Изучение функций в курсе математики основной школы. Графический способ решения систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Разделы: Математика
Одной из составляющих школьного курса математики является функциональная линия. Особенно много времени на ее изучение отводится в старших классах, так как часть заданий ЕГЭ связана с исследованием свойств функций. Основы функционального материала учащиеся получают в 7-9 классах. Работая по учебникам “МГУ-школе” авторов С.М.Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина, следует заметить, что полноценный научный фундамент формируется у учащихся в 7 классе с изучения темы “Действительные числа”, которая составляет теоретическую основу дальнейшего изложения содержания курса алгебры, приводит к пониманию того, что всем точкам координатной оси соответствуют числа и, наоборот, каждому числу соответствует точка координатной оси. В 8 классе они овладевают основными понятиями связанными с функциями, учатся применять их к простейшим функциям: у = х, у = х 2 , у =
, строить графики любой линейной и квадратичной функций.
Важным элементом изучения данной темы являются ТСО, которые позволяют достичь наглядности: экранные средства или таблицы. Все эти средства, безусловно нужны и полезны, без них мы уже не представляем современный урок математики. Но использовать их надо разумно, не вытесняя ими традиционного рисования на классной доске. Мало показывать готовые изображения в учебнике или на экране, школьники должны видеть и сам процесс их построения. Этому предшествует значительная подготовка по математике, наблюдая за тем с чего учитель начинает выполнять чертеж в какой последовательности и как проводит линии, когда и как использует чертежные инструменты, учащиеся получают важнейшие сведения об искусстве изображения функций. Чтобы выработать необходимые умения, учащиеся и сами должны рисовать прежде всего в тетрадях.
На первых занятиях по данной теме я учу учащихся строить графики функций по точкам, затем ввожу понятие функции и рассматриваю такие важные свойства как возрастание, убывание, четность, нечетность, область определения и область значений. Степень овладения умениями проверяется в ходе индивидуальных самостоятельных работ, элементов тестирования и др.
| Карточка №1 1. Функция задана формулой Найдите значение у, если: 2. Функция задана таблицей:
Постройте ее график. | Карточка №2 1.Каково взаимное расположение графиков функций: Подчеркните верный из предложенных ответов. б) параллельные прямые. 2.Найдите значение k, если известно, что график функции у=kx-4 проходит через точку С(4;-8). | Карточка №3 1. В одной ситеме координат построй -те графики функций: Найти область определения и область значений каждой функции, указать точку пересечения графиков функций. |
.В последнее время во многих классах появился компьютер. Учитель, располагающий компьютером, имеет уникальную возможность сделать процесс обучения наглядным и динамичным. Использование информационных технологий на своих уроках способствует повышению интереса к предмету, активизирует мыслительную деятельность, глубинное запоминание материала, развивает положительную мотивацию учения.
Электронные учебные пособия обогащают учебный процесс, делают его менее утомительным, незаменимым помощником на разных этапах обучения.
С помощью компьютерного диска “ Функции и графики” я наглядно показываю траекторию движения тел в пространстве, в которых учащиеся узнают графики функций, изучаемых на уроках. С помощью модуля представления графиков и чертежей я с учащимися изображаю кривые на координатной плоскости: задаю соответствующую формулу, цвет линии и ее толщину. Для работы с программой не требуется специальной подготовки, но первоначальные сведения мои учащиеся получают на уроках при работе с учебником. Что дает использование таких программ? Учащиеся могут осуществить самоконтроль при построении графиков на бумаге, повторить определение функции, проследить преобразования графиков в декартовой системе координат. Освоив данный курс, я предлагаю учащимся применить полученные знания для решения отдельных уравнений и систем уравнений графическим способом, выяснить количество решений системы уравнений. Данное пособие можно применять не только при изучении функций, в нем содержится большое количество задач, справочный материал, биографии ученых- математиков. Работая с данной программой заметила, что учащиеся в этом возрасте воспринимают данный материал как игру, что способствует развитию воображения, затрагивается эмоциональная сфера, через нее создаются условия познания окружающей действительности. В процессе преодоления трудностей, учащиеся довольно быстро приобретают и используют новые умения, навыки и понятия.
