Графический способ преобразования координат

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Высшая математика
6. Дискретная математика
7. Математический анализ
8. Математическая логика

Глава 2. Координаты и преобразования

2.1 Координатный метод

Координатный метод был введен в XVII веке французскими математиками Р. Декартом и П. Ферма. На этом методе основывается аналитическая геометрия, которую можно считать фундаментом КГ. В современной КГ координатный метод широко используется.

2.1.1. Преобразование координат

Сначала рассмотрим общие вопросы преобразования координат. Пусть задана п-мерная система координат в базисе (k₁, k₂. k_n), которая описывает положение точки в пространстве с помощью числовых значений к_i. В КГ наиболее часто используются двумерная (n = 2) и трехмерная (n = 3) системы координат.

Если задать другую, N-мерную, систему координат в базисе (m₁, m₂. т) и поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение (если оно существует) можно записать в таком виде:

где F_i— функции обратного преобразования.

В случае если размерности систем координат не совпадают (п ≠N), осуществить однозначное преобразование координат чаще всего не удается. Например, по двумерным экранным координатам нельзя без дополнительных условий однозначно определить трехмерные координаты отображаемых объектов.

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме:

Здесь матрица коэффициентов (а_ij) умножается на матрицу-столбец (k_i), и в результате будем иметь матрицу-столбец (m_i ).

Мы и дальше часто будем использовать умножение матриц, поэтому сделаем небольшой экскурс в матричную алгебру. Для двух матриц —

матричным произведением является матрица С = АВ размерами (m х р):

С = для которой элементы c_ij рассчитываются по формуле

Простейшие двумерные преобразования

Точки на xy-плоскости можно перенести в новые позиции путем добавления к координатам этих точек констант переноса. Для каждой точки Р(х, у), которая перемещается в новую точку Р'(х, у), сдвигаясь на Dxединиц параллельно оси xи наDyединиц параллельно оси у, можно написать уравнения:

На рис. 2.1 показана точка с координатами (1, 2), которая смещается на расстояние (5, 7), преобразуясь в точку (6, 9). Определяя векторы-строки

можно переписать это уравнение в векторной форме или более кратко

Объект можно перенести, применяя вышевыведенное уравнения к каждой его точке. Однако, поскольку каждый отрезок, описывающий объект, состоит из бесконечного числа точек, такой процесс длился бы бесконечно долго. К счастью, все точки, принадлежащие отрезку, можно перенести путем перемещения одних лишь крайних точек отрезка и последующего вычерчивания нового отрезка между получившимися в результате точками. Это справедливо также для масштабирования (растяжения) и поворота. На рис. 2.1 показан результат действия на контур домика операции переноса на расстояние (3, -4).

Рис. 2.1 Простейший перенос

Точки можно промасштабировать (растянуть) в Sxраз вдоль оси x: и в Sy раз вдоль оси у, получив в результате новые точки, с помощью умножения

Определяя S как , можно записать в матричной форме

или

На рис. 2.2 отдельная точка (6, 6) масштабируется с коэффициентами 1/2 по оси Xи 1/3 по оси у. На этом же рисунке показан контур домика, промасштабированный с коэффициентами 1/2 по оси xи 1/4 по оси у. Отметим, что масштабирование производится относительно начала координат; в результате преобразования домик стал меньше и ближе к началу координат. Если бы масштабные множители были больше 1, то домик увеличился бы и отдалился от начала координат. Способы проведения масштабирования относительно других точек, отличных от начала координат, рассматриваются в одном из последующих разделов главы. Пропорции домика также изменились· было применено неоднородное масштабирование, при котором Sх≠Sу. Однородное масштабирование, для которого Sx=Sy, не влияет на пропорции.

Точки могут быть повернуты на угол θ относительно начала координат, как показано на рис. 2.2 для точки Ρ (6, 1) и угла θ = 30°. Математически поворот определяется следующим образом:

В матричной форме мы имеем

или

где через Rобозначена матрица поворота. На рис. 2.2 показан квадрат, повернутый на 45°. Как и в случае масштабирования, поворот производится относительно начала координат.

