Графический способ построения изображения

Построение перспективных изображений объектов
Простой графический способ

Предисловие от редакции
Публикуемый ниже материал о простом графическом способе построения перспективных изображений объектов с помощью карандаша и линейки на листе бумаги, возможно, в нынешнее время не является очень актуальным. В наш век всеобщей компьютеризации имеются программы трёхмерного моделирования объектов, где с помощью нажатия одной кнопки можно получить перспективную проекцию построенной модели. Возможно также, что описанный здесь способ не является принципиально новым и автор статьи «изобрёл велосипед». Хочу только заметить, что главным в этой работе является то, что он его изобрёл. Поскольку при написании статьи автор не имел доступа к интернету или библиотечной научной информации, а выполнял эту работу с чистого листа, используя в качестве справочной литературы только лишь «Большую Советскую Энциклопедию», изданную 40 лет назад. Публикуя здесь данную статью, я всё-таки не исключаю, что она может оказаться полезной некоторой категории людей, например, архитекторам, художникам или студентам, а также пенсионерам, как показательный пример мыслительной активности в очень почтенном возрасте. Отзывы и замечания читателей примем с благодарностью.

Главным требованиям к изображениям объектов является достоверность зрительной информации. Осмотр изображённых объектов должен вызывать зрительное восприятие, максимально приближенное к зрительному восприятию при наблюдении реальных объектов. Как известно, в основе нашего зрения лежит реализация метода центральной сферической проекции. Вместе с тем, получение изображений на сферическом экране, равно как и обзор этого изображения, а он должен производиться из центра сферы, вызывает трудности. Поэтому, за редким исключением (планетарии, роспись внутренних поверхностей куполов зданий), используется метод центральной линейной проекции на плоские экраны.
При ограниченном относительно небольшом угловом поле обзора замена участка сферического экрана плоским не приводит к значительным искажениям изображения, и обеспечивается вполне приемлемое зрительное восприятие, например, при фотографировании или на телевидении.
Пространственная структурная схема центральной линейной проекции показана на Рис.1.

Здесь и в дальнейшем использованы следующие обозначения:
• Р п – предметная плоскость (горизонтальная)
• Р к – картинная плоскость (горизонтальная)
• ББ – базовая линия, пересечение Р к и Р п
• ГГ – линия видимого горизонта
• h 0 – высота линии видимого горизонта
• О г – центр проекции, с линией ГГ образует горизонтальную плоскость видимого горизонта Р г (на Рис.1 не обозначена)
• А п В – вертикальный отрезок – объект проекции
• ОS 0 – основное направление проекции
• l – расстояние центра проекции от картинной плоскости
• А´ п В´ – проекция отрезка А п В на Р к
• h в – высота объекта А п В

Методика построения проекции объекта на картинной плоскости

В предлагаемой методике для упрощения графических работ использован приём совмещения картинной и предметной плоскостей, что позволило пространственный чертёж структурной схемы проекции заменить плоским чертежом. Это достигается поворотом Р к вокруг базовой линии ББ на 90º до совмещения с Р п .
В результате получается плоская структурная схема проекции, показанная на Рис.2

Здесь же показано построение проекции вертикального отрезка АВ высотой h в на картинную плоскость.
Для получения проекции точки А, находящейся на Р п , через неё проведена произвольная линия АА Б до пересечения с базовой линией ББ. Точка схода S А проекций линий, параллельных АА Б , определена пересечением линий видимого горизонта ГГ лучом из центра проекции О г , параллельным АА Б .
Проекция точки А находится на А Б S А при пересечении её лучом О г А.
Высота точки В h в отложена на шкале вертикальных размеров Ш н вертикальной линии в плоскости Р к , проходящей через АБ.
Линия h в S А есть проекция горизонтальной линии, проходящей над АА Б на высоте h в . Поэтому проекцию точки В на Р к можно найти пересечением h в S А с вертикалью из точки А´.

