Графическим способом особенно успешно можно решать задачи

Содержание

Статья «Графический метод решения задач» по математике для обучающихся 7-11 классов
Исследовательская работа Графический метод решения текстовых задач
Глава 2. Основные приемы решения задач с помощью графического метода.

Статья «Графический метод решения задач» по математике для обучающихся 7-11 классов

Графический метод решения задач.

В школьной практике в последнее время один из ведущих способов решения задач связан с алгебраическим (аналитическим) методом их решения, что указывает на определённый разрыв между методами решения задач, применяемыми в науке, технике, повседневной жизни.

Устранение, где это возможно, указанного разрыва является одной из важнейших проблем усиления политехнической направленности школьного курса обучения. В большей степени эта проблема вызвана тем, что существующие учебные и методические пособия не уделяют должного внимания различным методам решения задач. Между тем реализация их даёт большие возможности для совершенствования обучения математике. Для обеспечения дальнейшего повышения

качества обучения недостаточно совершенствовать лишь вычислительные методы математики, но необходимо также развивать и совершенствовать геометрические и графические методы, составляющие основы конструктивного мышления.

Графические методы и проецирование, как мне кажется, могут

успешно конкурировать и сочетаться с аналитическими , как отличающиеся большей наглядностью и простотой.

В своей практике я часто применяю этот метод для решения задач из разных тем и разделов алгебры и геометрии. В одной небольшой статье не представляется возможным сколь-нибудь обстоятельно раскрыть все аспекты. Для выявления определённых преимуществ графических методов перед аналитическими рассмотрю решения некоторых задач.

1 . Решение текстовых задач с использованием координатного метода.

Как уже отмечалось выше, один из ведущих способов решения текстовых задач связан с использованием уравнений, первое знаком-ство с которыми начинается в начальной школе. Обучающиеся пя-тых- шестых классов, по существу, решают текстовые задачи только составлением уравнения по их условию. Считаю чрезмерное

увлечение этим способом не вполне оправданным.

Некоторые задачи решаются проще арифметическим способом с использованием координатного луча. Замечу, что в процессе решения задач единичный отрезок явно не указывается, но подразумевается в каждой наглядной иллюстрации.

Задача 1. Турист часть пути прошёл пешком, часть проехал на вело-

сипеде, остальной путь проехал на машине. Пешком турист

преодолел путь, в четыре раза меньший, чем на велосипеде,

а на машине на 300 км. больший, чем пешком. Какой путь

турист прошёл пешком, если на машине он проехал на

60 км. больше, чем на велосипеде?

1 способ 2 способ

Пусть х км.- путь туриста пешком. Изобразим схематически

Тогда 4х км.- путь, проделанный движение туриста на раз-

на велосипеде, ( х + 300 )км., или ных участках его пути.

( 4х + 60 )км.- путь на машине. п:

Составим уравнение и решим его: в:

х + 300 = 4х + 60; м:

4х – х = 300 – 60; -60

3х = 240;

х = 80. Покажем, какова разница в

километрах между ними.

Из чертежа явно видно, что

Турист прошёл пешком 80 км.. в трёх частях пути 240 км.,

значит в одной части 80 км.

Рассмотрим ещё один пример:

Задача 2: Из деревни вышел пешеход, а через два часа вслед за ним

выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч., а

скорость пешехода 5км/ч.. Через сколько времени после

своего выезда велосипедист догонит пешехода.

Решим задачу графически.

 ______  ______  ______  ______  _______________

Ответ: встреча произойдёт через два часа.

Ознакомление обучающихся с этим способом не потребует много времени, однако его применение поможет учителю в обучении решению задач.

Хочу отметить, что возможно и разумное сочетание рассмотренных способов, например, сначала изобразить наглядно условие задачи для лучшего его понимания, а после этого ввести х и составить уравнение по условию.

Использование координатного луча кроме непосредственной помощи в нахождении верного пути решения задачи формирует координатные представления обучающихся. Это, несомненно, станет дополнительной основой при дальнейшем изучении координатного метода.

2 . Графики равномерного движения при решении текстовых задач.

Задача 2. Из двух населённых пунктов А и В одновременно навстречу

друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается,

что турист, вышедший из А, прошёл на 2 км. больше, чем

турист, вышедший из В. Продолжая движение с той же

скоростью, первый турист прибывает в В через 1 час 36мин.,

а второй в А – через 2 часа 30 мин.. Найдите расстояние АВ

и скорость каждого туриста.

Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности

пройденное расстояние изображают отрезком. Применение коорди-натной прямой для решения этой задачи вряд ли приведёт к его упро-щению. Этот недостаток можно устранить, применяя графическое представление движения, известное из курса физики.

Отмечу, что при решении задач на равномерное движение, если равны скорости, пройденные расстояния и промежутки времени, полезны соотношения:

Кроме того, напомню, что тангенс угла наклона прямой х = x ₀ + vt к оси О t численно равен скорости тела.

Источник

Исследовательская работа Графический метод решения текстовых задач

«Графический метод решения текстовых задач»

Киреева Людмила Александровна

учитель математики первой категории МБОУ

«Лицей №6 г. Горно-Алтайска»

Известно, что некоторые задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает их решение.

В данной работе представлен графический метод решения задач, который основан на наглядно-геометрических интерпретациях, связанных с построением графического образа задачи на координатной плоскости. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Из-за сложности, нестандартности графический метод решения задач в школьном курсе математики не изучается.

Проблема: Появились совершенно новые типы задач, не входящие в действующие школьные учебники, при решении которых необходимо практическое применение свойств, которые раньше заучивались лишь теоретически.