Рис. 2.2 Простейшие поворот и масштабирование

Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются в виде

К сожалению, перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования и поворота (с помощью умножения). Хотелось бы представить их таким способом, чтобы все эти три элементарных преобразования можно было легко объединять вместе. Ниже в этом разделе показано, как это можно сделать.

Если мы выразим точки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью умножений. Однородные координаты были введены в геометрии и впоследствии использованы в графике. С однородными координатами и преобразованиями над ними работают многие пакеты графических подпрограмм и некоторые дисплейные процессоры. В одних случаях эти координаты используются прикладной программой непосредственно при задании параметров для графического пакета, в других — применяются лишь внутри самого пакета и недоступны для программиста.

В однородных координатах точка Р (х, у) записывается как P(W∙ x, W∙ y, W) для любого масштабного множителя W≠0. При этом если для точки задано ее представление в однородных координатах Р(Х, Y, W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты как x=X/Wи y=Y/W. В этой главе Wвсегда будет равно 1, поэтому операция деления не требуется. Однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом Wдвумерной плоскости в плоскость z=W(здесь z= 1) в трехмерном пространстве.

Точки теперь описываются трехэлементными вектор-строками, поэтому матрицы преобразований, на которые умножается вектор точки, чтобы получить другой вектор точки, должны иметь размер 3×3. Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных координат следующим образом:

где

Что будет, если точку Ρ перенести в точку Р’ на расстояние (Dx₁, Dy₁), а затем в Р» на расстояние (Dx₂Dy₂). Интуитивно ожидаемый результат в этом случае представляет собой суммарный перенос на расстояние (Dx₁+Dx₂, Dy₁+Dy₂). Чтобы доказать это, запишем данные в виде

Теперь получим:

Матричное произведение Τ(Dx₁, Dy₁) ∙T(Dx₂, Dy₂) есть

Уравнения масштабирования в матричной форме записываются в виде

Определяя

имеем

Так же как последовательные переносы являются аддитивными, можно ожидать, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. Если заданы

Таким образом, масштабирования в самом деле мультипликативны. И, наконец, уравнения поворота можно представить в виде:

Имеем

Композиция двумерных преобразований

Понятие композиции было введено в предыдущем разделе. В данном разделе мы покажем, каким образом можно использовать композицию преобразований для объединения фундаментальных матриц R, S и Τ сцелью получения желаемых общих результатов. Основное преимущество объединенных преобразований состоит в том, что к точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой произвольной точки Pi. Поскольку нам известно, лишь как поворачивать вокруг начала координат, разобьем исходную (трудную) проблему на три более легкие задачи. Таким образом, чтобы произвести поворот относительно точки Pi, необходимо выполнить последовательно три элементарных преобразования:

1. Перенос, при котором точка Piперемещается в начало координат.

3. Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное положение Ρi.

Эта последовательность показана на рис. 2.3, на котором вокруг точки Ρi(x, у) поворачивается контур домика. Первый перенос производится на (-x₁, —y₁), в то время как последующий — на (x₁, y₁) — является обратным ему. Результат существенно отличается от того, который получился бы, если бы применялся один только поворот.

Эта композиция преобразований путем умножения матриц служит примером того, как применение однородных координат упрощает задачу.

Используя аналогичный подход, можно промасштабировать объект относительно произвольной точки Рi: перенести Ρi в начало координат, промасштабировать, перенести назад в точку Ρi. Результирующее преобразование в этом случае будет иметь вид

Предположим, что нам необходимо промасштабировать, повернуть и расположить в нужном месте домик, показанный на рис.2.3, где центром поворота и масштабирования является точка Ρ₁. Последовательность преобразований заключается в переносе точки Ρ₁ в начало координат, проведении масштабирования и поворота, а затем переносе из начала координат в новую позицию Р₂, в которой домик должен оказаться (эта последовательность показана на рис. 2.3). В структуре данных, в которой содержится это преобразование, могут находиться масштабный множитель (множители), угол поворота и величины переноса или может быть записана матрица результирующего преобразования:

Если известно, что M₁ и M₂ представляют собой элементарные перенос, масштабирование или поворот, то при каких условиях Μ₁и Μ₂коммутативны? В общем случае умножение матриц некоммутативно. Однако легко показать, что в следующих частных случаях коммутативность имеет место (в этих случаях можно не беспокоиться о порядке перемножения матриц – см. Таблицу 2.1).

