Индийский способ умножения галеры
данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
Какой из способов наиболее универсальный?
Цель моего исследования: изучить индийские способы умножения, научиться ими пользоваться и выявить наиболее универсальный способ умножения.
1.узнать о вкладе Древней Индии в развитие математики;
2 .изучить индийские способы умножения;
3 .провести сравнительный анализ способов умножения методами «Сетка», «Галеры» и «Столбик».
Так ли просты и удобны индийские способы умножения?
Объект исследования: индийские способы умножения.
Предмет исследования: умножение методами «Сетка» и «Галеры».
Методы исследования: теоретические — составление библиографии, краткая запись информации, анализ данных по теме исследования, обобщение; конкретизирующие — опрос, наблюдение.
Вклад Древней Индии в развитие математики
Ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии.
До нас дошли книги VI — III века до нашей эры- серия религиозно-философских книг Шульба-сутры (дополнение к Ведам). Эти сутры описывают построение жертвенных алтарей. Древние манускрипты содержат богатые математические сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским.
Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Идея, заключается в том, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.
Цифры, которыми мы сегодня пользуемся, именуются арабскими. Ученые считают такое название ошибочным, так как арабы к ним отношения не имеют. Придуманы они были индусами, но, по какой – то причине, их назвали арабскими. Даже после того, как была вскрыта ошибка, это название менять не стали.
Что касается арабов, то свою числовую систему они создали на основе индийских чисел, а поэтому и называть их арабскими было бы неправильно. Все дело в том, что арабы ничего не изобретали и не выдумывали, а просто использовали уже готовые числа, придуманные индийцами. Даже порядок их написания остался прежним — слева направо, тогда как буквы арабы пишут в ином направлении.
Индийские способы умножения
В древней Индии применяли два способа умножения: сетка и галера.
Они кажутся очень сложными, но если быть последовательным, то видно, что это довольно просто.
Вычерчиваем квадратную сетку.
Цифру каждого разряда записываем над каждой колонкой по горизонтали слева направо.
Цифру каждого разряда записываем справа от каждой колонки по вертикали сверху вниз.
Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
В примере 325 * 152 следует последовательно умножать
1 на 3, 1 на 2, 1 на 5;
5 на 3, 5 на 2, 5 на 5;
2 на 3, 2 на 2, 2 на 5.
Складываем числа, следуя диагональным полосам, начиная с правого нижнего угла.
Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.
Ответ читается так:
Слева по вертикали сверху вниз – тысячи,
Снизу по горизонтали слева направо – сотни, десятки и единицы.
Пишем одно число как множимое и под ним другое как множитель.
Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть,
1 на 3, 1 на 2, 1 на 5;
5 на 3, 5 на 2, 5 на 5;
2 на 3, 2 на 2, 2 на 5.
Полученные произведения пишем в сетку, имея в виду следующие правила:
1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множимое
2. Последующие произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.
Теперь повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.
Складываем числа в колонках, начиная справа налево.
Если сумма одной колонки содержит десятки, то прибавляем их к следующей колонке.
Ответ читается как обычно: по горизонтали слева направо.
Сравнительный анализ способов умножения методами «Столбик», «Сетка», и «Галеры»
Я провел эксперимент среди учеников своего класса. Попросил их произвести умножение трехзначных чисел методами «Столбик», «Сетка» и «Галера» на время (приложение 1).
Данные эксперимента я занес в таблицу 1. Произвел расчет среднего арифметического времени, за которое были выполнены вычисления.
Быстрее всего ребята справились с вычислением методом «Столбик» — за 44 секунды.
Вычисление методом «Сетка» в среднем было произведено за 83 секунды, а методом «Галера» -за 86 секунд.
В результате изучения индийских методов умножения, а так же произведенного эксперимента, я могу сделать вывод о достоинствах и недостатках, используемых способов умножения.
Универсален для умножения разных по сложности произведений;
Изучен большинством людей и применяется на практике,
При перемножении больших чисел, требуется держать в уме или неудобно надписывать сверху много чисел.
Очень прост в изучении;
Не требуется держать много чисел в уме,
Громоздкий при умножении больших чисел.
Последовательный способ, не требующий запоминания большого количества цифр,
Возникают трудности при изучении правил оформления;
Я изучил индийские способы умножения, научился ими пользоваться, а также провёл сравнительный анализ способов умножения методами «Столбик», «Сетка» и «Галера».
В результате анализа я делаю вывод о том, что наиболее универсальный способ умножения — «Столбик», т.к. он удобен для умножения разных по сложности произведений и изучен большинством людей.
На втором месте – способ «Сетка», т.к. он прост, но громоздок. На третьем месте – способ «Галера», т.к. он последователен, но очень громоздок.
