Графический способ решения линейного уравнения с двумя переменными

Графический способ решения линейного уравнения с двумя переменными

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Источник

Тема : «Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными»

Описание презентации по отдельным слайдам:

‘Графический метод решения системы линейных уравнений с двумя переменными’

Что называют системой уравнений? Рассмотрим два линейных уравнения: 1) y – 2x = – 3 2) x + y = 3 Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно. y – 2x = – 3 x + y = 3

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или установить, что их нет. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

y=10 — x y=x+2 Построим график первого уравнения у = х + 2 Построим график второго уравнения у = 10 – х Ответ: (4; 6) Решение системы графическим способом Выразим у через х 1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y у – х = 2, у + х = 10; у = х + 2, у = 10 – х; х у 0 2 -2 0 х у 0 10 10 0

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом 1. Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m. 2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции. 3. Строим графики функций в одной координатной плоскости. 4. Определяем число решений: Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения; Если прямые параллельны, то нет решений; Если прямые совпадают, то бесконечно много решений. 5. Записываем ответ.

у = 3 – x у = 2x – 3 x y 0 3 x y 0 3 3 0 – 3 3 A(0;3) B(3;0) C(0; – 3) D(3;3) M(2;1) X=2 у =1 Ответ: (2; 1) Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2x = – 3

Y=0,5x-1 Y=0,5x+2 x x y y 0 2 2 3 0 -1 2 0 A(0;2) B(2;3) C(0;-1) D(2;0) Решим систему уравнений: Y= 0,5x+2 Y= 0,5x-1 Графики функций параллельны и не пересекаются. Ответ: Система не имеет решений.

Y=x+3 Y=x+3 x y 0 -3 x y 1 -1 3 0 4 2 A(0;3) B(-3;0) C(-1;2) D(1;4) Система Y=x+3 Y=x+3 Графики функций совпадают. Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Прямые Общие точки Система имеет О системе говорят Одна общая точка Одно решение Имеет решение Нет общих точек Не имеет решений несовместна Много общих точек Много решений неопределена

Частные случаи пересечения графиков линейных функций (памятка)

Графический способ решения систем уравнений 1) Решите систему уравнений: 1) 3х +2у = 7, у = -1,5х + 3,5 х у 1 2 3 -1 х у 1 2 1 3 3 2 4 1 2) 2х + 4у = 2, у = 0,5 – 0,5х х у 1 0 3 -1 Ответ: х = 3, у = -1.

Графический способ решения систем уравнений 2) Решите систему уравнений: 1) х – у = -1, у = х + 1 х у 0 1 2 3 х у 1 2 1 3 3 2 4 1 2) 2х + у = 4, у = 4 — 2х х у 0 4 2 0 Ответ: х = 1, у = 2.

Решите систему уравнений графическим способом 1 вариант 2 вариант у = 2х — 3 у = — х + 3 у = 0,5х + 1 у = 3х — 4

вывод: 1) угловые коэффициенты не равны, 2) прямые пересекаются. у х х у . . . . А(2;1) . . . . . . В(2;2) У = 2х — 3 У = — х + 3 У = 0,5 х + 1 У = 3 х — 4 Ответ: А ( 2; 1) Ответ: В ( 2; 2)

Домашнее задание: Читать §26 с.195-199.Системы уравнений с двумя переменными. Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными. Решить №1008, №1009, №1011

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1138718

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Алгебра. 9 класс

Вспомним основные понятия.

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или убедиться, что общих решений у исходных уравнений нет.

Чтобы решить систему уравнений графическим способом нужно построить графики уравнений, входящих в систему, на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Вспомним основные виды графиков.

y = kx + b, где k и b – некоторые числа

, где a, b, c и d – некоторые числа, с ≠ 0, ad – bc ≠ 0

, где n – некоторое чётное число

, где n – некоторое нечётное число

y = x n , где n – некоторое чётное число

y = x n , где n – некоторое нечётное число

Решим несколько задач.

Решите графическим способом систему уравнений

Приведём уравнения к виду, удобному для построения графиков.

Сначала первое уравнение:
x 2 + y 2 = 5 + 2x + 4y;
x 2 – 2x + 1 – 1 + y 2 – 4y + 4 – 4 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 – 5 = 5;
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 10.

Теперь второе уравнение:
2x = y – 5;
y = 2x + 5.

Теперь построим графики уравнений на одной координатной плоскости.

Используя чертёж найдем координаты точек пересечения графиков. Получим две точки: А(0; 5) и B(–2; 1).

Подставим найденные значения переменных, чтобы убедиться, что мы нашли точные, а не приближённые решения системы.

Определите, сколько решений может иметь система уравнений в зависимости от значений b

Графиком первого уравнения системы является парабола с вершиной в точке (0; –3).

Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом b.

Построим в одной системе координат график первого уравнения и возможные варианты графика второго уравнения, начиная с маленького радиуса окружности и постепенно его увеличивая.

Таким образом, в зависимости от значения b система может не иметь решений, может имеет 2, 3 или 4 решения.

Источник