Рис. 2.3 Композиция преобразований

Таблица 2.1

Матричное представление трехмерных преобразований

Аналогично тому, как двумерные преобразования описываются матрицами размером 3×3, трехмерные преобразования могут быть представлены в виде матриц размером 4×4. И тогда трехмерная точка (x, у, z) записывается в однородных координатах как (W∙x, W∙y, W∙z, W), где W≠0. Если W≠1, для получения трехмерных декартовых координат точки (х, у, z) первые три однородные координаты делятся на W. Отсюда, в частности, следует, что две точки Η₁ и H₂ в пространстве однородных координат описывают одну и ту же точку трехмерного пространства в том и только в том случае, когда H₁=cH₂для любой константы с, не равной нулю.

Трехмерная система координат, применяемая в этой книге, является правосторонней (рис.2.4). Примем соглашение, в соответствии с которым положительными будем считать такие повороты, при которых (если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат) поворот на 90° против часовой стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:

Рис. 2.4. Правосторонняя система координат
Таблица 2.2. Правосторонняя система координат

Мы применяем здесь правостороннюю систему координат, поскольку она хорошо знакома большинству людей, хотя в трехмерной графике чаще более удобна левосторонняя система, так как ее легче представить наложенной на поверхность экрана дисплея. Это позволяет естественно интерпретировать тот факт, что точки с большими значениями z находятся дальше от наблюдателя. Отметим, что в левосторонней системе положительными будут повороты, выполняемые по часовой стрелке, если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат.

Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:

Масштабирование расширяется аналогичным образом:

В самом деле,

Двумерный поворот является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси z. В трехмерном пространстве поворот вокруг оси zописывается выражением

Это легко проверить: в результате поворота на 90° вектора [1 0 0 1], являющегося единичным вектором оси х, должен получиться единичный вектор [0 1 0 1] оси y. Вычисляя произведение

получаем предсказанный результат [0 1 0 1]. Матрица поворота вокруг оси xимеет вид

Матрица поворота вокруг оси у записывается в виде

Столбцы (и строки) верхней левой подматрицы размером 3×3 матриц Rz, Rx и Ry представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы, интерпретация которых такая же, что и в двумерном случае.

Все эти матрицы преобразований имеют обратные матрицы. Матрица, обратная Т, получается подстановкой знака минус перед Dx, Dyи Dz; обратная S — заменой Sx, Syи Szна обратные им значения, а для каждой из трех матриц поворота — выбором отрицательного угла поворота.

Композиция трехмерных преобразований

Путем объединения элементарных трехмерных преобразований можно получить другие преобразования. В этом разделе показано, как это сделать. Задача состоит в том, чтобы преобразовать отрезки P₁P₂ и P₁P₃ (рис. 2.5) из начальной позиции в конечную. Точка Piпереносится в начало координат,P₁P₂ располагается вдоль отрицательной полуоси x, а P₁P₃ помещается в плоскости yzв той ее половине, где ось у положительна. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Как и прежде, разобьем сложную задачу на более простые. В данном случае преобразование можно выполнить за четыре шага:

1. Перенос точки Piв начало координат.

