Графические способы решения аналитических задач

Аналитический и графический способы решения уравнений с применением ИКТ

«Аналитический и графический способы решения уравнений с применением ИКТ» — интегрированный урок алгебры в 10 классе.

-Найти способ решения уравнений с помощью построения графиков функции;

-Развить умения и навыки построения графиков квадратичной функции;

-Вызвать интерес у учащихся к самостоятельному и научному поиску.

Для достижения данной цели учащимся предлагается решить следующие задачи:

Изучить литературу по теме “модуль” и “построения графиков квадратичной функции”;

-Построить данные графики математическим способом;

-Построить графики с помощью компьютера, используя программу EXCEL;

-Сравнить результаты построения и сделать к каждому типу задач выводы.

-Оформить результаты, как научно исследовательскую работу.

Рассмотрим решение задач типа:

Задача 1 . Построить график функции у = ׀ f(х) ׀ , где f(х)- квадратичная функция.

Задача 2 . Построить график функции у =f( ׀ х ׀ ), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 3 . Построить график функции у =f( — ׀ х ׀ ), где f(х)- квадратичная функция.

Задача 4 . Построить график функции у = ׀ f( ׀ х ׀ ) ׀ , где f(х)- квадратичная функция.

Для решения данных задач необходимо:

-Знать определение модуля и умение его раскрывать;

-Знать общие методы построение графика квадратичной функции;

Рассмотрим 2-3 примера каждой задачи.

Сравнить их с графиком функции у =f(х), где f(х) — квадратичная функция.

Сделать соответствующие выводы.

По решению данных задач рассмотреть следующие примеры:

f(х) = ׀ х² -2х – 3 ׀ , f(х) = х² -2 ׀ х ׀ – 3

f(х) = х² +2 ׀ х ׀ – 3, f(х) = ׀ х² -2 ׀ х ׀ – 3 ׀ , f(х) = х² -2х – 3,

f(х) = ׀ -х² + 6х – 5 ׀ , f(х) = — х² +6 ׀ х ׀ – 5, f(х) = -х² -6 ׀ х ׀ – 5

f(х) = ׀ -х² +6 ׀ х ׀ – 5 ׀ , f(х) = -х² +6х – 5

Часть1. Построить графики функций математическим способом.

-Повторить теорию необходимую для построения графиков функций, содержащих знак модуля.

-Построить заданные графики функций.

Чтобы построить график функции необходимо знать:

1. что модуль числа не может быть отрицательным.

2. общую схему построение графика квадратичной функции:

-нахождение координат вершины параболы;

-составление таблицы значений;

-построение графика функции.

Учащиеся дают определение понятия модуль и как построить график квадратичной функции (общую схему).

Определение : Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета.

Возьмем два противоположных числа а и –а , точки изображающие их на координатной прямой, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчета. Для такого расстояния придумано специальное название – модуль числа = ׀ а ׀ . В самом деле расстояние от точки А(5) до нуля равно 5, а расстояние от точки В(-3) до нуля равно 3. Модули противоположных чисел равны. Раз модуль – это расстояние, он никогда не бывает отрицательным. Поэтому для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного — противоположному.

Для построения графика квадратичной функции координаты вершины (Х;У) параболы находится по формулам:

Х= -в / 2а; У=ах²+вх +с, затем составляется таблица и строится график.

I. Рассмотрим построение графиков функции вида у = ׀ f(х) ׀ на примерах:

а)f(х) = ׀ х² -2х – 3 ׀ , б) f(х) = ׀ -х²+ 6х – 5 ׀ .

А) Построим график функции f(х) = ׀ х² -2х – 3 ׀ .

1. Раскроем модуль:

׀ х² -2х – 3 ׀ = х² -2х – 3, если х≥ 0 ,

׀ х² -2х – 3 ׀ = — (х² -2х – 3), если х

Построим график квадратичной функции у = х² -2х – 3.

Координатами вершины параболы у=х² -2х – 3 будет точка с координатами (1;4).

Составим таблицу значений для графика функции у= х² -2х – 3

Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

У 21 12 5 0 -3 -4 -3 0 5

С учетом того, что при х² -2х – 3

Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

У 21 12 5 0 3 4 3 0 5

По данной таблице построим график функции.

Б) Построение графика функции f(х) = ׀ -х² + 6х – 5 ׀ . При аналогичном рассуждении, получу график функции .

Часть 2. Построение графиков функции с помощью компьютера.

-Изучить теорию построения графиков с помощью компьютера.

-Построить графики заданных функций с помощью компьютера.

Используя компьютерную программу Excel. Эта программа позволила нам еще изучить изменения графиков в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их исследование на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.

Описательная информационная модель (выделяем с точки зрения целей проводимого исследования, параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегаем);

Формализованная модель (описание информационной модели в программе Excel с помощью формул);

Компьютерная модель (построение компьютерной модели с использованием электронных таблиц Excel);

Компьютерный эксперимент (построение графиков функций);

Анализ полученных результатов и корректировка исследуемой модели (в случае несоответствия результатов, полученных при исследовании информационной модели, измеряемым параметрам реальных объектов можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки).