Программ УМК “Алгебра 7-9”, “Функции и графики” и др. существенно обогащают учебный процесс, делают его более продуктивным и менее утомительным.
Графический способ решения систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Цели:
- Рассмотреть решение систем уравнений графическим способом
- Воспитание у учащихся культуры графики
- Расширить кругозор учащихся
Оборудование: компьютер, переносные доски, карточки
Ход урока
1. Организационный момент. Звучит музыка.
Учитель сообщает тему, цель урока.
2. Домашнее задание. П9.1 №822(з),839(г), 844(а) учебник С.М.Никольский “Алгебра-8”
3. Теоретический опрос
| р | а | д | и | у | с | |||
| г | и | п | е | р | б | о | л | а |
| с | е | к | у | щ | а | я | ||
| ц | е | н | т | р | ||||
| е | д | и | н | и | ц | а | ||
| п | р | я | м | а | я | |||
| к | а | р | а | н | д | а | ш |
1. Величина, необходимая при нахождении длины окружности
2. График функции у=k/x
3. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки
4. Точка, от которой равноудалены все точки окружности
5. Значение tg 45 0
6. График линейной функции
7. Инструмент необходимый на уроках геометрии и алгебры.
— Сегодняшний урок посвящен системам.
— Какие системы вы знаете?
Система координат — конструкция, позволяющая задать положение точки на прямой, плоскости, в пространстве, набором чисел.
Система счисления — способ обозначения и наименования натуральных чисел
Солнечная система — солнце и обращающиеся вокруг него большие планеты и спутники, множество малых планет, кометы и метеориты.
Речная система — река с ее притоками, совокупность рек данного речного бассейна.
Периодическая система элементов Менделеева, кровеносная система.
Система уравнений- два или несколько уравнений с несколькими переменными.
— система-определенный порядок в расположении и связи действий.
— в словаре ОЖЕГОВА система-нечто целое, представляющее собой единство закономерно расположенных и находящихся во взаимной связи частей.
А) Установи соответствие.
| У=ах 2 +вх+с | квадратичная |
| У=кх+в | линейная |
| У=к/х | обратная пропорциональность |
| У=кх | прямая пропорциональность |
| Решить за минуту |  | х+у=? |
 | х и у? |
| Установи соответствие у=2 | у=х 2 +2 | у=2х+2 | у=-2х+2 |
5. Проверка домашнего задания
Ученик выполняет на доске №838
6.Применение знаний и умений.
Вопросы: Что значит решить систему уравнений?
Этапы решения уравнений графическим способом
1) 2 учащихся показывают решение на доске, а 2 других выполняют задание в тетрадях №822(ж), № 822(и)
2) остальные учащиеся работают по карточкам(разноуровневым) и проверяют задание с помощью компьютера.
Итог урока. Рефлексия.
Варианты самостоятельных работ (приложение)
Источник
Урок алгебры в 8 классе
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 4 ИМ. В. БУРОВА
Г. БЕЖЕЦКА ТВЕРСКОЙ ОБЛАСТИ
Графический способ решения систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
( учебник С.М. Никольский Алгебра 8 )
Учитель: Ершова Т. В.
Ершова Т.В. СОШ №4 им. В. Бурова г.Бежецк Тверская обл.
Тип урока. урок изучения и первичного закрепления новых знаний, который является первым в системе уроков по теме « Графический способ решения систем уравнений
Цель урока ознакомить учащихся с графическим способом решения систем и научить его применять при решении систем.