Гипотеза: решение задач графическим методом является наглядным представлением условий в виде рисунка или чертежа, что помогает глубже понять условие задачи, делает его более наглядным, значительно упрощает решение.

Предмет исследования: графический метод решения задач

Цель: изучить графический метод решения задач, а также области его применения.

Изучить историю применения графического метода для решения задач различных видов.

Рассмотреть различные типы задач, методом решения которых может являться график.

Выявить плюсы и минусы этого метода, в сравнении с другими способами решения задач.

Выяснить области применения графического метода решения задач.

Глава 1. История применения графического метода для решения задач

Древние греки в 6–4 вв. до н.э. решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.

Они решали задачи на построение и смотрели, при каких значениях задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Величайшим математическим физиком древности был Архимед. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения.

Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до 17 века. И даже в 18 веке, когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».

Глава 2. Основные приемы решения задач с помощью графического метода.

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую удобный технический прием.

Задачи на движение

Задачи на совместную работу

Задачи на смеси и сплавы

Задачи с параметрами

Решение, как известно, осуществляется двумя приемами: либо точными построениями при помощи инструментов (конструктивный прием), либо обоснованными вычислениями (вычислительный прием):

Конструктивный приём (чисто графический). График вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой на миллиметровой бумаге. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.

Вычислительный прием (графико – вычислительный). График применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. Решение задачи осуществляется на точных геометрических соотношениях.

Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:

Построение графической модели задачи.

Решение получившейся графической задачи.

Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.

Глава 3. Задачи на движение

Немаловажное значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы: по количеству движущихся объектов, по направлению движущихся объектов, по времени начала движения.

Задача 1 см. в Приложении 1

Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода.

Построим график зависимости пройденного пешеходом и велосипедистом пути от времени (Рис.1). Пусть p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени x, w(x) — зависимость пройденного велосипедистом пути от времени x (Полное решение см. в Приложении 2).

Глава 4. Задачи на работу

В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности.

Задачу 3 и ее решение смотрите в Приложении 3.

Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то всё задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить всё задание?

Предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй. Отрезок AN – график работы первого рабочего, а отрезок BD – график работы второго рабочего (Рис. 2 смотрите в Приложении 4).

AQ изображает время совместной работы; AQ=12 ч. Проведем NKǁBD, тогда AK=50, QK=38

x ₁ =18 не подходит, т.к. первый рабочий работает быстрее. Тогда время первого 12 + 8 = 20 дней, а второго 38 8=30 дн.

Ответ: первый за 20 дней, а второй за 30 дней.

Глава 5. Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы считаются сложными.

Задачу 5 и ее решение смотрите в Приложении 5.

В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой общую массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости. (Рис. 3)

Глава 6. Задачи с параметром

Изучение многих физических процессов, химических, экономических и многих других закономерностей имеют практическую направленность и часто приводят к решению задач с параметрами, которые бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Аналитические (алгебраические) методы решения задач с параметрами довольно громоздки, требуют аккуратности выкладок, умения не «потерять решение», проверить всевозможные значения параметра.

В современной жизни решение уравнений с параметрами является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе.

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?

Перепишем уравнение в виде . Решим его в системе координат ( Оху ). Для этого построим графики функций и . (Рис. 4)

Ответ: Если , то уравнение имеет два корня; если , то уравнение имеет один корень; если , то корней нет.

Задача 8 и ее решение в Приложении 6.

Одно из преимуществ графического метода перед алгебраическим, состоит в наглядности решения, что позволяет лучше понять задачу. Использование этого метода упрощает решение задач: нет громоздких вычислений. График дает возможность определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно. Есть и «минусы»: иногда получаются приближённые значения в случаях неудачного масштаба или очень трудно вообще отыскать решение.

Современная наука и техника очень широко использует графики. График – международный язык техники.

Кроме того, в ходе освоения графического метода решения текстовых задач формируются практические навыки. Графический метод решения таких задач позволяет провести параллель с физикой, где использование системы координат достаточно часто применяется при решении физических задач. Также графический метод позволяет решать некоторые задачи из химии, например, рассмотренные нами задачи на смеси и сплавы.

Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач. В процессе работы над данной темой, выяснилось, что при решении текстовых задач наряду с традиционными методами, можно использовать и графический метод. Были изучены материалы учебно-методической литературы. Решены задачи из экзаменационных материалов разными способами.

Гипотеза подтвердилась частично. Графический метод упрощает решение задач. Но есть и минусы, о которых было сказано выше. Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи этой функции с реальными ситуациями, возникающими в нашей жизни. Есть планы продолжить исследование в этом направлении и более детально рассмотреть графико-геометрический метод, который основан на подобии треугольников.

Быков А.А. Сборник задач по математике. – М.:Изд..дом ГУ ВШЭ,2008

Генкель Г.З. «Геометрические решения негеометрических задач», — Москва: Просвещение 2007.

Кочагин В.В. ОГЭ 2018. Математика: тематические тренировочные задания: 9 класс. – Москва: Эксмо, 2017. – 192 с.

Лысенко Ф.Ф. Учимся решать задачи с параметром. Ростов-на-Дону:

Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом //Математика в школе: М.: Изд. «Школа-Пресс»,1996.-№4.- с.34-39.

Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: ШколаПресс,1996.

Пирютко О. Н. «Графический метод решения текстовых задач» — Минск.: Новое знание,2010

Рудин В.Н., Рудина Е.И. Графическое решение текстовых задач. Учебное пособие по математике для учителей и учащихся. Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995 г.

Савин А. П. Занимательные математические задачи. – М.: АСТ, 1995.

Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. Учебное пособие. – М.: Бином, 2004.

Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины, тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения (Рис. 5). По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км.