Исследуем графики функций y = f(x) и y= ׀ f(x) ׀ , где f(x) = x ²-2x-3 на промежутке [-2; 4]. Представим данные функции в табличной форме

Используя мастер диаграмм, по полученным данным строим точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров. Полученный результат не удовлетворяет результатам нашего предварительного исследования. Это хорошо видно на диаграмме.

Для уменьшения погрешности исследований при построении графиков функций, значения аргумента изменяем на 0,1 (шаг), в формулах для автоматизации расчетов использую относительную, абсолютную и смешенные адресации ячеек. Скорректированные параметры позволяют более точно выполнить построения графиков функций в программе Excel и подтвердить правильность наших исследований математическим путем — “на бумаге”.

График функции f(х) = ׀ -х2 + 6х – 5 ׀ исследуем аналогичным образом.

Часть 3. Построение графиков для решения уравнений.

-Отработка навыков построения графиков функции для решения сложных уравнений.

Рассмотрим несколько примеров решений уравнений с помощью

По графикам видим, что решением уравнения будет приблизительно число Х=0.

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

Решим уравнение: cos (π x )=- (х²)+6х-10 , значения х возьмем от -3до 8,4 с шагом 0,3. Построим графики двух функций: у= cos (π x ) и у= — (х²)+6х-10

Решением уравнения приблизительно будет число Х=3.

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

Решить уравнение: 16X²-24X+12=(sqr(3)-cos(18πX/3))(sqr(3)+cos(18πX/3))

Построим графики следующих функций: у=16X²-24X+12 и

У = (sqr(3)-cos(18 π X/3))(sqr(3)+cos(18 π X/3). Значения х возьмем от 0,5 до 0,94 с шагом 0,01.

Решением будет приблизительное число х=0,75. (х=¾)

Проверив аналитически, убеждаемся в правильности нашего предположения.

При решении данных задач нам удалось оказать помощь в построении графиков функций, содержащих знак модуля, при решении уравнений, а главное убедить учащихся, что математика – это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу ума, связывающее его с общечеловеческой культурой, формирующей важнейшие черты его личности . РАССМАТРИВАЕМЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МОЖНО ПРИМЕНИТЬ НЕ ТОЛЬКО К КВАДРАТИЧНЫМ, НО И К ЛИНЕЙНЫМ, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫМ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ.

“ Математика”. Учебник 6 класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов. – Изд.4 –е.- М. Издательство “Русское слово”, 1997г.

“ Алгебра”. Учебник 9 класс. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк . М. Просвещение, 2004г.

“ Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №48, 2003г.

“ Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №7, 1998г.

Тесты и экзаменационные задания по математике. Учебное пособие. Е.С.Баранова, Н.В. Васильева. – Издательский дом “Питер”, 2005 г.

“ Абсолютная величина”. Гайдуков И.И.. – М.: Просвещение, 1968.

“ Функции и построение графиков”. Гурский И.П..- М.: Просвещение, 1968.

“ Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов”. Кострикина Н.П.. М.: Просвещение, 1991. © 2003—2008 Издательский дом «Первое сентября»

Источник

Исследовательская работа «Сравнение аналитического и графического способа решения заданий с параметрами»»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 108» г. Перми

«Сравнения аналитического и графического способа решения задач с параметром»

Выполнил — ученик 10 «А» класса

Пушкарёва Елена Юрьевна

Обоснование выбора

Все ученики, достигшие конца 11 класса, сдают Единый Государственный Экзамен (далее ЕГЭ), который определит их уровень знаний за все 11 лет обучения и поможет при поступлении в Высшие Учебные Заведения, но готовиться к этому непростому экзамену нужно заранее. В особенности, нужно готовиться к экзамену по математике, потому что математика в современном мире повсюду, она — царица всех наук, фундамент, на котором строится человечество.

В начале 10 класса мой учитель сказал мне, что в ЕГЭ существуют задания, которые не входят в программу обучения в обычных школах, поэтому я решил изучить эту тему с помощью моего учителя математики и написать исследовательскую работу на эту тему.

Цели и задачи

Сравнить два способа решения задач с параметром: графический и аналитический, и выявить такой способ, с помощью которого можно бы было решать практически все задачи, представленные на ЕГЭ в задании 18, легко и быстро, для того чтобы оставалось намного больше времени на другие задания.

Изучить способы решения задач с параметром.

Сравнить способы решения задач с параметром.

Выявить наиболее рациональный способ решения задач с параметром.

