификой самих математических предложений, называемых определениями. Выделяют два пути введения определения математических понятий: абстрактно-дедуктивный и конкретно-индуктивный.
Введение понятий абстрактно-дедуктивным методом. При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить абстрактно-дедуктивный метод. Особенность этого метода состоит в том, что каждое определение вводится сразу, в готовом виде, без предварительного разъяснения на конкретных примерах и образцах. Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
- Дать определение нового понятия (уравнение вида аx 2 –bx+c =0, где а≠ 0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).
- Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия ( x 2 +px+q =0, ax 2 +c =0, ax 2 +bx =0, ax 2 =0), проведя своеобразную классификацию этого понятия. В данном случае классификация может быть такой:
Привести некоторые контр примеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bx+с= 0 неполным квадратным уравнением).
- Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами ( x 2 –7x+12 =0, 2 x 2 – 32 =0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.
- Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу можно рассмотреть как квадратное уравнение ; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).
Введение понятий конкретно-индуктивным методом. Сущность конкретно-индуктивного метода заключается в том, что на основе рассмотрения частных примеров учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения.
Например, ознакомление учащихся с простыми и составным числами можно провести следующим способом:
- На доске написать такие два ряда чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, …
- Выявление и отбор существенных признаков данных понятий. Например, учитель может дать учащимся такое задание: найти все делители каждого из чисел, содержащихся в первом ряду, и найти все делители каждого из чисел, содержащихся во втором ряду.
- Формулировка определения этих понятий; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся).
- Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся).
Таким образом, пользуясь конкретно-индуктивным методом, учитель дает учащимся такие конкретные примеры, в которых на первый план выступают существенные признаки данного понятия, и привлекает учащихся к этим признакам.
Конкретно-индуктивный метод находит большое применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.
Кроме данных двух методов введения математических понятий существует еще один: Учащиеся готовятся к сознательному восприятию, к пониманию нового определения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде. При осуществлении данного метода и конкретно-индуктивного используется эвристический метод, в классе создается проблемная ситуация, которая способствует самостоятельному «открытию» учащимися новых знаний.
В одних случаях можно составить такие упражнения, чтобы на их основе учащиеся легко и быстро сформулировали определение нового понятия. В других случаях этого добиваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к восприятию нового определения. Например, приступая к изучению геометрической прогрессии, учитель предлагает следующие упражнения.
Выпишите несколько первых членов последовательности ( х n ) , у которой х 1 = 2, х n+1 =x n ∙ 3. Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать определение геометрической прогрессии.
Упражнение учащиеся выполняют свободно, опираясь на аналогию с уже известным им определением арифметической прогрессии. Когда же вводится понятие арифметической прогрессии, то путем дополнительных вопросов также можно добиться самостоятельного формулирования учащимися определения. Но здесь на аналогию они не опираются, так как с подобным определение встречаются впервые. Поэтому с целью экономии учебного времени лучше изменить упражнение, исключив из него требование о самостоятельном формулировании определения, например:
Выпишите несколько последовательных членом последовательности ( х n ), у которой х 1 = 4, х n+1 =x n + 3. Далее учитель говорит, что такая последовательность называется арифметической прогрессией, и сам сообщает ее определение.
Таким образом, метод ознакомления учащихся с новым определением выбираю в зависимости от характера изучаемого материала, наличие учебного времени, уровня развития учащихся и других факторов.
Учитывая, что упражнения являются основным средством формирования понятий в средней школе, сопоставим в виде схемы каждый этап формирования понятия и соответствующие ему виды упражнений:
Этапы формирования понятия
Упражнения, реализующие их
Мотивация введения понятия
Упражнения на применение изученных понятий и теорем.
Упражнения практического характера.
Выделение существенных свойств понятия
Упражнение на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам.
Усвоение логической структуры определения понятия
Упражнения с моделями фигур.
Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия.
Упражнения на выделение следствий из определения понятия.
Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий).
Упражнения на составление родословной понятия.
Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями
Упражнения на применение понятия в различных ситуациях.
Упражнения на систематизацию понятий.
Итак, формирование понятия осуществляется в несколько этапов:
1. мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);
2. выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);
3. формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).
- Никитин В.В., Рупасов К.А. Определения математических понятий в курсе средней школы: Пособие для учителей. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1963.
- Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
- Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе.//Математика в школе. 1998 — №6 – с.27.
Источник
