Геометрическое тело получаемое способом вращения прямой вокруг оси вращения

Конспекты по математике на тему «Тела вращения. Объемы тел вращения»

Конспекты занятий по математике для студентов первого курса теме «Тела вращения. Объемы тел вращения».

Тела вращения — объёмные тела, полученные при вращении плоской фигуры вокруг своей оси или стороны.

Примеры тел вращения: цилиндр, конус, шар, сфера.

Цили́ндр (от греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Цилиндр состоит из двух параллельных кругов, не лежащих в одной плоскости, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.

Примеры тел, имеющих цилиндрическую форму: часть водопроводной трубы, консервная банка.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между его основаниями.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований, параллельно образующим.

Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

Боковая поверхность составлена из образующих.

Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Основания цилиндра равны и параллельны.

Образующие цилиндра равны и параллельны.

Ко́нус — тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника, вокруг одного из его катетов.

Конус состоит из круга – основания конуса, вершины конуса — точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Примеры тел, имеющих форму конуса: воронка для наливания жидкости, чум — жилье народов севера, мороженое-рожок.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .

Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса.

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса .

Конус называется прямым , если прямая ( ось конуса ), соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением .

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Шар — тело вращения, полученное вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы: мыльный пузырь, земля, футбольный и теннисный мячи.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой его поверхности, называется радиусом .

Сфера это поверхность шара .

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром .

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Диаметр называется осью шара , а его оба конца — полюсами шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью . Точка А называется точкой касания .

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

1. Уравнение шара с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2

2. Уравнение шара с радиусом R и центром в точке с координатами (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) в декартовой системе координат :

(x — x ₀ ) 2 + (y — y ₀ ) 2 + (z — z ₀ ) 2 ≤ R 2

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) в декартовой системе координат :

(x — x ₀ ) 2 + (y — y ₀ ) 2 + (z — z ₀ ) 2 = R 2

Формулы объема цилиндра, конуса и шара.

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Объем прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = S _осн h , т.к. в основании цилиндра лежит круг, то S _осн = S _круга =π R 2 . Тогда формула объема цилиндра примет вид: V = π R 2 h .

Конус — геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту V = S _осн h , т.к. в основании конуса лежит круг, то S _осн =S _круга =πR 2 . Тогда формула объема цилиндра примет вид: V = πR 2 h .

3. Объем усеченного конуса.

Усеченный конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Шар — это геометрическое тело, состоящее из точек пространства, которые удалены от центра O на одинаковое расстояние R .

Объем шара радиуса R равен V = π R 3 .

Источник

Метод вращения вокруг оси

Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Перемещение точки при её вращении вокруг проецирующей прямой является частным случаем параллельного перемещения и подчиняется следующим правилам.

1. Траектория движения точки – дуга окружности с центром, расположенным на оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию между точкой и осью вращения.
2. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а горизонтальная – параллельно оси X.
3. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекции, горизонтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а фронтальная – параллельно оси X.

Руководствуясь рассмотренными правилами, повернем отрезок CD в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции. В качестве оси вращения i будем использовать горизонтально проецирующую прямую, проведенную через точку D.

При повороте отрезка положение точки D не изменится, поскольку она лежит на оси i. Точку C’ переместим по дуге окружности радиусом C’D’ в положение C’₁ так, чтобы выполнялось условие C’₁D’₁ || X. Для нахождения точки C»₁ из C» проведем прямую, параллельную оси X, до пересечения её с линией связи, восстановленной из т. C’₁.

На следующем рисунке показан способ перевода отрезка в горизонтально проецирующее положение. Построения выполнены в два этапа и описаны ниже.

Сначала вращением вокруг оси i₁ CD перемещают в положение C₁D₁, параллельное фронтальной плоскости проекции. После этого вращением вокруг оси i₂ отрезок переводится в искомое положение C₂D₂, где он перпендикулярен горизонтальной плоскости проекции.

Расположение осей вращения выбирают исходя из удобства дальнейших построений. В нашей задаче горизонтально проецирующая прямая i₁ проходит через точку D, а проекция i»₂ фронтально проецирующей прямой i₂ лежит на продолжении отрезка C»₁D»₁.

Способ вращения вокруг линии уровня

Действенным и наиболее рациональным приемом решения задач, в которых требуется определить натуральную величину угла, является способ вращения вокруг линии уровня.

