Графоаналитический способ теоретическая механика

Значение нормальной составляющей относительного ускорения определяется по формуле

= w₂ 2 ∙l_AВ

Вектор направлен по АВ к центру вращения (к точке А механизма) и откладывается из точки а плана. В виде отрезка an = /m_a. Направление тангенциальной составляющей вектора будет проходить через конец n вектора и перпендикулярно к нему. Направление абсолютного ускорения точки В известно (а_В //ОВ) и соответствующая линия проходит через полюс р_а.. Пересечение этих двух линий определит положение точки b на плане ускорений, а следовательно, величину ускорения а_В = m_a∙р_аb. Вектор ab изображает полное ускорение . Угловое ускорение звена 2 находим по формуле

Перенося вектор ускорения в точку В и рассматривая движение точки В относительно точки А, находим направление e₂.

Вектор р_ас ускорения точки С находим, используя свойство плана ускорений, построением на отрезке ab треугольника abc, подобного треугольнику АВС, повернутого на угол (180° — a), где

Значение ускорения в этой точке равно а_C = m_a∙р_аc.

План ускорений имеет следующие характеристики:

· векторы, выходящие из полюса р_а плана ускорений, представляют собой абсолютные ускорения соответствующих точек звеньев механизма;

· отрезки, расположенные между концами векторов абсолютных ускорений, соответствуют полным относительным ускорениям;

· концы векторов абсолютных ускорений точек, принадлежащих одному звену механизма, на плане ускорений образуют подобные фигуры, повернутые на угол (180° — a);

· план ускорений позволяет находить угловые ускорения звеньев.

Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте задачи и назовите методы кинематического анализа рычажных механизмов?

2.Как строятся крайние положения и траектории точек звеньев механизма?

3.Постройте план скоростей и ускорений кривошипно-коромыслового и кривошипно-ползунного механизмов.

4.Запишите формулу ля вычисления угловых скоростей и ускорений. Определите их направление.

5 Как следует определять скорость (ускорение) третьей точки звена при известных векторах скоростей (ускорений) двух точек звена, используя свойство

Источник

Графоаналитический метод кинематического анализа

Графоаналитический метод называют методом планов скоростей и ускорений.

Задача о положениях решается графическим методом, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для множества точек механизма.

Недостатком метода является то, что требуется построить планы скоростей и ускорений для нескольких положений механизма (если необходимо определять скорость и ускорение при различных положениях механизма и его звеньев).

Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенник

При решении задач такого типа известны угловая скорость w₁ ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи:

1. Строится план механизма (рис. 2.2) в выбранном масштабе длин:

, м/мм,

где L_OA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2) переводятся масштабом длин m_L в отрезки:

2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.

Векторное уравнение для звена 2 (шатуна)

где V_А = V_АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О; V_ВА – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысла)

Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (V_С = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно С (V_ВС) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (2.1) и (2.2) в каком-либо масштабе.

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 2.2). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m_u по соотношению

, ,

где u_A – скорость точки А, м/с; P_Va – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V_A, выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых, численное значение масштаба m_u должно быть удобным для расчётов (m_u должно быть круглым числом).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответ-ствующей написанию векторных уравнений (2.1) и (2.2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки Р_u (полюса плана скоростей) вектор скорости V_А, который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину P_Va, выбранную нами при определении масштаба плана скоростей m_u. Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс P_V – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (2.1) и (2.2) на построенном плане наносятся направления (стрелки) векторов V_ВиV_ВА.

Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать векторные уравнения скоростей:

где вектор скорости V_КА перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор V_КВ – отрезку КВ.

Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана скоростей – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле

где Р_Vk – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:

,

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому-либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам

, c -1 ,

, c -1 .

Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов V_ВАиV_BC. Для этого вектор V_ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω₂.

Аналогично поступают со скоростью V_ВА. В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С, туда и будет направлена угловая скорость ω₃.

План ускорений механизма и его свойства

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2). Примем угловую скорость кривошипа постоянной (w₁ = const, что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).

Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа)

где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитывается по формуле .

Вектор а n _АО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения а t _АО рассчитывается по формуле

.

В нашем случае угловое ускорение кривошипа e₁ = 0, тогда .

Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна)

где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле .

Вектор а n _ВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая а t _ВА перпендикулярна АВ.

Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)

где ускорение точки С а_С = 0; нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле .

Вектор а n _ВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С, а вектор а t _ВС – перпендикулярно ВС.

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р_аа ’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускорений разместился на отведенном месте чертежа и численное значение μ_а было удобным для расчетов (μ_а должно быть круглым числом).

Тогда ускорение а n _ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение а n _ВС – вектором длиной , мм.

Затем строится план ускорений (рис. 2.2) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р_аа′ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ_а. Из конца этого вектора (точки а′) проводится вектор ускорения длиной а′n₂, который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую. Затем из полюса Р_а проводят вектор ускорения длиной Р_аn₃. Перпендикулярно ему через точку n₃ проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n₂ перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b′, которая, будучи соединена с полюсом Р_а, образует отрезок Р_аb′, изображающий вектор полного ускорения точки В.

Используя план ускорений, можно вычислить ускорения

, m_u.

,

где w₂ и e₂ – угловые скорость и ускорение шатуна.

,

где w₂ и e₂ не зависят от выбора (расположения) полюса Р_а плана ускорений, а отношение масштабов постоянно (m_L/m_a= const) для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например, К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции

.

Отсюда формулируется теорема подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.

Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле

.

Угловые ускорения звеньев шатуна , c -1 , направление e₂ определяются по а t _ВА; угловые ускорения звеньев коромысла , c -1 , направление e₃ – по а t _Вс.

Так как w₂ и e₂ направлены в противоположные стороны, вращение шатуна является замедленным.

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения радиуса кривизны траектории движения точки

Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К) можно вычислить по формуле

,

где а n _К – нормальная составляющая ускорения точки К.

Для определения величины (и направления) а n _К следует вектор полного ускорения а_К на плане ускорений разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, причём а n _К перпендикулярна вектору скорости V_К, а t _К параллельна последнему. Для этого сначала через полюс плана ускорений Р_а проводится прямая, параллельная вектору скорости точки К, а через точку k` – перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении получают точку m.

Рис. 2.2. План механизма, скоростей, ускорений

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения мгновенного центра скоростей (МЦС)

и мгновенного центра ускорений (МЦУ) звена

Для определения МЦС и МЦУ используют теорему подобия, а на плане механизма строят фигуры, подобные фигурам (треугольникам) на планах скоростей и ускорений (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Определение положений мгновенных центров скоростей P_V2

Из теоретической механики известно, что плоскопараллельное движение звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как вращение вокруг некоторой точки, которую называют мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей (МЦС). Если данная точка относится к станине (стойке) механизма, т.е. является неподвижной, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в абсолютном движении рассматриваемого звена. Таким образом, если мы представим, что точка P_V2 принадлежит шатуну (рис. 2.3), то её скорость будет равна нулю.

Если же рассматривается движение звена относительно любого подвижного звена механизма, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в относительном движении рассматриваемых звеньев.

Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену, абсолютное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена. Если звено механизма совершает сложное плоскопараллельное движение, то меняются и положения МЦС и МЦУ.

Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма

Последовательность построения планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4) аналогична той, которая приведена в предыдущем случае. В дальнейшем некоторые подробности (расчёты масштабов, длин m_е, масштабов планов скоростей m_v и ускорений m_а и т.д.) будут пропущены.