Исследовательская работа на тему «Способы решения задач с параметрами»
проект (10, 11 класс) на тему
исследуюся графический, аналитический методы и метод мажорант
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zadachi_s_parametrom.rar | 1.59 МБ |
Подписи к слайдам:
Исследовательская работа на тему: «Способы решения задач с параметрами»
Актуальность: Тема моей исследовательской работы наиболее актуальна , так как затрагивает современную проблему, знакомую каждому выпускнику, а именно – высокорезультативное решение задач Единого Государственного Экзамена. Задачи с параметрами традиционно — это одна из самых трудных тем ЕГЭ. Поэтому уже сейчас, учась в 10 классе, пока « не поджимает время», надо приложить максимум стараний, чтобы разобраться в способах решения этих трудных, но в то же время, красивых задач.
Цель работы: Научиться решать задачи с параметрами наиболее легкими способами Задачи: 1. Найти и изучить литературу по теме исследования. 2. Разобраться, что такое параметр и задачи с параметром 3. Исследовать разновидности задач с параметрами 4. Исследовать способы решения задач с параметрами и выбрать из них для себя 2 самых лёгких 5. Потренироваться в решении задач с параметрами выбранными способами
Гипотеза: Убедиться , что метод мажорант и графический метод- самые лёгкие методы решения Объект исследования: Задачи с параметрами Предмет исследования: Способы решения задач с параметрами Методы работы: 1. Исследовательский ( изучение литературы) 2. Эксперимент (исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение)
При подготовке данного материала я прочитала большое количество тематических книг, в которых описывались различные способы их решения: аналитический, графический, метод, симметрии, метод областей, метод мажорант, метод , использующий производную. В ходе исследования я поняла, что наиболее лёгкими и наглядными для меня оказались графический способ и способ мажорант .
Что такое параметр? Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным числом
Основные типы задач с параметрами? Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить
Основные типы задач с параметрами? Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений
Основные типы задач с параметрами? Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Основные типы задач с параметрами? Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Графический способ решения задач с параметром Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) = 0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию
Пример 1 Найдите все значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение. Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс. 2 х у — 2 — 4 4 0 А В РЕШЕНИЕ.
Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем, тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению Ответ: В 2 х у — 2 — 4 0 А
Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений: Количество решений данного уравнения — это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ х а 0 — 1 1 Пример 2 Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а 1
Пример 3. Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а ? x y 2 -2 2 — 2 1 -1 1 Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках 4 решения при а = 1 решений нет при 8 решений при 4 решения при решений нет при Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если 0
0 х у а Ответ: 0 √2 , а Мне нравится
Источник
Графический метод решения задач с параметрами.
Эта тема является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Цель данной работы более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Этот реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| graficheskiy_metod_resheniya_uravneniy_s_parametrom.otdelkina_olga_nou.rar | 459.93 КБ |
Предварительный просмотр:
Глава 1. Уравнения с параметром
История возникновения уравнений с параметром3
Глава 2. Виды уравнений с параметрами.
Квадратные уравнения…………………………………………. 7
Глава 3. Методы решения уравнений с параметром
Графический метод. История возникновения….…………………………9
Алгоритм решения графическим методом..……………. …………….10
Решение уравнения с модулем……………. …………………………….11
Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Мой реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.
В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра α.
Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.
История возникновения уравнений с параметром
Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
В уравнении коэффициенты, кроме параметра , могут быть и отрицательными.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми.
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.
3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx 2 .
Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.
Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виета признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Теорема, выражающая связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если b + d, умноженное на α минус α 2 , равно bc, то α равно b и равно d».
Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что α, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же b, d – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:
Если имеет место
Т. е. x 2 — (α –b)x + αb =0,
то x 1 = α, x 2 = b.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виета установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.
Параметр — независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.
Уравнение с параметром — математическое уравнение , внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:
- 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
- 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Рассмотрим уравнение α(х+k)= α +c, где α, c, k, x -переменные величины.
Системой допустимых значений переменных α, c, k, x называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.
Пусть А – множество всех допустимых значений α, K– множество всех допустимых значений k, Х – множество всех допустимых значений х, C- множество всех допустимых значений c. Если у каждого из множеств A, K, C, X выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению α, k, c, и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные α, k, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: α, b, c, d, …, k , l, m, n, а неизвестные – буквами x, y,z.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными , если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
Виды уравнений с параметрами
Уравнения с параметрами бывают: линейные и квадратные.
1)Линейное уравнение. Общий вид:
α х = b, где х – неизвестное; α , b – параметры.
Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра α является значение α = 0.
1.Если, а ≠0 , то при любой паре параметров α и b оно имеет единственное решение х = .
2.Если, а =0,то уравнение принимает вид:0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b =0 уравнение примет вид:0 х =0.
Решением данного уравнения является любое действительное число.
Квадратное уравнение с параметром.
α x 2 + bx + c = 0
где параметр α ≠0, b и с — произвольные числа
Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения находятся по формулам
Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.
1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.
3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.
Методы решения уравнений с параметром:
- Аналитический — способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.
- Графический — в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей квадратичной функции в системе координат.
- Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α =1 искомым для данной задачи.
Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в аналитическом методе решения уравнений с параметром
Пример 1. Решить относительно Х линейное уравнение с параметром m :
По смыслу задачи (m-1)(x+3) = 0, то есть m = 1, x = –3.
Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение
Отсюда при m= 2,25 .
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых
найденное значение x равно –3.
решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при m = –0,4.
Ответ: при m=1, m =2,25.
Графический метод. История возникновения
Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. При таком характере не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)
Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края» (график соответствующей функциональной зависимости). Оресм изучал даже «плоскостные» и «телесные» качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.
Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.
Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.
Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций — неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.
Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.
Алгоритм решения графическим методом
График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .
Алгоритм графического решения уравнений с параметром:
- Находим область определения уравнения.
- Выражаем α как функцию от х.
- В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
- Находим точки пересечения прямой α =с, с графиком функции
α (х). Если прямая α =с пересекает график α (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = α (х) относительно х.
Источник
