Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Геометрический (графический) метод сложения сил, приложенных в одной точке

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке.

Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости, и пространственную систему сходящихся сил, когда ли­нии действия сил лежат в разных плоскостях.

На основании следствия из третьей аксиомы, силу можно переносить по линии ее действия. Поэтому сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку, а именно, в точку пересечения их линий действия.

Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил. На рис. а приведена такая система сил, линии действия которых пересекаются в точке К.

Пользуясь указанным следствием из третьей аксиомы, перенесем все силы в точку К. Такой перенос необходим для графического определения равнодействующей заданной системы сил.

Выполнив этот перенос, получим четыре силы Р₁ , Р₂ , Р₃ и Р₄ , приложенные в точке К. Для определения их равнодействующей сложим последовательно все дан­ные силы, используя правило треугольника (рис.б).

Сложим сначала две силы Р₁ и Р₂. Из произвольной точки О проведем, сохраняя масштаб и направление, силу Р₁. Из конца силы Р₁ проведем вторую силу Р₂. Соединив точку О с концом силы Р₂, получим силу R₁, равную сумме сил Р₁ и Р₂,

Из конца силы R₁ проведем третью силу Р₃. Соединив точку О с концом силы Р₃, получим силу R₂, равную сумме сил Р₃ и R₁. Но R₁ = Р₁ + Р₂, откуда

R₂ = Р₁ + Р₂ + Р₃

Из конца силы R₂ проведем четвертую, последнюю силу Р₄. Соединив точку О с концом вектора силы Р₄, получим силу R, равную сумме сил R₂ и Р₄, т. е.

R = R₂ +Р₄ = Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄= ΣР_i

Промежуточные векторы R₁ и R₂ можно не строить, а последовательно, в указанном выше порядке одну за другой отложить все заданные силы и начало первой соединить с концом последней.

Полученная таким образом фигура OABCD (см. рис.б) называется силовым многоугольником. Замы­кающая сторона этого многоугольника представляет со­бой равнодействующую R заданной системы сил, равную их геометрической сумме.

Необходимо обратить внима­ние на то, что равнодействующая сила R всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего слагаемого. Иными словами, стрелка равнодействующей силы всегда направлена навстречу обходу многоугольника, соответствующему последовательному сложению задан­ных сил (см. рис. б).

Сложение данных сил можно выполнить также, поль­зуясь правилом параллелограмма, но такой способ свя­зан с более громоздкими построениями.

Если при построении силового многоугольника конец последней слагаемой силы совместится с началом первой, равнодействующая R системы сходящихся сил окажется равной нулю. В этом случае система сходящихся сил будет находиться в равновесии.

Замкнутость силового многоугольника данной системы сходящихся сил является геометрическим условием ее равновесия. Таким образом, для уравновешенной системы сходящихся сил вектор равнодействующей обращается в точку.

Иными словами, геометрическое (графическое) условие равновесия системы сходящихся сил — силовой многоугольник должен быть замкнут.

Источник

Сумма векторов: графический метод, примеры, решенные упражнения.

Содержание:

В векторная сумма это операция сложения между векторами, которая приводит к другому вектору. Векторы характеризуются величиной, а также направлением и смыслом. Следовательно, в общем случае невозможно сложить их, как это было бы со скалярными величинами, то есть путем сложения чисел.

Вектор, полученный из суммы нескольких векторов, называется результирующий вектор. В механике говорят о Равнодействующая сила, которая представляет собой векторную сумму всех сил, действующих на тело. Эта равнодействующая эквивалентна множеству или системе сил.

Чтобы полностью указать вектор суммы, необходимо указать величину и единицу, направление и смысл.

Важно отметить, что при сложении векторов они должны представлять одну и ту же физическую величину, поэтому векторная сумма является однородной операцией. Это означает, что мы можем добавлять одну силу к другой, но не силу со смещением, поскольку результат не имеет смысла.

Для нахождения результирующего вектора доступны несколько методов: графический и аналитический. Чтобы найти векторные суммы с помощью графических методов, мы начнем с простого представления вектора, а именно с ориентированного сегмента или стрелки, подобного этому:

Векторы обозначаются жирными буквами в печатном тексте или стрелкой над буквой, чтобы отличать их от соответствующих величин или скалярных величин. Например, величина вектора vЭто просто v.

