Графический способ описания системы

Графические способы описания систем: структурные схемы, графы, статические характеристики. Переход от одной формы к другой.

В теории управления широко применяется несколько графических способов описания системы управления: структурная схема, граф системы, статическая характеристика.

Структурной схемой системы управления называют графическое представление ее математической модели в виде соединений звеньев с указанием входных и выходных сигналов. Основными элементами структурной схемы являются: звено, узел, сумматор и элемент сравнения.

а	б	в	г
д	е	ж

Рисунок – Элементы структурных схем

Графом называется совокупность множества V точек, называемых вершинами, и множества R простых (т.е. самонепересекающихся) кривых, называемых ребрами.

Рисунок – Граф системы управления

Статическая характеристика звена системы управления – зависимость выходного сигнала звена от входного сигнала в статическом режиме, представленная в графической форме.

Режим работы САУ, в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется установившимся, или статическим режимом.

Рисунок – Виды статических характеристик звеньев

Переход от одной математической формы описания к другой

Рассмотрим пример перехода от одной формы представления к другой.

Дифференциальное уравнение объекта имеет вид:

.

Необходимо описать рассматриваемый объект с помощью известных форм.

Запишем дифференциальное уравнение объекта в следующем виде:

.

Тогда, используя оператор дифференцирования , запишем уравнение объекта в операторном виде:

.

По формуле (1.7) передаточная функция в операторном виде для заданного объекта:

.

Заменив оператор дифференцирования на оператор Лапласа запишем передаточную функцию объекта в изображения Лапласа:

.

Задание №1.1

для объекта, заданного одной из форм описания линейной динамической системы, привести другие формы описания (за исключением формы пространства состояний).

№	математическое описание объекта	№	математическое описание объекта

В теории управления пространство состояний — один из основных методов описания поведения динамической системы.

Иногда возникает необходимость прямого и обратного перехода от записи системы в виде передаточной функции к форме описания с помощью пространства состояний. Прямой переход в такой задаче неоднозначен, т.е. существует бесконечное множество троек матриц, в то время как обратный переход однозначен. Существует три стандартных схемы перехода от передаточной функции к пространству состояний: последовательная схема, параллельная и нормальная.

Рассмотрим методику перехода по каждой схеме.

Последовательная схема

Задано дифференциальное уравнение, описывающее состояние системы:

.

Тогда передаточная функция для такой системы будет иметь вид:

.

Приведем передаточную функцию системы к виду последовательно соединенных звеньев первого порядка, т.е.

.

Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:

Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:

Учитывая, что p – это оператор дифференцирования, т.е. , запишем

Тогда, принимая во внимание, что типовая форма записи метода пространства состояний имеет вид:

запишем матрицы A,B и C:

На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.

Структурная схема физической системы это структурная схема специфической конфигурации, состоящая из интеграторов, коэффициентов усиления и сумматоров. Данная структурная схема представляет собой заготовку для исследования системы с использованием компьютера.

Параллельная схема

Передаточная функция системы имеет вид:

.

Приведем передаточную функцию системы к виду параллельно соединенных звеньев первого порядка, т.е.:

Тогда запишем следующее:

Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:

Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:

Учитывая, что p – это оператор дифференцирования, т.е. , запишем:

Запишем матрицы A,B и C:

На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.

Нормальная схема

Передаточная функция системы имеет вид:

Структурная схема для такого вида передаточной функции имеет вид:

Составим систему уравнений по приведенной структурной схеме относительно выходных сигналов звеньев системы:

Учитывая, что p – это оператор дифференцирования, т.е. , запишем:

Учитывая то, что при использовании метода пространства состояний матричная форма записи системы дифференциальных уравнений составляется относительно ДУ первого порядка, понизим уравнение второго порядка относительно сигнала , введя промежуточный сигнал так, что

Запишем матрицы A,B и C:

На основании полученных уравнений получим структурную схему для физической системы.

Таким образом, используя три основных схемы перехода можно перейти от формы представления системы в виде передаточной функции к форме пространства состояний.

