Исследовательская работа Графический метод решения текстовых задач
«Графический метод решения текстовых задач»
Киреева Людмила Александровна
учитель математики первой категории МБОУ
«Лицей №6 г. Горно-Алтайска»
Известно, что некоторые задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает их решение.
В данной работе представлен графический метод решения задач, который основан на наглядно-геометрических интерпретациях, связанных с построением графического образа задачи на координатной плоскости. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Из-за сложности, нестандартности графический метод решения задач в школьном курсе математики не изучается.
Проблема: Появились совершенно новые типы задач, не входящие в действующие школьные учебники, при решении которых необходимо практическое применение свойств, которые раньше заучивались лишь теоретически.
Гипотеза: решение задач графическим методом является наглядным представлением условий в виде рисунка или чертежа, что помогает глубже понять условие задачи, делает его более наглядным, значительно упрощает решение.
Предмет исследования: графический метод решения задач
Цель: изучить графический метод решения задач, а также области его применения.
Изучить историю применения графического метода для решения задач различных видов.
Рассмотреть различные типы задач, методом решения которых может являться график.
Выявить плюсы и минусы этого метода, в сравнении с другими способами решения задач.
Выяснить области применения графического метода решения задач.
Глава 1. История применения графического метода для решения задач
Древние греки в 6–4 вв. до н.э. решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.
Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Величайшим математическим физиком древности был Архимед. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения.
Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до 17 века. И даже в 18 веке, когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».
Глава 2. Основные приемы решения задач с помощью графического метода.
Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую удобный технический прием.
Задачи на движение
Задачи на совместную работу
Задачи на смеси и сплавы
Задачи с параметрами
Решение, как известно, осуществляется двумя приемами: либо точными построениями при помощи инструментов (конструктивный прием), либо обоснованными вычислениями (вычислительный прием):
Конструктивный приём (чисто графический). График вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой на миллиметровой бумаге. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.
Вычислительный прием (графико – вычислительный). График применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. Решение задачи осуществляется на точных геометрических соотношениях.
Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:
Построение графической модели задачи.
Решение получившейся графической задачи.
Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.
Глава 3. Задачи на движение
Немаловажное значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы: по количеству движущихся объектов, по направлению движущихся объектов, по времени начала движения.
Задача 1 см. в Приложении 1
Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода.
Построим график зависимости пройденного пешеходом и велосипедистом пути от времени (Рис.1). Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени x, w(x) — зависимость пройденного велосипедистом пути от времени x (Полное решение см. в Приложении 2).
Глава 4. Задачи на работу
В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности.
Задачу 3 и ее решение смотрите в Приложении 3.
Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то всё задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всё задание?
Предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй. Отрезок AN – график работы первого рабочего, а отрезок BD – график работы второго рабочего (Рис. 2 смотрите в Приложении 4).
AQ изображает время совместной работы; AQ=12 ч. Проведем NKǁBD, тогда AK=50, QK=38
x 1 =18 не подходит, т.к. первый рабочий работает быстрее. Тогда время первого 12 + 8 = 20 дней, а второго 38 8=30 дн.
Ответ: первый за 20 дней, а второй за 30 дней.
Глава 5. Задачи на смеси и сплавы
Задачи на смеси и сплавы считаются сложными.
Задачу 5 и ее решение смотрите в Приложении 5.
В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.
Отрезок прямой (основание графика) представляет собой общую массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости. (Рис. 3)
Глава 6. Задачи с параметром
Изучение многих физических процессов, химических, экономических и многих других закономерностей имеют практическую направленность и часто приводят к решению задач с параметрами, которые бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Аналитические (алгебраические) методы решения задач с параметрами довольно громоздки, требуют аккуратности выкладок, умения не «потерять решение», проверить всевозможные значения параметра.
В современной жизни решение уравнений с параметрами является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе.
Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?
Перепишем уравнение в виде . Решим его в системе координат ( Оху ). Для этого построим графики функций и . (Рис. 4)
Ответ: Если , то уравнение имеет два корня; если , то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.
Задача 8 и ее решение в Приложении 6.
Одно из преимуществ графического метода перед алгебраическим, состоит в наглядности решения, что позволяет лучше понять задачу. Использование этого метода упрощает решение задач: нет громоздких вычислений. График дает возможность определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно. Есть и «минусы»: иногда получаются приближённые значения в случаях неудачного масштаба или очень трудно вообще отыскать решение.
