- Системы линейных уравнений (7 класс)
- Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
- Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
- Как решить систему линейных уравнений?
- Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными 7 класс
- Графический метод
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
- Пример 4
- Пример 5
- Видео YouTube
- Презентация «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными» 7 класс
- Урок – исследование по алгебре в 7 классе «Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (разработка+презентация) план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
Системы линейных уравнений (7 класс)
Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin
А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)
Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).
Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:
И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее
Способ алгебраического сложения.
Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begin
Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).
\(\begin
Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.
Найдите неизвестное из полученного уравнения.
Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).
Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Приводим систему к виду \(\begin
«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).
Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).
Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.
Икс тоже найден. Пишем ответ.
Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).
Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .
Ответ: \((4;2)\)
Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin
Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.
Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
Источник
Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными 7 класс
Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.
Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:
Графический метод
Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.
Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.
Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.
Пример 1
Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):
Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:
1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);
Разберем это задание на примере.
Решить графически систему линейных уравнений.
Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.
Пример 2
Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:
а) иметь единственное решение;
б) не иметь решений;
в) иметь бесконечное множество решений.
2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.
Пример 3
Графическое решение системы 
Пример 4
Решить графическим способом систему уравнений.
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.
Пример 5
Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.
Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).
Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).
ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.
Видео YouTube
Источник
Презентация «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными» 7 класс
Код для использования на сайте:
Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт
Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях
После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.
Подписи к слайдам:
‘Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными’
Пластун Наталья Анатольевна
Свои крепости лишь
Сильным и смелым
Цель урока: Научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом. Рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений. Что называют системой уравнений? Рассмотрим два линейных уравнения: 1) y – 2x = – 3 2) x + y = 3
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.
Источник
Урок – исследование по алгебре в 7 классе «Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (разработка+презентация)
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему
Предмет: алгебра.
Класс: 7.
Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными».
Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием презентации и практической работы по графическому решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
Форма: урок-исследование
Цель урока: приобретение учащимися функционального навыка исследования как универсального способа получения новых прочных знаний, развитие способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе.
Задачи:
предметные: познакомить учащихся с понятиями: система двух линейных уравнений с двумя переменными, решение системы двух уравнений; рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений (система не имеет решений – несовместна, имеет бесконечное множество решений — неопределенна); научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом; продолжить формирование графических навыков.
личностные: воспитание ответственного отношения к учению; воспитание аккуратности, трудолюбия; воспитание культуры общения.
метапредметные: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; приводить примеры, формировать умения работы с графиками.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| razrabotka_uroka.docx | 23.17 КБ |
| презентация к уроку | 2.11 МБ |
| раздаточный материал | 149 КБ |
| рефлексия | 34 КБ |
Предварительный просмотр:
МОУ – СОШ с. Ямское
Краснокутского района Саратовской области
по алгебре в 7 классе
«Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными»
Учитель математики первой категории
МОУ –СОШ с. Ямское
Цель урока : разработка учебного дидактического материала по теме: « Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными »
Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными».
Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием презентации и практической работы по графическому решению систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
Цель урока : приобретение учащимися функционального навыка исследования как универсального способа получения новых прочных знаний, развитие способности к исследовательскому типу мышления, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе.
предметные: познакомить учащихся с понятиями: система двух линейных уравнений с двумя переменными, решение системы двух уравнений; рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений (система не имеет решений – несовместна, имеет бесконечное множество решений — неопределенна); научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом; продолжить формирование графических навыков.
личностные: воспитание ответственного отношения к учению ; воспитание аккуратности, трудолюбия; воспитание культуры общения .
метапредметные: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; приводить примеры, формировать умения работы с графиками.
В конце урока обучающиеся должны:
- графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными ;
- решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим методом .
Приветствие.
Отметить отсутствующих.
Проверка подготовки учащихся к уроку.
Создание доброжелательной атмосферы в классе. Проверяют готовность рабочего места.
Слайд 1. Слайд 2.
Постановка цели и задач
Сообщение темы, обучающих целей и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся.
Повторение ранее изученного материала
Организация фронтального опроса. Формулы на доске: у = 3х – 5,
у = 
х + 4,8.
Назовите угловые коэффициенты линейных функций.