Несмотря на длительное подробное описание процедуры, процесс построения проекции А´В´ чрезвычайно прост и состоит из проведения дополнительно трёх линий: АА Б , О г S А , А Б S A для получения проекции А´ и трёх линий А Б h в , h в S А и А´В´ для получения проекции В´.
Определение положения проекций точек на Р к и прямолинейных отрезков составляет основу методики построения проекций объектов более сложных геометрических форм. Существенно облегчается задача при наличии у объектов параллельных контуров и использование для воспроизведения их проекций соответствующих точек схода.
Ниже приведены примеры построения на Р к проекций некоторых объектов.

Проекция на картинную плоскость прямоугольника, лежащего на предметной плоскости

Подготовка структурной схемы проекции включает в себя:

1. Изображение на предметной плоскости Р п базовой линии ББ и объекта проекции – прямоугольника АВСD;
2. На совмещённой с Р п картинной плоскости Р к начертить линию видимого горизонта ГГ выше ББ на h 0 и наметить центр проекции О г .

Порядок построения на Р к проекции объекта:

Определить на линии видимого горизонта положение точек схода проекций линий, параллельных сторонам АВ и АD объекта S АВ и S АD .

Использовать линию А Б S АD для получения проекций А´ и D´; точно так же определить на линиях А´S АВ и D´S АВ положение точек В´ и С´.

В результате получена геометрическая фигура А´В´С´D´, представляющая собой перспективное изображение прямоугольника АВСD.

Размеры и форма проекции объекта зависят от параметров структурной схемы l и h 0 , а также от положения объекта относительно базовой линии, удаления от неё и углов горизонтального ракурса.

Перспективное изображение железнодорожной колеи

Структурная схема системы проекции железнодорожной колеи представлена на Рис.4
Структурная схема включает в себя следующие элементы:

• Предметную и картинную плоскости Р п и Р к , пересекающиеся на базовой линии ББ.
• На предметной плоскости изображён план объекта в виде двух рельс (линии А 1 В 1 и А 2 В 2 ). На рельсе А 1 В 1 точками обозначены места шпал. Они перпендикулярны рельсам.
• На картинной плоскости проведена линия видимого горизонта ГГ и обозначено положение центра проекции О.

Графическое решение задачи:

1. Определены положения точек схода проекций рельс S р и шпал S ш с помощью лучей, проведённых из О г параллельно рельсам и шпалам.
2. Из точек А 1 и А 2 (пересечение изображений рельс с линией ББ) проведены проекции рельс на Р к – линии А 1 S р и А 2 S р .
3. На проекцию левого рельса лучами из центра О г перенесены точки, обозначающие места шпал, и через них в пределах, ограниченных проекциями рельс А 1 S р и А 2 S р , проведены линии проекций шпал, используя точку схода S ш .

Перспективное изображение трёхмерного объекта

В качестве примера рассмотрено построение проекции шестиэтажного здания блочной конструкции.
План здания имеет форму прямоугольника. Размеры блоков (в масштабе чертежа) по ширине 20 мм и по высоте 15 мм. На структурной схеме проекции план объекта – прямоугольник А п В п С п D п расположен под некоторым углом горизонтального ракурса α р так, чтобы его ближайшая вершина находилась на базовой линии ББ. Это позволит вертикальную линию из точки В использовать в качестве отсчётной вертикали, на которой вертикальные размеры проекции объекта будут откладываться в натуральную величину. Это будет шкала номинальных вертикальных размеров Ш н .

Перспективное изображение здания с помощью центральной линейной проекции:
Горизонтальные контуры объекта представлены двумя семействами параллельных линий вдоль длинной и короткой стен объекта.
Поэтому для построения проекции объекта потребовалось определить только две точки схода S АВ и S ВС , полученные с помощью лучей из центра О г до линии видимого горизонта ГГ, параллельных соответственно линиям плана объекта А п В п и В п С п .