Как уже было отмечено, существует и обратный путь перехода, т.е. от формы описания с помощью пространства состояния к операторной передаточной функции.

здесь — единичная матрица.

Тогда относительно выходного сигнала можно записать:

,

а выражение для передаточной функции имеет вид:

,

здесь — обратная матрица для матрицы *.

Таким образом, зная матрицы A, B и C, можно найти выражение для операторной передаточной функции.

Источник

Функциональное описание и моделирование систем

Лекция 3. Функциональное описание и моделирование систем

Изучение любой системы предполагает создание модели системы, позволяющей произвести анализ и предсказать ее поведение в определенно диапазоне условий, решать задачи анализа и синтеза реальной системы.

Модель — описание системы, отражающее определенную группу ее свойств.

Функциональное описание исходит из того, что всякая система выполняет некоторые функции: просто пассивно существует или служит областью обитания других систем, или обслуживает системы более высокого порядка, или служит средством для создания более совершенных систем. Функциональная организация может быть описана алгоритмически, аналитически, графически, таблично, посредством диаграмм функционирования, вербально (словесно).

Описание должно соответствовать концепции развития систем определенного класса и удовлетворять некоторым требованиям:

должно быть открытым и допускать возможность расширения (сужения) спектра функций, реализуемых системой; предусматривать возможность перехода от одного уровня рассмотрения к другому.

При описании системы будем рассматривать ее как структуру, в которую в определенные моменты времени вводится нечто (вещество, энергия, информация), и из которой в определенные моменты времени нечто выводится.

Графические способы функционального описания систем

Очень часто при анализе и синтезе систем используется графическое описание, разновидностями которого являются:

дерево функций системы; дерево целей; стандарт функционального моделирования IDEF0.

Все функции, реализуемые сложной системой, могут быть условно разделены на три группы:

целевая функция; основные (базисные) функции системы; дополнительные функции системы.

Целевая функция системы соответствует ее основному функциональному назначению, т. е. целевая (главная) функция отражает назначение, сущность и смысл существования системы.

Основные функции отражают ориентацию системы и представляют собой совокупность макрофункций, реализуемых системой. Эти функции обусловливают существование системы определенного класса. Они обеспечивают условия выполнения целевой функции (прием, передача, приобретение, хранение, выдача).

Дополнительные (сервисные) функции расширяют функциональные возможности системы, сферу её применения, и способствуют улучшению показателей качества системы. Дополнительные функции обеспечивают условия выполнения основных функций.

Описание объекта на языке функций представляется в виде графа, называемого также деревом функций.

Рис. — Описание объекта на языке функций в виде графа

Формулировка функции внутри вершин должна включать 2 слова: глагол и существительное «Делать что».

Дерево функций системы представляет декомпозицию функций системы и формируется с целью детального исследования функциональных возможностей системы и анализа совокупности функций, реализуемых на различных уровнях иерархии системы. На базе дерева функций системы осуществляется формирование структуры системы на основе функциональных модулей.

В социальных и экономических системах используется функциональное моделирование методом построения дерева целей.

Дерево целей – это граф, т. е. схема, показывающая деление общих целей на подцели до необходимого уровня декомпозиции и выражающая соподчинение и взаимосвязи элементов системы.

Алгоритм построения «дерева целей» следующий:

1. Определение генеральной (главной) цели;

2. Разделение общей цели на подцели (подцели 1-го уровня);

3. Разделение подцелей 1-го уровня на подцели 2-го уровня;

4. Разделение подцелей 2-го уровня на более детальные составляющие (подцели 3-го уровня);

Элементы формулировки целей:

содержание цели (что должно быть достигнуто); масштаб цели (в каком объеме должна быть достигнута цель); срок выполнения цели (за какое время должна быть достигнута цель).

Формулировка цели «увеличить выпуск продукции» неверна. Правильно – «В течение года увеличить выпуск продукции на 20%».

гибкость; достижимость; конкретность; приемлемость; совместимость с другими целями; измеримость.