Шаг 1. Перенос Ρ₁ в начало координат:

Шаг 2. Поворот вокруг оси у. На рис. 2.5 показаны отрезки P₁P₂ после шага 1 и проекция P₁P₂ на плоскость xz. Поворот производится на положительный угол θ, для которого

где

Как и ожидалось, x-компонента Р₂равна нулю.
Шаг 3. Поворот вокруг оси х. На рис. 2.6 показан отрезок P₁P₂

Рис. 2.5. Композиция преобразований
после шага 2. Поворот производится на отрицательный угол φ, для которого

где

Записьобозначает длину Результатом поворота на шаге 3 является

т. е. теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

Шаг 4. Поворот вокруг оси z. На рис. 2.6 показаныи после шага 3, когда Р₂‘» лежит на отрицательной полуоси z, а Р₃‘» — в точке

Поворот производится на

положительный угол , для которого Шаг 4 является последним шагом, после которого получается конечный результат, показанный на рис. 2.6. Результирующая матрица

описывает искомое преобразование, где

Рис. 2.6. Окончание композиции преобразований

Преобразование объектов

Преобразование объектов можно описать так. Пусть любая точка, принадлежащая определенному объекту, имеет координаты (k₁, k₂. , k_n ) в n-мерной системе координат. Тогда преобразование объекта можно определить как изменение положения точек объекта. Новое положение точки пространства соответствует новым значениям координат (т₁, т₂,. т_n).

Классифицировать преобразования объектов можно согласно типу функции преобразования и типу системы координат.

Например, преобразование объектов на плоскости можно определить так:

В трехмерном пространстве:

Преобразование как изменение систем координат

Мы рассматриваем преобразование множества точек, принадлежащих объекту, в некоторое другое множество точек, причем оба этих множества описаны в одной и той же системе координат. Таким образом, система координат остается неизменной, а сам объект преобразуется относительно начала координат до получения желаемого размера. Другим эквивалентным способом описания преобразования является смена систем координат. Такой подход оказывается полезным, когда желательно собрать вместе много объектов, каждый из которых описан в своей собственной локальной системе координат, и выразить их координаты в одной глобальной системе координат. Существует и еще один, третий подход, при котром происходит изменение глобальной системы координат по отношению к локальной системе координат объекта (см. рис.2.7).

Рис. 2.7. Преобразования как изменение системы координат

Рис. 2.8. Пример преобразования с изменением системы координат

Описание всех объектов (символов) в мировой системе координат и последующее размещение их в желаемом месте, приводит до некоторой степени к нереалистичному изображению всех символов, первоначально заданных один поверх другого в одной и той же мировой системе координат. Более естественно полагать, что каждый символ задан в своей собственной системе координат и затем промасштабирован, повернут и перенесен путем преобразования координат в новую мировую систему координат. Второй подход легко представить себе как сжатие или растяжение, поворот и позиционирование на мировой координатной плоскости отдельных листков бумаги, на каждом из которых изображен символ (или наоборот, сжатие или растяжение, поворот и перемещение плоскости относительно каждого из листков бумаги). С математической точки зрения оба подхода идентичны.

Подход, основанный на изменении систем координат, удобен в тех случаях, когда задается дополнительная информация для подобъектов в их локальных системах координат. Например, если к переднему колесу трехколесного велосипеда (рис. 2.8) приложить крутящий момент, то все его колеса повернутся. Нам необходимо определить, насколько велосипед переместится в пространстве как единое целое. Эта задача более сложная, чем та, которая связана с размещением символов, поскольку здесь требуется несколько последовательных изменений систем координат. В начальный момент системы координат велосипеда и его переднего колеса заданы относительно мировой системы координат. При движении велосипеда вперед переднее колесо поворачивается вокруг оси zсистемы координат колеса, и одновременно системы координат колеса и велосипеда перемещаются относительно мировой системы координат. Системы координат колеса и велосипеда связаны с мировой системой координат с помощью зависящих от времени переносов вдоль осей xи у иповорота вокруг оси у. Координатные системы велосипеда и колеса между собой связаны с помощью зависящего от времени поворота вокруг оси у, вызываемого поворотом руля. (Система координат велосипеда связана с рамой велосипеда, а не с рулем).

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что