Графический метод сложения векторов

Чтобы добавить более двух копланарных векторов, полигональный метод или метод траверса, который состоит из трансляции себя параллельно каждому из векторов слагаемых. Характерной чертой векторов является то, что они инвариантны относительно сдвига, поэтому мы будем использовать это свойство для определения суммы.

Мы начинаем с любого из векторов, так как сложение векторов коммутативно и порядок слагаемых не влияет на сумму. Затем переводится второй вектор, сопоставляя его начало с концом первого.

Затем он переносится к следующему вектору и помещается следующим, следуя той же процедуре, которая заключается в совпадении начала координат с концом предыдущего. Продолжайте таким образом, пока не будет установлен последний вектор.

Результирующий вектор — это тот, который соединяет начало первого со свободным концом последнего. Название этого метода происходит от получившегося рисунка: многоугольник.

пример

Возьмем для примера сумму двух векторов или Y v показано на рисунке выше.

Начиная с вектора или, переехал в вектор v чтобы его начало совпадало с концом первого. Результирующий вектор ш взят из происхождения или до конца v, образуя трехстороннюю фигуру: треугольник. Поэтому в этом частном случае процедура называется метод треугольника.

Обратите внимание на важную деталь: величина или модуль результирующего вектора не является суммой модулей добавленных векторов. Фактически, это почти всегда меньше, если векторы не параллельны.

Посмотрим, что происходит в этом случае ниже.

Частный случай: сумма параллельных векторов

Описанный метод применим и к частному случаю, когда векторы параллельны. Рассмотрим следующий пример:

Оставлено вектору v в исходном положении и переводится в вектор или таким образом, что его происхождение совпадает с концом v. Теперь нарисован вектор, начиная с начала координат v и заканчивает конец или.

Это результирующий вектор ш а его размер — это сумма размеров слагаемых. Направление и смысл трех векторов одинаковы.

Результирующий вектор имеет максимальный модуль, если слагаемые образуют угол 0º друг с другом, как в примере. Если векторы расположены под углом 180º друг к другу, то результирующий вектор имеет минимальный модуль.

Примеры сложения векторов

— Смещения

Велосипедист проезжает сначала 3 км в северном направлении, а затем 4 км на запад. Ваше перемещение, которое мы называем р, легко найти с помощью метода треугольника плюс система отсчета, где отмечены стороны света:

Шаги к векторному сложению

— Начальная точка совпадает с началом системы отсчета.

-По осям координат выбран масштаб, который в данном случае составляет 1 см = 1 км.

-Первое смещение нарисовано в масштабе d_1.

-Следующий d₁ второе смещение нарисовано d₂, также в масштабе.

-В результате смещения р — вектор, идущий от начала до конца d₂.

-Размерр измеряется градуированной линейкой, легко проверить, что R = 5.

-Наконец, угол, который р форма по горизонтали измерена с помощью транспортира и составляет θ = 37 0

— Результирующая скорость

Пловец хочет пересечь реку и для этого плывет со скоростью 6 км / ч перпендикулярно берегу, но его отклоняет течение со скоростью 4 км / ч.

Чтобы узнать его итоговую скорость, добавляются векторы скорости пловца, изображенного вертикально, и вектора скорости, отображаемого горизонтально.

Графическим методом получается результирующая скорость. v_р:

Отклонение, которое испытывает пловец, можно рассчитать следующим образом:

θ = arctg (4/6) = 33,7º вправо от начального направления

Величина его скорости увеличивается благодаря тому, что скорость реки складывается векторно. Его можно найти, аккуратно установив масштаб, как в примере выше.

Или с помощью тригонометрических соотношений 33,7º:

грех 33,7º = 4 / v_р

v_р = 4 / sin 33,7º = 7,21 км / ч

Упражнение решено

На частицу действуют следующие силы, величины которых указаны ниже:

Найдите равнодействующую силу.

Решение

Мы можем складывать графически, начиная с любого из векторов, поскольку векторная сумма коммутативна.

На рисунке A мы начали с F₁. Устанавливая масштаб, с помощью линейки и квадрата переносятся другие векторы, чтобы расположить их один за другим.

Вектор F_р направлено от происхождения F₁ до конца F₄. Его величина составляет 5,2 Н, и он образует угол 26,5 ° по отношению к горизонту.

На рисунке B была решена та же проблема, начиная с F₃ и заканчивая F₄, чтобы сравнятьсяF_р .

Многоугольники разные, но результат тот же. Читатель может провести тест, снова изменив порядок векторов.

Источник