Построение дерева целей идет «сверху вниз», то есть от общих целей к частным, путем их декомпозиции и редукции. Так, достижение главной цели обеспечивается за счет реализации целей первого уровня.

В свою очередь, каждая из этих целей может быть декомпозирована на цели следующего, более низкого уровня. В основе декомпозиции могут лежать различные основания, например, по областям деятельности, а внутри областей – по подобластям, по элементам организационной структуры, по региональной структуре системы и т. д.

Один из основных принципов построения дерева целей – полнота – каждая цель данного уровня должна быть представлена в виде подцелей следующего уровня таким образом, чтобы их совокупность полностью определяла понятие исходной цели. Исключение хотя бы одной подцели лишает полноты или меняет само понятие исходной цели.

Пример построения дерева целей

Для построения «дерева целей» воспользуемся вымышленной организацией «Сеть ресторанного питания».

0 — Миссия организации (главная цель) – Добиться удовлетворения потребностей населения в качественной пище с высокой скоростью обслуживания.

1. Увеличивать долю рынка на 3-5 % ежегодно

1.1. Провести маркетинговые исследования

1.1.1 Проанализировать сегментацию рынка (январь 2017 г.)

1.1.2 Провести анализ деятельности конкурентов (январь 2017)

1.1.3 Изучить спрос (январь 2017)

1.2. Разработать концепции рекламы

1.2.1 Принять участие в ярмарках (февраль-март 2017 г.)

1.2.2 Разработать эксклюзивные эмблемы и слоганы (январь 2017 г.)

1.2.3 Провести массовые рекламные акции (февраль 2017 г.)

1.3. Привлечь новых клиентов

1.3.1 Организовать постоянный контроль за качеством продукции

1.3.2 Добиться снижения количества жалоб на обслуживающий персонал

1.4 Расширить сеть ресторанов, ежегодно вводя в эксплуатацию 1 новый ресторан

2. Максимизировать прибыль как основу для инвестиций

2.1. Ввести в эксплуатацию новое оборудование и технологии

2.1.1. Провести собственные исследования (январь 2017 г.)

2.1.2. Отслеживать перспективные разработки постоянно

2.2. Снижать себестоимости на 5 % ежеквартально

2.2.1. Повышать производительность труда на 15 % ежеквартально

2.2.2. Снижать издержки производства на 20 % ежегодно

2.3. Добиться сохранения постоянных клиентов

2.3.1. Разработать систему скидок (январь 2017 г.)

2.4. Усовершенствовать процесс управления

2.4.1. Обеспечить постоянное получение руководителями организации оперативной информации (январь – март 2017 г.)

3.Сформировать положительный имидж организации

3.1. Организовывать благотворительные акции, спонсорство

3.1.1. Ежемесячно отчислять средства на благотворительные нужды (детские дома, детские сады, малоимущие семьи), сопровождая эти действия сообщениями в СМИ

3.1.2. Учредить стипендии и гранты (сентябрь 2017 г.)

Методология IDEF0

Описание функций системы с использованием IDEF0-нотации также основано на принципах декомпозиции, но представляется не в виде дерева, а в виде набора диаграмм. Объектами моделирования являются системы. Описание модели построено в виде иерархической пирамиды, в вершине которой представляется самое общее описание системы, а основание представляет собой множество более детальных описаний.

В рамках методологии IDEF0 модель системы описывается при помощи Графических IDEF0 Диаграмм. При этом модель включает в себя серию взаимосвязанных Диаграмм, разделяющих сложную систему на составные части. Диаграммы более высокого уровня А0 являются наиболее общим описанием системы, представленным в виде отдельных Блоков. Декомпозиция этих Блоков позволяет достигать требуемого уровня детализации описания системы.

