Графический способ решения квадратных уравнений 8 класс макарычев

Графический способ решения уравнений — ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: использование графиков функций для решения или исследования уравнений.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

1. Катер прошел 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 3, а ее знаменатель уменьшить на 3, то полученная дробь будет на 11/18 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

1. Катер прошел 20 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а ее знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Во многих случаях для решения или исследования уравнений используют графики функций.

Решим уравнение х2 + 2 = 3/x.

В одной координатной плоскости построим графики функций у1 = х2 + 2 и у2 = 3/x. Видно, что эти графики пересекаются в единственной точке А (1; 3). Абсцисса точки пересечения А есть то значение переменной х, при котором значения функций у1 и у2 равны (или выражения х2 + 2 и 3/x принимают равные значения). Итак, данное уравнение х2 + 2 = 3/x имеет единственный корень х = 1.

Заметим, что для нахождения корня данного уравнения могут быть рассмотрены графики и других функций. Учтем, что в уравнении х2 + 2 = 3/x величина х ≠ 0. Умножим все члены уравнения на х и получим равносильное уравнение: х3 + 2х = 3 или х3 = 3 — 2х. Построим графики функций у1 = х3 и у2 = 3 — 2х. Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке А (1; 1). При х = 1 значения функций у1 и у2 равны (или выражения х3 и 3 — 2х принимают равные значения). Итак, х = 1 — единственный корень данного уравнения.

Рассмотренный способ решения уравнения называют графическим.

Графически решим уравнение х2 = |х — 1|.

В одной системе координат построим графики функций у1 = х2 и у2 = |х — 1|. Видно, что эти графики пересекаются в двух точках А и В. Приближенное значение абсцисс этих точек х1 ≈ -1,6 и х2 ≈ 0,6 соответственно. Заметим, что решив аналитически данное уравнение, получим

При различных значениях параметра а определите число корней уравнения х2 — |х| + а = 0.

Данное уравнение запишем в виде х2 + a = |х|. Построим график функций у1 = х2 + а и у2 = |х|. График функции у2 не зависит от параметра а. График функции у1 представляет собой параболу, вершина которой имеет координаты (0; а). С уменьшением параметра а парабола смещается вниз.

При достаточно больших значениях а графики у1 и у2 не имеют общих точек (случай а). Уравнение при этом решений не имеет. При уменьшении параметра а парабола спускается вниз и касается зависимости у2 в двух точках (случай б). Тогда уравнение имеет два корня. При дальнейшем уменьшении а парабола пересекает каждую ветвь графика у2 в двух точках (этот случай на рисунке не изображен). При этом уравнение имеет четыре корня. При а = 0 парабола расположена еще ниже и пересекает графику в трех точках (случай в). Тогда уравнение имеет три корня. При дальнейшем уменьшении а (т. е. при а 1/4 — нет корней.

IV. Задание на уроке

№ 622 (а); 624; 626; 627 (а); 628 (а).

V. Задание на дом

№ 622 (б); 623; 625; 627 (б); 629 (б); 629.

VI. Творческие задания

1. Графически решите уравнение;

а) х1 = -0,6 и х2 = 1,6.

б) х1 = -2 и х2 = 1; .

ж) х1 = -1 и х2 = 2;

з) х1 = -4 и х2 = 1; .

2. Определите число корней уравнения:

а) при а -3 — 1 корень;

б) при а 2 — 1 корень;

в) при а 2 — 2 корня;

г) при а 3 — 2 корня;

д) при а 1 — корней нет, при а = -1 или а = 1 — бесконечно много корней, при -1 3 — корней нет, при а = -3 или а = 3 — бесконечно много корней, при -3 -2 — 1 корень;

з) при а 2 — 3 корня.

VII. Подведение итогов урока

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2021 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Источник

Конспект урока математики в 8-м классе по теме «Решение квадратных уравнений графическим способом»

МБОУ Реченская ООШ

Конспект урока математики в 8-м классе

по теме «Решение квадратных

уравнений графическим способом»

Учитель математики и информатики

Сапарина Юлия Евгеньевна.

Конспект урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение квадратных

уравнений графическим способом «

Здесь будет файл: /data/edu/files/h1459785292.ppt (Решение квадратных уравнений графическим способом.)

Тип урока: Изучение нового материала.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

• Познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, закрепить навыки построения графиков функций.
• Развивать познавательный интерес учащихся, навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
• Воспитывать сознательное отношение к учебному труду, самостоятельность, прививать аккуратность при выполнении записей в тетрадях.

Цель этапа: сообщение темы и цели урока; подготовка к работе на уроке.

Актуализация опорных знаний.

Цель этапа: повторение основных фактов и свойств, проверка остаточных знаний в виде теста ЕГЭ.

Изучение нового материала.

Цель этапа: познакомить учащихся с ещё одним способом решения квадратных уравнений – графическим.

Закрепление изученного материала.

Цель этапа: закрепить навык решения квадратных уравнений графическим способом;

Практическая работа с использованием компьютеров.

Цель этапа: контроль над выполнением заданий.

Подведение итогов урока.

Цель этапа: беседа с учащимися, выяснение их отношения к уроку.

Цель этапа: постановка и разъяснение домашнего задания.

Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения квадратных уравнений – графическим, и научимся применять этод метод при решении заданий. Желаю вам сегодня на уроке удачи, точных расчетов и вычислений, новых открытий.

Актуализация опорных знаний.

А сейчас мы проверим ваши знания в виде теста ЕГЭ. Ответы на задания записываются в специальный бланк.

3. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х2 + х – 1 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде:

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х2 и g(x)=-х+1. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х2 и

Источник

Урок в 8 классе по теме Графическое решение квадратных уравнений

Тема: Графическое решение квадратных уравнений.

Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков, закрепить навыки построения графиков функций.

Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, карточки с заданиями.

Тип урока: урок формирования знаний.
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку .

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний (кроссворд), с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
3. Историческая справка.

4 . Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.
5. Закрепление изученного материала.
6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
9. Рефлексия.

I. Мотивационная беседа.

(слайд 1) “Математика” в переводе с греческого означает – знание, науку (в 1724 году был установлен день Российской науки, который отмечается 8 февраля). Если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому, мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои математические познания.

(слайд 2) Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.

Цель урока: познакомить вас с графическим способом решения квадратных уравнений.

II . Актуализация опорных знаний.

(слайд 3) Напомню, что сначала мы изучали квадратный трехчлен, затем ввели квадратичную функцию, строили ее график и описывали свойства, теперь настало время поближе познакомиться с квадратным уравнением.

III . Историческая справка. (слайд 4) Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще около 2000 лет до н.э. в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений

(слайд 5) Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

(слайд 6) Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком Михаэлем Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

( слайд 7) Задание. Какие из данных уравнений являются квадратными?

б) х 2 – 6 : х – 3 = 0;

в) х 3 + 4х + 1 = 0;

г) 6: х 2 +4х – 2 = 0;

е) 5 – 7х 2 + х = 0.

(Слайд 8) Для решения любых уравнений, в том числе и квадратных, есть два способа: аналитический и графический.

Аналитически решить квадратное уравнение, на сегодняшний день, можно известным нам методом разложения на множители, который включает в себя и выделение полного квадрата двучлена.

Учитель: Решите квадратное уравнение х 2 – 2х – 3 = 0 аналитически (вызываются к доске два ученика). Предлагается изменить условие а) х 2 – 2х + 5 = 0, то можно ли разложить на множители?

б) х 2 – 1,5х – 3 = 0 удобно ли выделять полный квадрат двучлена?

(слайд 9-10) Задание для остальных: разгадать кроссворд (работа в парах или группах).

По горизонтали. 1. Независимая переменная.

2. Зависимость переменной у от х , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у .

3. График линейной функции.

4. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

По вертикали. 5. Равенство, содержащее одну или несколько переменных.

6. График функции y = .

Источник

Конспект урока «Графический способ решения уравнений» Макарычев

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 16»

План урока алгебры в 8-в классе на тему:

«Графический способ решения уравнений»

Три пути у человека, чтобы поступать разумно: первый, самый благородный,- размышление, второй, самый лёгкий, — подражание, третий, самый горький, — опыт.

познакомить с графическим способом решения уравнений,

отработать умение узнавать графики основных функций по заданным формулам, схематично строить графики функций: квадратичной, кубической, обратной пропорциональности, линейной и квадратного корня,

учить размышлять, анализировать и делать выводы.

Постановка задачи (устная работа).

2х + 3=0, -х – 12=0 (линейные);

х² + 3х – 4=0, а² + а – 2=0, — 2х² + 5х – 3=0 (квадратные);

( х² — 8х + 7)/ (х – 1) = 0 (дробное рациональное);

Все эти уравнения мы умеем решать устно, применяя простейшие преобразования, известные нам секреты квадратных уравнений, проверку корней в дробных уравнениях и правило умножения на ноль.

Исключение составляет последнее.

Для этого необходимо построить графики функций

у = х 2 +2 и у = , после чего найдём абсциссу точки пересечения графиков это и будет решение уравнения .

Актуализация опорных знаний (самопроверка).

Установите соответствие между названием кривой и формулой, задающей функцию. (На экране появляется слайд с формулами и названиями кривых: прямая, парабола, гипербола, квадратный корень, кубическая парабола. Через некоторое время ученики сверяют свои ответы с экраном).

а) прямая; б) прямая; в) гипербола; г) парабола.

Изучение нового материала.

Решение уравнений графическим способом.

Вернёмся к нашему уравнению х 2 +2 =.

Графики этих функций пересекаются в точке (1; 3). Ответ: х = 1.

Решим уравнение х² = 0,5х + 3.

График левой части – парабола, правой – прямая, они пересекаются в двух точках, абсцисса одной из них находится абсолютно точно: х = 2, абсцисса другой – приблизительно х = — 1,4.

Мы столкнулись с одним из недостатков графического способа – п риблизительность решения.

Иногда графический – единственный способ найти решение, но в данном случае мы можем решить это уравнение аналитическим способом:

Закрепление изученного материала.

Графически решите уравнение:

( Ученики работают у доски и в тетрадях.)

Домашнее задание : № 611.

Компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационная доска.

Учитель: Яковлева Н.С.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 809 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 285 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 601 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-178354

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

Время чтения: 2 минуты

В Пензенской области запустят проект по снижению административной нагрузки на учителей

Время чтения: 1 минута

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник