Исследовательская работа «Необычные способы умножения»
Работа содержит исследование по заявленной теме, теоретические и практические аспекты исследования
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Исследовательская работа | 813.55 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №7 ЗАТО Углегорск Амурской области
Необычные способы умножения
Выполнил: Смирнов Иван Андреевич,
ученик 6А класса
Руководитель: Хитрова Диана Петровна,
Глава I. Теоретические аспекты исследования…………………………………..5
1.2. Умножение на пальцах……………………………………………. 6
1.3. Метод решетки («ревности»)………………………………………. 7
Глава II. Практические аспекты исследования………………………………. 11
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
Однажды, случайно увидев по телевизору передачу о различных способах умножения, захотелось изучить их более подробно, научиться их использовать для вычислений. Ведь оказалось, что можно умножать не только в столбик, как мы умеем, а существуют и другие способы умножения, более интересные и рациональные.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Цель исследования: изучить необычные способы умножения и создать учебное пособие по данной теме.
Объектом нашего исследования является математическое действие умножения; предметом исследования — необычные способы умножения.
Цель исследования определила задачи :
- изучить литературу по данной теме;
- провести анкетирование по теме исследования;
- научиться применять необычные способы умножения;
- научить одноклассников использовать эти способы при вычислениях:
- оформить информацию о необычных способах умножения в виде буклета для учащихся 5-7 классов.
При работе были использованы следующие методы исследования :
- теоретический метод (анализ научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет);
- эмпирический метод (опрос, беседа);
- математический метод (визуализация данных).
Исследование осуществлялось в три этапа. На первом этапе исследования – поисковом (октябрь-ноябрь 2013 г.) изучались различные источники информации, по проблеме исследования, были определены актуальность и значимость исследования. На втором этапе исследования (декабрь 2013г.) – проводили опрос учащихся 5-7 классов, обрабатывался и систематизировался полученный материал. На третьем этапе – обобщающем (январь-февраль 2014 г.) были обобщены и проанализированы все сведения.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
Глава I. Теоретические аспекты исследования
1.1. Немного истории
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
1.2. Умножение на пальцах
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
1.3. Метод «решетки» (метод «ревности»)
Этот способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение .
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачиоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь». Итальянский математик Лука Пачиоли является основателем данного способа умножения.
«Метод решетки» («ревность») описал в своей «Книге об индийском счете» выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми.
Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Рассмотрим пример: перемножим 987 и 12:
— рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
— затем квадратные клетки делим по диагонали;
— вверху таблицы записываем число 987;
— слева таблицы число 12 (см. рисунок );
— теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
— после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
— результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);
Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и в Италии.
Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
1.4. Графический способ
Графические способ иногда называют умножение палочками. Достоинства графического способа — простота выполнения, наглядность, точность ответа.
Предположим надо умножить 32 на 21.
На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.
Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже — 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем — 1 малиновую. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа — из нижнего левого, в верхний правый. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) — 6 точек, во второй (область десятков) — 7 точек, в третьей (область единиц) — 2 точки. Следовательно, ответ: 672.
1.5. Умножение крестиком
В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся еще в древней Индии под названием «молниеносного».
Пример: 24 х 32 = 768 2 4
Последовательно производим следующие действия:
1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.
2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.
6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.
Нами рассмотрены лишь некоторые необычные способы умножения. Используя некоторые из этих них на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Глава II. Практические аспекты исследования
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы умножения кроме умножения столбиком, был проведен опрос. Было опрошено 20 учащихся 6А класса. Для опроса были составлены следующие вопросы:
- Необходимо ли современному человеку уметь выполнять умножение?
- Умеете ли вы умножать?
- Знаете ли вы другие способы умножения кроме умножения в столбик?
- Хотели бы вы узнать другие способы умножения?
Обработав полученный материал, были составлены следующие результаты (Приложение №1). В результате исследования выяснилось, что все опрошенные считают, что современному человеку необходимо уметь выполнять умножение и умеют умножать. Также выяснилось, что о других способах умножения знают 4 опрошенных (20%) и 19 опрошенных (95%) хотят узнать о других способах.
На занятиях элективного курса рассмотренные выше способы были представлены одноклассникам (Приложение №2). Все ребята с интересом слушали и вникали в суть каждого способа. Большинству одноклассников они понравились и им тоже захотелось научиться умножать необычным способом, что привело на мысль о создании учебного пособия для учащихся 5-7 классов о необычных способах умножения.
В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Этой работай, мы хотели хоть чуть — чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о необычных способах умножения .
В ходе исследования были изучены различные источники информации по теме, анализ которых показал, что существуют различные необычные способы умножения, достаточно быстрые и надежные . В результате исследования подтвердилась его актуальность: существует потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.
Результатом нашей работы стал буклет «Необычные способы умножения». Смело, рекомендуем его вниманию любителей арифметики.
Источник
Исследовательская работа на тему: «Интересные способы умножения чисел»
Исследовательская работа на тему «Интересные способы умножения чисел».
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Приложение исследовательской работы | 839.05 КБ |
Предварительный просмотр:
Исследовательская работа на тему:
«Интересные способы умножения чисел»
Выполнила : Королева София
ученица 4 класса
Руководитель: Ситникова О.Н.
Что такое умножение?
Это умное сложение.
Ведь умней умножить раз,
Чем слагать все целый час.