IDEF0 методология построена на следующих принципах:

Графическое описание моделируемых процессов. Графический язык Блоков и Дуг IDEF0 Диаграмм отображает операции или функции в виде Блоков, а взаимодействие между входами/выходами операций, входящими в Блок или выходящими из него, Дугами. Лаконичность. За счет использования графического языка описания процессов достигается с одной стороны точность описания, а с другой — краткость. Необходимость соблюдения правил и точность передачи информации. При IDEF0 моделировании необходимо придерживаться следующих правил:

На Диаграмме должно быть не менее 2 и не более 8 функциональных Блоков. Диаграммы должны отображать информацию, не выходящую за рамки контекста, определенного целью и точкой зрения. Уникальность имен функций Блоков и наименований Дуг. Четкое определение роли данных и разделение входов и управлений. Замечания для Дуг и имена функций Блоков должны быть краткими и лаконичными. Для каждого функционального Блока необходима как минимум одна управляющая Дуга. Модель всегда строится с определенной целью и с позиций конкретной точки зрения.

В процессе моделирования очень важным является четко определить направление разработки модели – ее контекст, точку зрения и цель.

Контекст модели очерчивает границы моделируемой системы и описывает ее взаимосвязи с внешней средой.

Точка зрения определяет позицию автора, т. е. что будет рассматриваться и под каким углом зрения.

Необходимо помнить, что одна модель представляет одну точку зрения. Для моделирования системы с нескольких точек зрения используется несколько моделей.

Цель отражает причину создания модели и определяет ее назначение. При этом все взаимодействия в модели рассматриваются именно с точки зрения достижения поставленной цели.

Разработка IDEF0 Диаграмм начинается с построения самого верхнего уровня иерархии (А-0) — одного Блока и интерфейсных Дуг, описывающих внешние связи рассматриваемой системы. Имя функции, записываемое в Блоке 0, является целевой функцией системы с принятой точки зрения и цели построения модели.

При дальнейшем моделировании Блок А-0 декомпозируется на Диаграмме А0, где целевая функция уточняется с помощью нескольких Блоков, взаимодействие между которыми описывается с помощью Дуг. В свою очередь, функциональные Блоки на Диаграмме А0 могут быть также декомпозированы для более детального представления.

В результате, имена функциональных Блоков и интерфейсные Дуги, описывающие взаимодействие всех Блоков, представленных на Диаграммах, образуют иерархическую взаимосогласованную модель.

Описание синтаксиса языка моделирования

Основными элементами на IDEF0 Диаграммах являются Блоки и Дуги.

Блоки служат для отображения функций (действий), выполняемых моделируемой системой. Сформулированные функции должны содержать глагольный оборот.

глагол + объект действия + [дополнение]

Например: обрабатывать деталь на станке, передать документы в отдел, разработать план-график проведения анализа, опубликовать материалы.

Дуги служат для отображения информации или материальных объектов, которые необходимы для выполнения функции или появляются в результате ее выполнения (объекты, обрабатываемые системой). Под объектами в рамках функционального моделирования могут пониматься документы, физические материалы, инструменты, станки, информация, организации и даже системы.

Место соединения дуги с блоком определяет тип дуги, то есть тип объекта или информации. Управляющие выполнением функции данные входят в блок сверху, в то время как информация, которая подвергается воздействию функции, показана с левой стороны блока; результаты выхода показаны с правой стороны. Механизм (человек или автоматизированная система), который осуществляет функцию, представляется дугой, входящей в блок снизу (см. рис. 1).

Рис. 1 — Типы дуг

Функциональный блок преобразует входную информацию (данные, материалы, средства, задачи, цели и др.) в выходную (что требуется получить в результате выполнения данной функции). Управление определяет, когда и как это преобразование может или должно произойти. Механизм (или исполнители) непосредственно осуществляют это преобразование.

За каждой Дугой закрепляется Замечание, которое отображает суть информации или объекта. Замечание формулируется в виде оборота существительного, отвечающего на вопрос: «Что?».

Рис. 2 — Дуги как ограничивающие и уточняющие факторы Блока

Рис. 3 — Пример А0 диаграммы

Функциональные Блоки на Диаграмме изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается имя функции и номер Блока (в правом нижнем углу прямоугольника).