Источник
Глава третья. Немного истории
«Трудное дело — деление»
Немного истории
Зажигая привычным движением спичку, мы иной раз еще задумываемся над тем, скольких трудов стоило добывание огня нашим предкам, даже не очень отдаленным.
Но мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату.
Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового, великого мастера счетного дела.
Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — последнее всего больше. «Умноженье- мое мученье, а с делением — беда»,- говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления- приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. И все эти приемы умножения- «шахматами, или органчиком», «загибанием», «по частям, или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком», или «чашей», «алмазом» и проч., а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. «Трудное дело — деление» (dura cosa e la partita) — гласила старинная итальянская поговорка. Оно и в самом деле было трудно, если принять во внимание утомительные методы, какими выполнялось тогда это действие. Нужды нет, что способы эти носили подчас довольно игривые названия; под веселым названием скрывался длиннейший ряд запутанных манипуляций. В XVI веке кратчайшим и удобнейшим способом считалось, например, деление «лодкой или галерой».
Знаменитый итальянский математик того времени — Николай Тарталья (XVI век) в своем обширном учебнике арифметики писал об этом способе следующее: «Второй способ деления называется в Венеции * лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями — выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами».
* ( Венеция и некоторые другие государства Италии в XIV-XVI веках вели обширную морскую торговлю, и потому в этих странах приемы счета были, ради коммерческих надобностей, разработаны раньше, чем в других. Лучшие труды по арифметике появились в Венеции. Многие итальянские термины коммерческой арифметики сохранились еще в настоящее время.)
Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но, хотя старинный математик и рекомендует этот способ как «самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел», я не решаюсь его изложить здесь из опасения, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше.
Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху. У нас он употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Леонтия
Магницкого * он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; на протяжении своей объемистой книги — 640 страниц большого формата — Магницкий пользуется исключительно «способом галеры», не употребляя, впрочем, этого наименования.
* ( Магницкий Л. Ф. (1669-1739) — русский математик, составил первый русский учебник математики, охватывающий все ее отделы, известные в ту эпоху (включая и сведения из мореходной астрономии). Это одна из тех двух книг, которые Ломоносов назвал «вратами своей учености». Подробное заглавие ее таково:
«Арифметика, сиречь наука числительная, повелением царя Петра Алексеевича в великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей на свет произведена в лето от рождества бога слова 1703».)
В заключение покажем читателю эту числовую «галеру», воспользовавшись примером из книги Тартальи:
2 ( Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.)
Источник
Старинные способы умножения и деления
В работе рассмотрены несколько способов умножения: крестьянский ( удвоение). умножение на пальцах от 6 до 9, египетский, умножение решеткой, а также два способа деления : галерой и методом Гилберта. Сделаны сравнительные выводы о достоинствах и недостатках указанных методов с о школьными общепринятыми.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| starinnye_sposoby_umnozheniya_i_deleniya.docx | 418.64 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальный конкурс научно-исследовательских и творческих работ «Первые шаги в науке»
СЕКЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, МАТЕМАТИКА;
Cтаринные способы умножения и деления
Автор Автомонов Денис,
ученик 7А класса
Айзикович Анна Георгиевна,
МБОУ «СОШ № 13 с углублённым
изучением отдельных предметов»
г.Губкина Белгородской области
Можно ли представить мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.
Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и действий с ними. В современном мире математическая грамотность является одной из основных целей образования. Она включает в себя, в частности, умение совершать арифметические действия, проводить подсчёты и измерения.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке — палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
Практическая сторона арифметики включает в себя методы, схемы и алгоритмы для осуществления точных арифметических действий, в том числе использование счётных машин. В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственные способы выполнения операций умножения и деления.
Гипотеза – используемые алгоритмы умножения и деления натуральных чисел — не единственные.
Проблема – просты ли наши современные способы различных вычислений, какие нестандартные приёмы умножения и деления существуют для счета?
Цель работы – рассмотреть нестандартные приёмы умножения и деления не рассматриваемые в школьном курсе математики.
- изучить соответствующую литературу,
- описать некоторые способы умножения и деления, опытным путём выявить трудности их использования,
- продемонстрировать преимущество и недостатки старинных способов умножения и деления .
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес к математике и содействует развитию математических способностей. За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Для изучения данной темы, автор изучил работы таких авторов как Депнам И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Гейзер Г.И. «История математики в школе», в которых нашел историю появления приемов арифметических операций; в энциклопедии для детей «Математика» ( серия Аванта ) были найдены старинные способы умножения и деления галерой.
Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение. Помимо умножения, в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на два. Обратной к операции умножения является операция деления. Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 года. Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового, великого мастера счетного дела.
Источник