При построении проекции здания использовалась следующая последовательность графических операций после построения структурной схемы:

1. Определены положения точек схода S АВ и S АС проекций контуров плана объекта А п В п и В п С п .
2. Определены проекции контуров основания В п А´ п и В п С´ п и лучами из центра О на них перенесена разметка ширины блоков (для примера показано для точки 1п).
3. На шкале Ш н произведена разметка высоты этажей, через верхнюю точку Ш н В´ проведены линии к точкам схода S АВ и S АС . Они ограничили высоту проекций вертикальных контуров.
4. Провести проекции вертикальных контуров
5. Используя разметку Ш н и точки схода, провести проекции горизонтального контура.

При необходимости изображение контуров основного объёма можно дополнить деталями. Например, оконными проёмами, балконами, цоколем и т. п., которые так же будут исполнены в виде перспективных изображений.
Все вспомогательные линии чертежа, выполненные карандашом, легко убираются, и остаётся только перспективное изображение объекта с необходимыми вертикальными и горизонтальными контурами.

В принципе построение проекции контуров любой формы объекта можно получить в результате проектирования на Р к нескольких характерных точек с последующим соединением их проекций соответствующими линиями. Задача существенно облегчается для построения прямолинейных контуров и особенно, когда имеют место параллельные прямолинейные участки.

Предлагаемый способ проекции объектов на вертикальную плоскость обеспечивает получение приемлемых для зрительного восприятия перспективных изображений с учётом выбора желаемых параметров структурной схемы:

• расстояния от центра проекции до картинной плоскости (фокусного расстояния),
• высоты линии видимого горизонта и расположения объекта относительно картинной плоскости, т. е. углов горизонтального ракурса.

Вместе с тем в рамках метода центральной линейной проекции на вертикальную картинную плоскость в принципе невозможно воспроизводить вертикальную перспективу, поскольку все вертикальные контуры объекта параллельны Р к . Использование наклонной картинной плоскости не всегда даёт удовлетворительные результаты. Это можно видеть на фотоснимках, где на краях кадра изображения предметов имеют неестественные наклоны контуров к некоторой средней вертикали. Поэтому изображение пространства с вертикальными объектами требует самостоятельного рассмотрения с учётом особенностей зрительного восприятия вертикальных объектов в реальных условиях их размещения в пространстве.

Проекция объекта с наклонными гранями

Положение наклонной грани в пространстве определяется положением находящихся на ней трёх точек или одной точки и прямого отрезка. В качестве примера рассмотрим проекцию пирамиды, положение граней которой фиксируется положением вершины О п и контуров основания (в рассматриваемом примере квадрата АВСD)

Проекция пирамиды на Р к .
АВСD – основание пирамиды
АВ´С´D´ – проекция основания
А О – центр основания
А О S АО – проекция вертикальной оси пирамиды
Ш н – шкала натуральных вертикальных размеров
АО п – ребро пирамиды, на которое перенесена с Ш н разметка положения горизонтальных контуров

При построении проекции пирамиды использовался следующий порядок:

1. Построена проекция основания пирамиды АВ´С´D´ и на пересечении её диагоналей отмечена точка Ао, через которую проведена вертикальная ось объекта, на ней располагается вершина пирамиды.
2. Из точки А (лежащей на ББ) восстановлена шкала номинальных вертикальных размеров Ш н . Используя точку схода диагонали АС´ (т. е. S А С´ ), высота объекта Н со шкалы Ш н перенесена на вертикальную ось объекта. В результате получена проекция вершины пирамиды О п . Её соединение с точками основания А, В´ и D´ образует проекции видимых рёбер пирамиды О п В´, О п А и О п D´.
3. Для определения положения горизонтальных контуров разметка Ш н (точки 1. 7) перенесена на ребро АО п линиями, соединяющими эти точки с S АС´ . Эти точки совместно с точками схода S АВ´ и S АD´ использованы для построения горизонтальных контуров.