Что является графиком линейной функции? Какие прямые образуют с осью Х острый угол? Тупой угол? От чего это зависит? Назовите координаты точки
пересечения первой прямой с осью У.
Найдите значение второй функции в точке с абсциссой 6.
Отвечают на поставленные вопросы (с места, фронтально). Оформляют суждения, отвечают на наводящие вопросы.
Изучение нового материала
Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений с двумя переменными и её графическим решением.
Научиться графически решать системы, состоящие из двух линейных уравнений с двумя переменными.
Научиться, по виду графиков, определять имеет ли система единственное решение, или она не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений
В ходе фронтальной работы оформляют суждения. Понимают проблему урока. Отвечают на вопросы. Вспоминают способы решению систем уравнений. Запоминают алгоритм решения системы уравнений графическим способом.
Слайд 5. Слайд 6. Слайд 7. Слайд 8. Слайд 9.
Первичное закрепление изученного материала.
Решение системы графическим способом. Все объекты на слайде появляются последовательно по щелчку в ходе фронтального обсуждения хода построения графиков. Все объекты на слайде появляются последовательно по щелчку в ходе фронтального обсуждения хода построения графиков. Цель – подвести учащихся к самостоятельному выводу о том, что система не имеет решений.
Осваивают графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Все объекты слайда последовательно появляются после ответов учащихся и иллюстрируют их.
Актуализа-ция знаний. Закрепление изученного (групповая работа)
объяснительный; демонстрация графиков
Рассматриваются частные случаи решения систем: когда система не имеет решений (несовместна); когда система имеет бесконечное множество решений (неопределенна).
Все объекты слайда последовательно появляются после ответов учащихся и иллюстрируют их.
Слушают новый материала в сочетании с индивидуальной работой учащихся в тетрадях,
в ходе выполнения задания по частным случаям решения систем в тетрадях.
Слайд 11. Слайд 12. Слайд 13. Слайд 14.
Предлагает учащимся отдохнуть, расслабиться.
Зарядка для глаз. Наблюдают за точкой двигающей на экране.
Работа с памяткой (групповая работа)
Работа с памяткой, которая есть у каждого ученика на парте. Фронтальная работа с классом.
Учащиеся слушают, задают вопросы по необходимости
Слайд 16. Слайд 17. (Слайд 21 — если остаётся время)
Выполнение графических построений для каждого случая с последующей самопроверкой
Учащиеся выполняют работу в тетрадях и после решения задания большинством учащихся на экран выводится решение для проведения самоконтроля.
Слайд 18 Слайд 19 Слайд 20
Подведение результатов урока.
После выполнения работы и самопроверки перед учащимися ставится вопрос:
« Что нового вы узнали сегодня на уроке?»
Учитель подводит итоги работы учащихся и ставит оценки за работу на уроке.
обсуждают, что узнали и как работали – каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению, источники получения дополнительной информации.
Записывают домашнее задания, формируют понятия его выполнения.
На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:
- ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
- в середину сектора, если сомнения есть;
- ближе к окружности, если вопрос остался не понятым
Подходят к доске и делают отметку на предложенном рисунке.1.Научился ли я решать систему графическим методом;
2. понял ли я алгоритм решения систем линейных уравнений графическим методом;
3. смогу ли я использовать при решении частные случаи;
4. могу ли я по виду системы узнать о количестве решений системы.
- Учебник: «Алгебра. 7 класс» Мерзляк, Полонский, Якир. – М.:Вентана-Граф, 2017 г.
- Интернет ресурсы
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель Научить решать систему уравнений с двумя переменными графическим методом. Рассмотреть частные случаи решения системы линейных уравнений. Тип урока: урок –открытие нового знани я Форма урока: урок-исследование
Какую тему мы сейчас с вами изучаем? Каким способом вы научились решать системы линейных уравнений? Необходимо ли было строить графики этих функций, чтобы решить СЛУ? А сегодня мы будем строить графики линейных функций, каким же способом мы будем решать СЛУ?
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными разработала учитель математики Гладченко М.А. МОУ-СОШ с. Ямское 7 класс 2018 г.