Триединая дидактическая задача
Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:
умение планировать свою деятельность на уроке;
умение контролировать свою деятельность на уроке;
умение рассуждать, обобщать, делать выводы;
умение выполнять задания вычислительного и аналитического характера;
умение работать по образцу и в сходной ситуации при первичном закреплении.
Продолжить формирование специальных умений и навыков:
умение использовать теоретические сведения.
продолжить развитие умения выделять главное, существенное, обобщать полученные факты:
продолжить развитие логического мышления
развивать познавательный интерес к предмету.
Реализовать комплексный подход к воспитанию:
воспитание воли, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности;
формировать самооценку знаний, критическое отношение к себе, творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание
Методы и приёмы исследовательский и проблемный
Форма организации деятельности учащихся фронтальная, индивидуальная, самоанализ
Обоснование выбора формы проведения урока
Выбрана такая форма урока, которая смогла бы донести знания до учащихся как можно интереснее и доступнее, а это поиск и исследование. Поэтому, важной составляющей урока явился факт поиска общего в решении систем и графиком линейной функции и вывод, который сделают сами учащиеся.
математические методы—моделирование, использование математического языка;
методы педагогики—методы организации и стимулирования учебной деятельности;
методы психологии—развитие мыслительных операций: анализ и синтез, сравнение и обобщение.
Организация учебной деятельности с учётом личностно- ориентированной технологии обучения
создание атмосферы взаимной заинтересованности в работе учащихся и учителя;
стимулирование учащихся к высказываниям, без боязни ошибиться, получить неправильный ответ;
оценка деятельности ученика не только по конечному результату( правильно-неправильно), но и по процессу его достижения;
создание педагогических ситуаций на уроке, позволяющих каждому ученику проявлять инициативу, самостоятельность;
создание ситуации выбора и успеха;
создание обстановки для естественного самовыражения ученика.
Организация учебной деятельности с учётом здоровьесберегающей технологии обучения
своевременная подготовка к уроку и его мобилизующее начало;
Ершова Т.В. СОШ №4 им. В. Бурова г.Бежецк Тверская обл
доброжелательная атмосфера, способствующая положительному и эмоциональному настрою
чёткая организация учебного труда;
смена видов деятельности учащихся
Учебник « Алгебра 8»под ред. С.М. Никольского; переносные доски с координатной плоскостью
получение новых знаний: наблюдая, обобщая
применение полученных знаний
1..Вступительное слово учителя Постановка цели урока
Сегодня на уроке мы с вами познакомимся ещё с одним способом решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными. Вы подниметесь ещё на одну ступеньку знаний, сделаете ещё одно маленькое открытие. Я вам в этом буду помогать. А для этого вы должны вспомнить те знания, которые вам помогут это открытие получить
Устная работа ( на доске написано задание )
Выразить у через х 1. х + у =5 2. 2х – у = 0 3. у + 5х = 7
4. 3х + 4у = 0 5. х – 3у = 2 6. 2х – 2у = 4
Ученики устно выполняют задание, и ответы записывают в тетрадь. Потом идёт проверка. Результат проверки ученики оценивают сами, На полях они выставляют себе столько баллов, сколько верно сделано заданий.
Работа в тетрадях и на доске
Решить системы ( каждому ряду своя система, кто решает свою – решает следующую. Кто решит все три правильно—получает отметку) На доске три человека решают эти системы.
1. 
2. 
3.
отв. ( 2;3) отв. нет решений отв. бесконечное мно-
Вопросы отвечающим у доски:
Что значит решить систему уравнений?
Какие способы решения систем ты знаешь?
Что является решением системы?
Как проверить решение системы?
Решение систем проверяется. Отвечающим у доски выставляются отметки. Остальные
—оценивают себя сами на полях. Опять количество баллов соответствует количеству правильно решённых систем
Вопрос классу: Какие случаи могут встретиться при решении системы линейных уравнений с двумя неизвестными?