Современная наука и техника очень широко использует графики. График – международный язык техники.
Кроме того, в ходе освоения графического метода решения текстовых задач формируются практические навыки. Графический метод решения таких задач позволяет провести параллель с физикой, где использование системы координат достаточно часто применяется при решении физических задач. Также графический метод позволяет решать некоторые задачи из химии, например, рассмотренные нами задачи на смеси и сплавы.
Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач. В процессе работы над данной темой, выяснилось, что при решении текстовых задач наряду с традиционными методами, можно использовать и графический метод. Были изучены материалы учебно-методической литературы. Решены задачи из экзаменационных материалов разными способами.
Гипотеза подтвердилась частично. Графический метод упрощает решение задач. Но есть и минусы, о которых было сказано выше. Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи этой функции с реальными ситуациями, возникающими в нашей жизни. Есть планы продолжить исследование в этом направлении и более детально рассмотреть графико-геометрический метод, который основан на подобии треугольников.
Быков А.А. Сборник задач по математике. – М.:Изд..дом ГУ ВШЭ,2008
Генкель Г.З. «Геометрические решения негеометрических задач», — Москва: Просвещение 2007.
Кочагин В.В. ОГЭ 2018. Математика: тематические тренировочные задания: 9 класс. – Москва: Эксмо, 2017. – 192 с.
Лысенко Ф.Ф. Учимся решать задачи с параметром. Ростов-на-Дону:
Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом //Математика в школе: М.: Изд. «Школа-Пресс»,1996.-№4.- с.34-39.
Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: ШколаПресс,1996.
Пирютко О. Н. «Графический метод решения текстовых задач» — Минск.: Новое знание,2010
Рудин В.Н., Рудина Е.И. Графическое решение текстовых задач. Учебное пособие по математике для учителей и учащихся. Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995 г.
Савин А. П. Занимательные математические задачи. – М.: АСТ, 1995.
Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. Учебное пособие. – М.: Бином, 2004.
Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?
За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины, тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения (Рис. 5). По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км.
Полное решение задачи 2.
Обозначим BC через x . Тогда NK = OB = 5/6 ч, CD = 4 ч, KT = x , KL = x + 4.
MBC
MKN – по двум углам: 
MBC = MKN = 90°, KMN = BMC – как вертикальные.
Из подобия следует:
MLK
MBO – по двум углам: KLM = MOB – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, MBO = MKL = 90°. Из подобия следует:
Из равенств (1) и (2) получаем:
Так как OD = ( x + 5/6 + 4) – время прохождения пути пешеходом, то он проделал его за 5 часов.
Источник
«Графический способ решения текстовых задач»
учителя математики МБОУ Лицей №15
Терехиной Татьяны Николаевны.
« Графическое решение текстовых задач, как один из способов мотивации школьников к обучению математики»
Все люди, взрослые и дети, условно делятся на две большие группы. К одной группе относятся люди с ведущим правополушарным типом восприятия, а к другой группе – люди с ведущим левополушарным типом восприятия.
Психологи указывают на то, что у большинства девочек к 5 годам больше развито правое полушарие, а у мальчиков до 7-8 лет равно развиты оба полушария. К 10-летнему возрасту у учащихся преимущественно активизировано правое полушарие, ответственное за целостное восприятие, что способствует развитию творческого потенциала, перенесением акцента на невербальное обучение.
Правополушарным свойственно целостное, нерасчлененное восприятие.
Левополушарные же, наоборот, расчленяют целое на составные части.
Задача родителей и педагогов — способствовать гармоничному развитию детей. Для этого необходимо развивать не только имеющиеся у них от природы способности, но и подбирать игры и задания, способствующие проявлению активности обеих частей головного мозга — и правой, и левой.
Для формирования мотивации к учебной деятельности у левополушарных учащихся необходимо делать упор на познавательные мотивы. Их привлекает сам процесс усвоения знаний. Им свойственна высокая потребность в постоянной умственной деятельности. Социальным мотивом является возможность продолжения образования. Занятия школьными науками рассматриваются как средство для развития мышления. Выражена потребность в самосовершенствовании ума и волевых качеств.
Для правополушарных учащихся необходимо делать упор на социальную значимость того или иного вида деятельности, так как у них высоко выражена потребность в самореализации. Мотивы, побуждающие изучать школьные предметы, связаны со становлением личности, со стремлением к самопознанию, с желанием разобраться во взаимоотношениях людей, осознать свое положение в мире. Для них характерна ориентация на высокую оценку и похвалу. Большой интерес у правополушарных школьников вызывает эстетическая сторона предметов.