Давайте вспомним: 1. у = 3 х – 5 2. у = –0,5 х + 7 3. у = х + 4,8 Назовите угловые коэффициенты линейных функций. Что является графиком линейной функции? Какие прямые образуют с осью Х острый угол? Тупой угол? От чего это зависит? Назовите координаты точки пересечения первой прямой с осью У . Найдите значение второй функции в точке с абсциссой 6.
1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3 Рассмотрим два линейных уравнения: Что называют системой уравнений? Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. y – 2 x = – 3 x + y = 3
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.
Способы решения систем уравнений
Алгоритм решения системы уравнений графическим способом 1. Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m. 2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции. 3. Строим графики функций в одной координатной плоскости. 4. Определяем число решений: Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения; Если прямые параллельны, то нет решений; Если прямые совпадают, то бесконечно много решений. 5. Записываем ответ.
1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y y=10 — x y=x+2 у – х = 2, у + х = 10; у = х + 2, у = 10 – х ; Построим график первого уравнения х у 0 2 -2 0 у = х + 2 Построим график второго уравнения у = 10 – х х у 0 10 10 0 Ответ: (4; 6) Решение системы графическим способом Выразим у через х
Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3 у = 3 – x у = 2x – 3 x y 0 3 x y 0 3 3 0 – 3 3 A(0;3) B(3;0) C(0; – 3) D(3;3) M(2;1) X=2 у =1 Ответ: (2; 1)
Y=0,5x-1 Y=0,5x+2 x x y y 0 2 2 3 0 -1 2 0 A(0;2) B(2;3) C(0;-1) D(2;0) Решим систему уравнений : Y= 0 ,5 x+2 Y= 0,5x-1 Графики функций параллельны и не пересекаются. Говорят, что система несовместна. Ответ: Система не имеет решений.
Y=x+3 Y=x + 3 x y 0 — 3 x y 1 -1 3 0 4 2 A(0;3) B( — 3;0) C( -1 ; 2 ) D( 1 ; 4 ) Система Y=x+3 Y=x+3 Графики функций совпадают. Говорят, что система неопределенна Ответ: система имеет бесконечное множество решений
Если система уравнений не имеет решений, то она называется несовместной. Если система уравнений имеет бесконечно много решений, то она называется неопределённой. Достоинство графического способа – наглядность. Недостаток графического способа– приближённые значения переменных.
Проверим, что у нас получилось !
Зарядка для глаз
Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)
Решите систему уравнений графическим способом (памятка) Х 0 2 У у = 3 х + 4 у = 3 х — 2 х 0 -2 у у = 3 х — 2 у = 3 х + 4
1 группа Решите систему уравнений графическим способом у = 2 х — 3 у = — х + 3 2 группа у = 0,5 х + 1 у = 3 х — 4 Самостоятельная работа
Проверим, что у нас получилось ! вывод: 1) угловые коэффициенты не равны , 2) прямые пересекаются. у х х у . . . . А(2;1) . . . . . . В(2;2) У = 2х — 3 У = — х + 3 У = 0,5 х + 1 У = 3 х — 4 Ответ: А ( 2; 1) Ответ: В ( 2; 2)
Найдём координаты точек пересечения графиков 2х – 3 = — х + 3, 2х + х = 3 + 3, 3х = 6, х = 2, у = 2 • 2 — 3, у = 1. Ответ: А ( 2; 1). 3х – 4 = 0,5х + 1, 3х – 0,5х = 1 + 4, 2,5х = 5, х = 2, у = 3 • 2 – 4, у = 2. Ответ: В ( 2; 2).
Решите систему уравнений графическим способом х 0 3 у У = — 3х + 6 у = 2х — 4 х 0 1 у у = 2х — 4 у = — 3х + 6
Домашнее задание: § 26, № 1011, 1017, 1024 (доп.)
3 4 1 2 Методика «Мухомор» Научился ли я решать систему графическим методом; понял ли я алгоритм решения систем линейных уравнений графическим методом; смогу ли я использовать при решении частные случаи; могу ли я по виду системы узнать о количестве решений системы.
С п а с и б о за у р о к Б ы л о п р и я т н о с В а м и р а б о т а т ь!
Источник
