Исследовательская работа по теме: «10 способов решения квадратных уравнений»
Работа рассказывает историю развития квадратных уравнений. А также, как в разных древних государствах решали квадратные уравнения. Показаны различные способы и методы решения квадратных уравнений.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| issledovatelskaya_rabota.pptx | 2.8 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Работу выполнил: учащийся 9 А класса Журавлёв Александр Руководитель: Коржилова Лариса Михайловна, учитель математики
1.3 Квадратные уравнения в Индии
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р 0 и p = — 3 0 и p = 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q 0 . Например, x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = — 5 и x 2 = 1, так как q = — 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = — 1, так как q = — 9 < 0 и p = - 8 < 0.
5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .
Примеры. 1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.
2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1. Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1) и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Примеры. 1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 — 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5. 3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.
Заключение Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
Источник
Проект по теме»10 способов решения квадратных уравнений»
Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.
Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— изучить историю развития квадратных уравнений;
— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;
— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy.docx | 513.31 КБ |
Предварительный просмотр:
МБОУ Новотроицкая СОШ
решения квадратных уравнений
Выпонил: ученица 9 класса
Чемоданогва Ирина Сергеевна
Работа допущена к защите «_____» _______________ 201____г.
Подпись руководителя проекта ____________________(__________________)
I. История развития квадратных уравнений
1.1. Из история квадратных уравнений
1.1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.
1.1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми.
1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
- Квадратные уравнения и их виды
II. Способы решения квадратных уравнений
2.1.Разложение левой части уравнения на множители
2.2.Метод выделения полного квадрата
Решение квадратных уравнений по формулам
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
5.Решение уравнений способом переброски».
- Свойства коэффициентов квадратного уравнения
7.Графическое решение квадратного уравнения
8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений
Список информационных источников
Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получил название «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.
Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.
Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
— изучить историю развития квадратных уравнений;
— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;
— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
— научиться решать квадратные уравнения различными способами.
Объект исследования : квадратные уравнения.
Предмет исследования : с пособырешения квадратных уравнений.
Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
Анализ: информации полученной при изучении литературы;
результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.
1. История развития квадратных уравнений.
1.1.1.Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. (1)
В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…
Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис). 
Соответствующее задаче уравнение:
Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768
и, чтобы дополнить левую часть этого
уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.1.3.Квадратные уравнения у ал — Хорезми.
В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .
Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.
Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»
(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
1.2.Квадратные уравнения и их виды.
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.
Числа a , b , c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
Источник