Одной из важнейших целей проведения занятий по математике является пробуждение и развитие интереса учащихся к данному предмету. Это несомненно повлияет на успеваемость учащихся по математике. Ведь мы знаем, что по отношению к математике всегда имеются некоторые категории учащихся:
-проявляющие повышенный интерес к ней;
-занимающиеся ею по мере необходимости;
— ученики, считающие математику скучным, сухим и вообще не любимым предметом.
Одна из основных причин сравнительно плохой успеваемости по математике – слабый интерес к предмету. А формировать соответствующий интерес необходимо еще в юном возрасте. На это и направлена кружковая работа по математике.
Я хочу вам предложить рассмотреть несколько текстовых задач, решаемых графически, которые можно рассматривать с учащимися на занятиях кружка.
1. Примеры решения задач графическим способом
По городскому скверу, длина которого 500 м, одновременно начали прогуливаться два пожилых человека. Один прогуливается со скоростью 50 м/м, а другой доходит до конца аллеи за 6 мин и с той же скоростью возвращается назад. 
Определить, сколько раз эти два пожилых человека встретятся в течение 25 минут?
500
0 6 10 12 18 20 24 30
Так как скорость первого 50 м /мин, то до конца сквера он доходит за 10 минут. Можно построить графики движения этих пожилых людей. По чертежу сразу видно, что графики пересекутся в трёх точках, значит пожилые люди встретятся 3 раза.
Расстояние между городами Новокузнецк и Киселёвска составляет примерно 60 км. Одновременно из этих городов, навстречу друг другу, выехали два автобуса. Первый автобус затратил на свой путь 1 час и 30 мин, а второй 1 час и 12 мин. На каком расстоянии от Киселёвска и через какое время с момента начала движения, автобусы встретятся.
Изобразим на чертеже графики движения автобусов между двумя городами. Так как автобусы выходят одновременно, но из различных точек, то и графики движения автобусов также будут выходить из различных точек, одна — из начала координат, другая — из точки, соответствующей 60 км на оси О S . По оси ot отложим время движения этих автобусов.
s
60 N D
Графики движения автобусов пересеклись в одной точке, координаты этой точки соответствуют времени движения автобусов до встречи и расстоянию, которое автобусы проехали до места встречи.
Составим систему уравнений, используя подобие треугольников
ND:MC=NK:KM, 72:x=60:y, y=5/6x
Ответ: Расстояние от Киселёвска до места встречи автобусов равно 100/3 км; Автобусы встретились через 40 минут после начала движения.
Ученик, который живёт от школы на расстоянии 800 м, идёт в школу со скоростью 80 м/ мин. Догонит ли он ученика, который вышел одновременно с ним, живёт ближе к школе на 100 м. и время его движения до школы — 12 мин. и на каком расстоянии от школы?
Изобразим графики движения этих учеников. Так как они вышли одновременно, но из разных точек, то и графики движения этих учеников будут выходить из различных точек: один — из начала координат, другой — из точки, соответствующей 100 м на оси О s .
800 s
400
0 10 12 t
Графики движения этих учеников пересеклись, значит, первый ученик догнал второго. По данному графику можно найти и сколько времени прошло от начала движения до встречи, и на каком расстоянии от школы они встретятся. Они встретятся на расстоянии 400 м от школы.
Ответ: догонит на расстоянии 400 м от школы.
Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?
Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке.
Обозначим за х искомое расстояние N К. По чертежу видно, что MK = 1ч, AP = 2ч, AL = 2,5 ч. Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:
x = 4: 5 ч = 48 м 
В М N К
2. Дидактический материал по теме «Решение текстовых задач на движение графическим способом»
А) Решите задачи графическим способом
1. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если рассто яние между А и В равно 30 км?
2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, вышли одновременно в одном направлении два туриста. Скорость первого туриста 4 км/ч, а скорость идущего за ним следом – 6 км/ч. Через какое время второй турист догонит первого?
3. Два пешехода одновременно вышли в проти воположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое рас стояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от дру га?
4. (Старинная задача.) Некий юноша пошел Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
5. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встре чи? Есть ли в задаче лишнее условие?
6.Расстояние между городами А и В равно 720 км . Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч . Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встре тятся?
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Источник