Введение

Для начала нужно определить, что же такое задачи с параметром? Задачи называют параметрическими (с параметром) только в тех случаях, когда некоторые коэффициенты заданы не конкретным числом, а обозначены буквами. Способов решения таких задач существует несколько: аналитический и графический. Чем же отличаются эти способы решения? Аналитический способ — способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра, а в графическом способе рассматриваются графики или в координатной плоскости , или в координатной плоскости .

Существуют 4 основных типа задач с параметрами:

1 тип. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

2 тип. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

3 тип. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.

4 тип. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Ни один из способов решения задач с параметром не является универсальным для всех типов задач, но все же среди этих двух способов есть один способ, который будет являться наиболее рациональным для решения 18 задания ЕГЭ.

Глава 1 Решение задач с параметром

Для того чтобы узнать, какой способ решения задач с параметром более рационален, нужно решить типовые задачи этими способами.

Чтобы показать график, полученный при решении задач с параметром, я использовал кроссплатформенное приложение GeoGebra, у которой имеются богатые возможности работы с функциями.

1.1. Аналитический способ

Решим несколько задач с параметром с помощью аналитического способа решения. С самого начала решим задачу первого типа, в которой нужно решить уравнение для всех значений параметра.

Теперь, когда мы рассмотрели все а от до и решили уравнения для всех а, мы можем записать ответ.

Решим еще одну задачу, которая взята из январского варианта сайта РешуЕГЭ.

При каких значениях уравнение имеет единственное решение.

Заметим, что если является решением уравнения, то и число также является решением этого уравнения. Значит, ссли уравнение имеет единственное решение, то это решение . При уравнение принимает вид

При и исходное уравнение принимает вид . При правая часть уравнения . При левая часть уравнения не меньше 4 , причем равенство достигается только при . При правая часть уравнения . Значит, исходное уравнение имеет единственное решение .

При исходное уравнение принимает вид . Числа -2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет исходное решение при и .

Решив несколько задач с помощью аналитического способа, становится понятно, что этот способ очень сложный для понимания, так как можно запутаться, не увидеть чего-нибудь. Этот способ является одной из сложнейших вещей, которые я видел и пытался понять. Поэтому лучше перейти к наглядному способу решения задач с параметром — графическому.

1.2. Графический способ

Решим еще несколько заданий из ЕГЭ только уже графическим способом решения задач с параметром.

Для первой задачи нужно найти, при каких значениях а график пересекает в 3 точках.

Этот график является окружностью с центром в точке (4;4) и радиусом 3.

А: график пересекает график в трех точках

B: график пересекает в трех точках при .

С: график пересекает в трех точках при

Мы нашли все случаи, при которых график пересекал в трех точках.

Для второй задачи нужно найти все а, при которых пересекалось бы с ровно в 1 точке:

Графиком данной функции является две окружности, которые симметричны относительно оси oY с центрами в точках (3;4) и (-3;4) и радиусами 2.

— прямая; при получается .

Глава 2. Сравнение аналитического и графического способа

Теперь приступим к решению одной задачи двумя разными способами, что поможет сравнить эти способы.

Для этой задачи нужно найти такие а, при которых пересекает график хотя бы в одной точке:

1 способ — графический:

— окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

С помощью графического способа решения задач можно, глядя на график, решить задачу .

Найдем гипотенузу получившегося прямоугольного треугольника:

Так как радиус окружности , то . При этом график пересекает график , следовательно, и есть решение этой задачи.

2 способ — аналитический:

Мы также получаем тот же ответ, но для этого мы проделали путь труднее, так как без просмотра графика функции всегда сложнее понять, что требуется от человека.

Заключение

Когда я начинал эту работу, я думал, что в выводе напишу о том, что графический способ более рационален для решения задач с параметром, но после того как я посмотрел множество заданий, которые представлены на ЕГЭ, понял, что бывают такие задания, которые будет сложно решить графическим способом, но есть и задания, которые сложно решить аналитическим способом, но очень легко графическим. Поэтому после такого столкновения этих двух способов, можно сказать, что ни один из этих способов не является универсальным инструментом для решения задач с параметром.

Для того чтобы быть уверенным, что задание №18 ЕГЭ решено верно, нужно, как я выяснил, уметь решать задачи с параметром двумя способами: графическими и аналитическим, так как это поможет сохранить время на ЕГЭ, потому что есть такие задания, которые решаются одним способом легко, а другим очень сложно.

При подготовке к НПК я смог научиться решать задачи с параметром средней и легкой степени сложности графическим способом и только легкие задачи с параметром аналитическим способом. Но я продолжу изучать эту тему и дальше, чтобы постичь и овладеть этой темой полностью, чтобы знать, что я смогу решить это задание, когда прибудут экзамены.

Список использованных источников информации

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. — М.: Научный мир, 2011 — 316 с.: 262 ил. ISBN 978-5-91522-257-0

Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. ISBN 978-5-94057-270-1

Программа элективного курса «Графический способ решения заданий с параметрами». Составитель Пушкарѐва Елена Юрьевна, учитель математики

Источник