Особое внимание следует обратить на построение вертикальной оси объекта А О S АО и расположение именно на ней вершины проекции пирамиды. Ошибки могут привести к получению изображения перекошенного объекта.

Построение перспективных изображений вертикальных объектов

Рассмотренный способ построения проекций на вертикальную картинную плоскость Р к позволяет получать приемлемые для зрительного восприятия перспективные изображения относительно невысоких объектов, когда допустимо для проекций вертикальных контуров использовать шкалу натуральных размеров и не учитывать кажущийся эффект сходимости этих контуров. Использование вертикальной картинной плоскости в принципе не может обеспечить отображение вертикальной перспективы.
Для этого следует применить наклонную Р к и таким образом обеспечить учёт необходимого угла вертикального ракурса и воспроизводить признаки, свойственные изображениям вертикальной перспективы. Эти признаки касаются только изображения проекции вертикальных контуров и заключаются в коррекции их размеров и отображения их кажущейся сходимости.
В основу методики коррекции проекций вертикальных контуров положена структурная схема проекции вертикали на наклонную картинную плоскость.

Построение Ш к .
Цент проекции О г расположен на плоскости видимого горизонта Р г , проведённой на уровне основания объекта, когда наиболее чётко воспринимаются закономерности вертикальной перспективы. На объекте нанесена шкала натуральных размеров Ш н . Проекция этой шкалы на картинную плоскость Р к даёт шкалу коррекции вертикальных размеров проекции объекта на картинную плоскость Ш к .
Точка схода S в проекции объекта АВ находится на вертикали, проведённой из центра проекции О г при пересечении ею картинной плоскости Р к (на Рис.7 не видна). Расстояние до неё АS в зависит от l и от α рв и определяется формулой:
АS в = К s l, где К s = 1/sin α рв
Зависимость К s от представлена в таблице:

α рв °	5	7,5	10	12,5	15	17,5	20
Кs	11,4	7,7	5,7	4,6	3,9	3,3	2,9

При построении перспективного изображения вертикального объекта желательно иметь вертикальную шкалу Ш к . Её можно получить перенеся Ш к (Рис. 7) на вертикальную линию. А ещё проще получить её сразу при построении, используя вертикальную Р к и наклонный объект, т. е. развернуть Рис. 7 на угол вертикального ракурса.

Построение вертикальной шкалы Ш к коррекции размеров проекций вертикальных контуров.
Как следует из Рис. 8 вид изображения вертикальной перспективы объекта зависит от величины угла вертикального ракурса α р , удаления центра проекции l от объекта и его высоты Н = АВ, точнее, от отношения l/Н. Влияние α р при фиксированном отношении l/Н = 1 (l = Н =10 см) показано на Рис. 9
Там же отражена зависимость от α р расстояния АS в точки схода проекций вертикальных контуров объекта и соответствующая ей сходимость этих проекций.
Точка А о находится на основании объекта. Через неё проходит центральная вертикальная ось объекта. На ней на расстоянии А о S о = К s l отмечается точка схода S о .

При построении перспективного изображения объекта необходимо особое внимание уделять точности воспроизведения центральной вертикальной оси объекта и расположения на ней точки схода S о . Отклонение S о от оси приведёт к изображению наклонного объекта, что недопустимо.

Влияние величины угла вертикального ракурса α рв на вид шкалы коррекции вертикальных размеров и сходимость проекций вертикальных контуров объекта

Учёт влияния высоты линии видимого горизонта

Структурная схема на Рис. 1 была построена для частного случая, при котором центр проекции О г расположен на предметной плоскости, то есть когда не учитывается высота плоскости видимого горизонта h о . На практике обычно это плоскость делит объект проекции на верхнюю и нижнюю части. При этом структурная схема проекции объекта примет вид, представленный на Рис. 10