Блоки располагаются на Диаграмме согласно их степени важности (по мнению автора модели). При этом доминирующим является тот Блок, выполнение функции которого оказывает влияние на выполнение всех остальных функций, представленных на Диаграмме. К примеру, это может быть Блок, содержащий контролирующую или планирующую функцию, выходы которого являются управляющими для всех остальных функциональных Блоков Диаграммы.

Доминирующий Блок помещается, как правило, в верхнем левом углу листа Диаграммы, а наименее важный Блок — в правом нижнем углу. Таким образом, ступенчатость Блоков на Диаграмме отражает мнение автора о доминировании одних Блоков относительно других.

Очень важно помнить, что доминирование блоков на диаграмме не задаёт чёткой временной зависимости операций.

Стороны Блока также имеют определенное значение. К левой границе Блока присоединяются входные Дуги, к верхней — управляющие Дуги, к правой — выходные Дуги, а к нижней — Дуги механизмов. Дуги на IDEF0 Диаграмме изображаются в виде стрелок.

При IDEF0 моделировании используются пять типов взаимосвязей между Блоками, для описания их отношений.

Взаимосвязь по управлению, когда выход одного Блока влияет (является управляющей) на выполнение функции в другом Блоке (рис. 4).

Рис. 4 — Взаимосвязь по управлению

Взаимосвязь по входу, когда выход одного Блока является входом для другого (рис. 5).

Рис. 5 — Взаимосвязь по входу

Обратная связь по управлению, когда выходы из одной функции влияют на выполнение других функций, выполнение которых в свою очередь влияет на выполнение исходной функции (рис. 6).

Рис. 6 — Обратная связь по управлению

Обратная связь по входу, когда выход из одной функции является входом для другой функции, выход которой является для него входом 7.

Рис. 7 — Обратная связь по входу

Взаимосвязь «выход-механизм», когда выход одной функции является механизмом для другой. Иначе говоря, выходная Дуга одного Блока является Дугой механизма для другого. Такой тип связи встречается редко и относится чаще всего к подготовительным операциям (рис. 8).

Рис. 8 — Взаимосвязь «выход-механизм»

Поскольку содержание IDEF0 Диаграмм уточняется в ходе моделирования постепенно, Дуги на Диаграммах редко изображают один объект. Чаще всего они отображают определенный набор объектов и могут иметь множество начальных точек (источников) и определенное количество конечных точек (приемников). В ходе разработки графической Диаграммы для отражения этой особенности используют механизм разветвления/слияния Дуг. Это позволяет не только уточнить с использованием Замечаний содержание каждой ветви разветвленной Дуги (потока объектов), но и более точно описать из каких наборов объектов состоит входящая в функциональный Блок Дуга, если она получена путем слияния.

Рассмотрим в качестве моделируемой системы создание курсового проекта.

Главный процесс (функция) — это создать курсовой проект. На входе этого процесса — исходные данные по заданию на курсовой проект. В качестве управляющего воздействия выступает методическое пособие по курсовому проектированию, ГОСТы, требования руководителя курсового проекта. Механизм осуществления создания курсового проекта —программное обеспечение, с помощью которого представлен материал и разработан проект, и исполнитель проекта (студент). На выходе – готовый курсовой проект.

Рис. 1.2 — Блок A-0 «Создать курсовой проект»

Рис. 1.2 — Диаграмма А0 — декомпозиция блока A-0 «Создать курсовой проект»

Рис. 1.3 — Декомпозиция блока A1«Произвести анализ предметной области»

Рис. 1.4 — Декомпозиция блока A3 «Создать проект»

Рассмотрим пример системы — некоторый отдел контроля, созданный для оценки эффективности управления и функционирования библиотеки (с равным успехом, можно было бы также рассмотреть отдел финансового контроля на некотором предприятии, налогового контроля и т. п.).

Рис. — Диаграмма верхнего уровня А-0, отражающая целевую функцию системы

Рис. — Диаграмма А0, отражающая декомпозицию целевой функции на основные функции А1, А2, А3

Источник