Методика решения логарифмических уравнений
Разделы: Математика
Введение
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.
При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.
История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.
Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:
(1)
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение 
равносильно системе
(2)
Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение
(3)
и его решения подставить в систему неравенств
(4),
задающую область определения уравнения (1).
Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).
При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.
Пример 1: Решить уравнение 
Оба значения х удовлетворяют условиям системы.
Ответ: 
Рассмотрим уравнения вида:
(5)
Их решение основано на следующей теореме
Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе
(6)
Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения 
, которые
принадлежат области определения, задаваемой условиями 
.
Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).
Пример 2: Решить уравнение 
Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:
Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ: 
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА 
.
Пример 3: Найти х, если 
Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3
3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.
Пример 4: Решить уравнение 
Оба значения х являются корнями уравнения.
Ответ: 
Пример 5: Решить уравнение 
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».
Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.
Ответ: х = 0,1; х = 100
5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Пример 6: Решить уравнение 
Воспользуемся формулой 
и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:
Тогда данное уравнение примет вид:
Так как 
, то это корень уравнения.
Ответ: х = 16
6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.
Пусть 
; тогда 
Учитывая, что 
После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.
Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.
Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.
Пример 7: Решить уравнение 
Решение: Построим графики функций 
и y = x
Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).
Ответ: корней нет
Пример 8: Найти х, если 
Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.
Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,
истинно
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Эти корни следует искать во множестве значений х.
Допустимые значения х находятся в промежутке 
На этом промежутке функция 
убывает, а функция 
возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.
Источник
Методы решения логарифмических уравнений
Алгебра 11 класс
Тема: «Методы решения логарифмических уравнений»
образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас
I. Постановка цели урока
Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.
Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.
II. Актуализация опорных знаний
Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.
1) При каких значениях х имеет смысл функция:
(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)
2) Совпадают ли графики функций?
3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:
4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:
6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.
III. Ознакомление с новым материалом
Демонстрируется на экране высказывание:
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль
Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logа x = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.
Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что ав является таким решением.
Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений
1. По определению логарифма.
Так решаются простейшие уравнения вида .
Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение
Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)
Решение. , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.
В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.
2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).
Рассмотрим №519(г): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).
При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.
X2+8>0 лишнее неравенство
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
Потенцируем исходное уравнение
получим уравнение x2+8= 8x+8
Решаем его: x2-8x=0
В общем виде переходом к равносильной системе:
(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).
Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).
Вы имеете право решать любым способом.
3. Введение новой переменной.
Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)
Решение. ОДЗ: х > 0.
Пусть , тогда уравнение примет вид: . Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета: .
Вернемся к замене: или .
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
4. Логарифмирование обеих частей уравнения.
Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
. Применим свойство логарифма степени:
Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4
, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.
Вернемся к замене, получим: lgx = -4, ; lgx = 1, .
5. Приведение к одному основанию.
№ 523(в). Решите уравнение:
Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.
6. Функционально-графический метод.
№ 509(г). Решить графически уравнение: = 3 – x.
Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).
Посмотрите ваше решение на слайде.
Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.
Если корень имеется, то его можно угадать.
В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .
«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен
П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)
V. Подведение итогов урока
Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?
На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.
Демонстрируется последний слайд:
«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес
Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.
Источник