Построение Ш к с учётом высоты плоскости видимого горизонта h о
Для получения Ш к на прямолинейном вертикальном отрезке использована проекция на картинную плоскость наклонных на угол α р отрезков вертикального контура для верхней и нижней частей объекта. Такая проекция эквивалентна проекции вертикального контура объекта на наклонные участки Р к для частей объекта выше и ниже плоскости видимого горизонта Р г .
В качестве примера построена Ш к для высоты плоскости видимого горизонта Р г h о , равной 0,3 высоты объекта АВ = Н, наклонённого к картинной плоскости Р к под углом ракурса α р . Объект проекции представлен на Рис. 10 верхним отрезком А г В и нижним А г А. Центры проекции этих отрезков О в и О н находятся на линиях, перпендикулярных А г В и А г А на расстоянии l от А г . Шкала натуральных размеров Ш н нанесена на А г В, начиная от А г .

Очевидно, что вид Ш к существенно зависит от отношения hо/Н. Отношение hо/Н также влияет на сходимость проекций вертикальных контуров, о которой можно судить по усреднённому углу вертикального ракурса для всего объекта α рср . При hо/Н г В. При hо/Н > 0,5 направление вертикальной перспективы от верхнего меняется на нижнее. И при hо/Н

0,5 угол α рср = 0, т. е. этот фактор отображения вертикальной перспективы неприемлем

В качестве общего для всего объекта угла вертикального ракурса α рср можно принять угол наклона прямой линии АВ (Рис. 5) к вертикали. При относительно небольших углах α р усреднённый угол ракурса α рср можно рассчитать по формуле: α рср = α р (1 – 2 hо/Н).

Зависимость Ш к от высоты линии видимого горизонта hо/Н относительно предметной плоскости Р п .
Анализ влияния отношения hо/Н на вид Ш к (Рис. 11) показывает, что характерное для перспективных изображений изменение видимых размеров вертикальных отрезков имеет место для верхнего направления перспективы в диапазоне 0 ≤ hо/Н ≤ 0,2 и для нижнего направления в диапазоне 0,8 ≤ hо/Н ≤ 1,0

Об эффективности рассмотренной методики построения перпективных изображений вертикальных объектов можно судить по Рис. 12, где приведены для сравнения проекция объекта с учётом только углов горизонтального ракурса (рис.а) и проекция того же объекта, при построении которой учтён дополнительно угол вертикального ракурса (рис.б).

Если на рис.а неестественно выглядит изображение верхней части объекта, её размеры воспринимаются увеличенными, то на рис.б отражены признаки вертикальной перспективы, и изображение объекта воспринимается зрением естественно.

Изображение проекции одного и того же объекта при отсутствии угла вертикального ракурса (рис.а) и при α р = 10°.

Порядок построения вертикальной перспективы объекта

1. Выбрать высоту плоскости видимого горизонта Р г относительно объекта, желаемый угол вертикального ракурса α р и удаление l центра проекции О к от объекта.
2. Построить шкалу коррекции вертикальных размеров Ш к (см. пояснения к Рис. 10) и наметить скорректированное положение предметной плоскости Р пк .
3. Построить на Р к проекцию плана объекта и на ней определить место А о прохождений центральной вертикальной оси (на Рис. 12 – это точка пересечения диагоналей проекции плана), а также наметить точки оснований вертикальных контуров, подлежащих изображению.
4. Определить общий для всего объекта угол вертикального ракурса α рср по наклону прямой линии АВ к вертикали или рассчитать его α ро = α р (1 – 2 hо/Н). Определить расстояние от А о до точки схода проекций вертикальных контуров S в : А о S в = l ⁄sin α рср
5. Обозначить участок отсчётной вертикали, проходящей через А к по направлению к S в и перенести на него Ш к .
6. Используя точки схода проекций горизонтальных контуров обозначить верхние границы проекции объекта. В этих пределах построить проекции вертикальных контуров, соединяя их основания с точкой схода S в . Наконец, заполнить грани объекта разметкой горизонтальных контуров.

Борис Романович Выскубов, 15.03.11
(29.03.2012 г. автор статьи скончался)

Источник