Введение
К сожалению, наш мир устроен так, что мы вынуждены запоминать все нужное и ненужное. Мозг человека как расширяемый склад. И то, как он расширится – целиком в наших руках.
Еще в 1 классе я спросил у мамы: «Что такое умножение?». Этот вопрос возник у меня потому, что моя старшая сестра выполняла задание по математике, связанное с этим действием. Мама мне объяснила принцип умножения чисел, и я очень легко выучил таблицу умножения. Чем старше я становился, тем сложнее были задания по математике, в которых необходимо было умножать разные числа: однозначные на многозначные и многозначные на многозначные. На уроках математики учителя подсказывали, как можно проще считать, применяя различные математические хитрости. Привычные и сложные операции можно выполнять существенно быстрее и эффективнее. В своей исследовательской работе мне хочется рассмотреть дополнительные способы счета, отличные от тех, которые преподаются в школе. Применение различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов, а также в повседневной жизни.
Цель моей работы: исследовать различные «непифагоровы» способы умножения чисел.
Объект исследования: математическая операция «умножение».
Предмет исследования : способы умножения чисел.
Актуальность: в школе изучают таблицу умножения, а затем учат умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения однозначных и многозначных чисел. Исследование различных способов умножения позволит легче считать «в уме», что пригодится как на уроках математики, так и при сдаче экзаменов в 9 и 11 классе, а также в повседневной жизни при покупке товаров, проведении различных подсчётов.
Новизна: знакомство с различными способами умножения.
1. Изучить литературу по теме.
2. Ознакомить учащихся с различными способами умножения чисел.
3. Проанализировать результат (проследить, улучшился ли устный счёт учащихся).
Практическая значимость : пробудить интерес учащихся класса к исследуемой теме, применять полученные знания в повседневной жизни.
— сбор материала о способах умножения чисел;
— систематизация и обобщение результатов исследования;
— метод анализа и обобщения.
Основная часть. Различные способы умножения
В истории математики известно около 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Преподаваемый метод умножения «в столбик» в школе – один из способов. Но самый ли эффективный ли это способ?
1. Ведический способ умножения
Считается, что основы современной математики были заложены в работах Евклида, Ньютона и Лейбница. Имеется, однако, ряд работ, неизвестных широкому кругу читателей, изложенные в Ведах — древнейшем памятнике человеческой культуры, превосходящем по возрасту, по крайней мере, на несколько тысяч лет все известные древнегреческие труды. Веды, в переводе с санскрита источник знания (ср. с русск. ведать ), согласно индийским верованиям, содержат все знания, как научные, так и этические, исходно данные человечеству. Веды, написанные на санскрите в форме коротких изречений (сутр), не содержат теорем и математических выкладок. Вместо этого имеются операционные инструкции — правила решения определенных задач. Интерпретация инструкций требует как глубокого знания ведической культуры, так и профессиональной математической подготовки. В «Ведах» описано быстрое умножение двух двузначных чисел. Этот метод назван «ведическим» и довольно широко применяется в современной Индии.
Допустим, мы хотим умножить числа: 32×12. Сначала умножим цифры, стоящие в старшем разряде (разряде десятков) и запишем на первое место в произведение:
Далее умножим числа, стоящие в младшем разряде (разряде единиц) и запишем на последнее место в произведении:
Теперь перемножим наружные цифры и внутренние цифры, сложим их и запишем в произведение между раннее записанными числами:
В случае если при умножении получается двузначное число, то привычно пишем последнюю цифру в результат, а первую прибавляем в уме к предыдущему разряду.
- 4 2* 1 8=4 …
- 4 2 *1 8 =4…6 (1 в уме)
- 42*18=4(4*8+2*1+1в уме)6=4(35)8=756
2. Русский способ умножения
Весьма отчётливое понимание значения умножения выражено в старинной «Арифметике» Магницкого.
«…Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел — хотя бы даже двузначных — если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения». В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких — надо сознаться, чуждых для современного слуха — стихах:
Аще кто не твердит
таблицы и гордит,
Не может познати
числом что множати
И во всей науки,несвобод от муки,
Колико не учиттуне ся удручит
И в пользу не будет аще ю забудет.
Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими с глубокой древности.
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Вот пример, необходимо умножить 32×13. Для этого первый множитель будем делить на 2, а второй множитель умножать на 2:
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:
И всё бы в этом объяснении было здорово, если бы оно было исчерпывающим. Но, достаточно взять пару других примеров, с другими числами (см. Табл 2.), как будет нетрудно увидеть недостаточность описания и объяснений действия упомянутого алгоритма русского умножения.
В частности, если какое-либо из чисел будет нечётным…
Если нечётным будет только один из множителей, то делить необходимо чётный множитель, а умножать нечётный. Предположим, нам необходимо умножить 16 на 75. (Табл.2) Делим первый множитель на 2, а второй умножаем на 2, пока первый множитель не станет равным 1.
Если же оба множителя – нечётные числа, то один из них представляют в виде суммы ближайшего чётного и единицы и производят те же самые операции, а затем добавляется остаток.
Т.е. если в нашем примере вместо 16 взять 17, то 17 = 16 + 1, что даст (16*75) + (1*75) = 1200 + 75 = 1275. Вся эта нехитрая, но довольно изящная арифметика была представлена вот на таком плакате (Рис.1):
Источник