Ершова Т.В. СОШ №4 им. В. Бурова г.Бежецк Тверская обл
Ответ учеников: одно решение, бесконечное множество решений, нет решений. Этот вывод заранее записан за доской..
2.Построить графики функций ( каждому ряду своя функция, а четвёртая функция для тех, кто справится со своим заданием ) У доски графики строят 4 человека.
1. у = 2х -1 2. у = — 3х 3. у = 3 4. 2х + у = 7
Графики строят на переносных досках с координатной плоскостью. Выполнение заданий проверяется. Подробно разбирается 4 задание.
Вопросы отвечающим у доски:
Что это за функции?
Что является графиком линейной функции?
Как строится график линейной функции?
Какие графики будут параллельными прямыми и почему?
К каждой функции задайте функцию, график которой будет ей параллелен.
Отвечающие у доски получают отметки, а все остальные на полях выставляют себе баллы по прежнему принципу.
Вопрос классу: Как могу располагаться прямые на плоскости?
Ответ учеников: пересекаться –одна общая точка; параллельные – нет общих точек; совпадать – бесконечное множество общих точек. Это вывод заранее записан за доской.
3.Получение новых знаний
Работа с классом. Обратить внимание учеников на то, что системы линейных уравнений состоят из линейных уравнений, а те в свою очередь являются линейными функциями. Возникает вопрос—а можно ли «связать» это вместе.
Давайте ещё раз вернёмся к нашим выводам , сделанным на уроке. Открываются доски, на которых эти выводы записаны
1.одно решение 1. пересекаются ( одна точка )
2. нет решений 2. параллельные ( нет общих точек)
3. бесконечное множество решений 3. совпадают ( бесконечное множество об-
Подвести учеников к выводу, что системы линейных уравнений с двумя переменными можно решать с помощью графиков. Это ещё один способ решения систем линейных уравнений.
Проверим наши выводы на решённых системах в начале урока. Вернёмся к первой системе
1.График первой функции у нас уже построен. Построим график второй функции в этой же координатной плоскости. У доски работает ученик. Графики пересеклись. Все находят координаты точки пересечения прямых и сравнивают их с ответом, полученным в начале урока. Они совпали.
Попробуем составить алгоритм графического способа решения систем. Вместе с учениками составляется алгоритм. Открывается доска, на которой этот алгоритм был написан
1.1 уравнение: выразить у через х и построить график | графики строить в одной
2.2 уравнение: выразить у через х и построить график | координатной плоскости
если прямые пересеклись—есть решение и надо найти координаты точки пересечения—это и будет решением системы;
если прямые параллельны—то система не имеет решений;
если прямые совпали—то система имеет бесконечное множество решений
Остались ещё две системы. Под руководством учителя они решаются графически: ученик у доски, а все остальные в тетрадях. Ответы совпадают. Значит предположение и выводы были сделаны верно: системы можно решать графически.
4 Применение полученных знаний
Задание из учебника № 822 (а)—решает один ученик у доски, объясняя свои действия.
№822 (д) –решают все самостоятельно, а два ученика решают за доской
для проверки и получают отметки, при их желании.
5. Задание на дом п.9.1, записать в « шпаргалку» алгоритм решения систем графическим способом, № 822(б,г).
Вопрос классу. Что нового вы для себя узнали сегодня на уроке?
Повторим алгоритм графического способа решения систем уравнений.
Я могу вас сегодня только похвалить за активность и хорошую работу на уроке. Думаю, что проблем с домашним заданием у вас не будет. А теперь вы должны сами себя оценить. Сложите свои полученные баллы:
Кто хочет поставить оценку в журнал вместе с тетрадью подойдёт к учителю. Кто не доволен своим результатом— у вас всё впереди.
Урок окончен. Спасибо всем
Результат деятельности учащихся:
понимание сути графического метода решения систем уравнений;
приобщение к процессу творчества, открытия для самого себя;
каждый ученик получил оценку своего труда на уроке и по желанию поставил её в журнал;
Источник