Основные правила построения

1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника.
2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h’. На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f». Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.

Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.

1. Проводим фронтальную проекцию h» горизонтали h. Она пересекает прямые a» и b» в точках 1» и 2». Определяем горизонтальные проекции 1′ и 2′ и через них проводим h’.
2. Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O’ лежит на пересечении прямой h’ с перпендикуляром, проведенным из A’ к h’.
3. Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O’A’₀. Для этого строим прямоугольный треугольник O’A’A’₀, катет которого A’A’₀ равен расстоянию от A» до h».
4. Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O’A’ в точке A’₁. Соединяем A’₁ с точками 1′ и 2′. Искомый угол ϕ построен.

Источник

Тела вращения

Тела вращения — это объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.

Содержание:

Понятие о поверхностях и телах вращения

Если многоугольник ABCDE вращается вокруг прямой АВ (рис. 2.257), то каждая его точка, не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCDE при этом описывает некоторое тело вращения (рис. 2.258); прямая АВ — ось этого тела.

Плоскость, проходящая через ось тела вращения, является его плоскостью симметрии. Таких плоскостей каждое тело вращения имеет бесконечно много.

Любая плоскость, проходящая через ось тела вращения, пересекает это тело. Полученное сечение называют осевым сечением. В частности, осевое сечение тела вращения может состоять из двух изолированных друг от друга плоских фигур, симметричных относительно оси (рис. 2.259). Все осевые сечения тела вращения равны.

Чтобы задать тело вращения, достаточно указать его ось и фигуру, вращением которой получено данное тело. Описывая такое тело словесно, вместо оси иногда указывают принадлежащий ей отрезок. Например, вместо «тело, образованное вращением треугольника вокруг оси, содержащей его сторону» говорят и короче: «тело, образованное вращением треугольника вокруг его стороны».

Цилиндр

Можно дать определение цилиндра.

Определение. Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называют тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называют основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов — образующими цилиндра (рис. 2.260, 2.261).

Можно доказать, что основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, что у цилиндра образующие параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Определение. Цилиндр называют прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

На рисунке 2.261 изображен наклонный цилиндр, а на рис. 2.260 — прямой. В школьном курсе, как правило, рассматривают только прямые цилиндры, называя их для краткости просто цилиндрами.

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон как оси (рис. 2.262).

Радиусом цилиндра называют радиус его основания. Высотой цилиндра называют расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называют прямую, проходящую через центры оснований. Ось цилиндра параллельна образующим.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называют осевым сечением цилиндра (рис. 2.263). Именно через такое сечение обозначают цилиндр. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра (рис. 2.264).

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

На рисунке 2.265 изображено сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Оно представляет собой прямоугольник.

Если цилиндр с радиусом основания разрезать по образующей (рис. 2.266) и развернуть на плоскости, получится прямоугольник, стороны которого — спрямленная окружность основания и образующая — развертка боковой поверхности цилиндра. Чтобы получить развертку полной поверхности, надо присоединить два круга — основания цилиндра (рис. 2.267).

Призма, вписанная в цилиндр и описанная около него

При решении геометрических задач часто приходится рассматривать комбинации многогранников и цилиндров, в частности, призм, вписанных в цилиндр и описанных около цилиндра.

Определение. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой — равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра (рис. 2.268).

Определение. Призму называют описанной около цилиндра, если ее основания — равные многоугольники, описанные около основания цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра (рис. 2.269).

Пример:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Решение:

Из условия задачи имеем (рис. 2.270):

1. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

2. Радиус основания цилиндра равен высоте призмы

3. Требуется найти угол между

4. (1, свойства правильного шестиугольника, вписанного в окружность).

5. — квадрат (1, 4, определение квадрата).

Надо найти угол между Как это сделать? Лучше всего рассмотреть осевое сечение призмы, изображенное на рисунке 2.271. Задача сводится к нахождению угла .

6. = 45° (найдите самостоятельно).

Конус

Определение. Конусом (точнее, круговым конусом) называют тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называют образующими конуса (рис. 2.272).

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Определение. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (рис. 2.272).

На рисунке 2.273 изображен наклонный конус, в дальнейшем будет рассматриваться только прямой конус, называемый для краткости просто конусом.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 2.274).

Определение. Высотой конуса называют перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания (рис. 2.272). Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту. У наклонного конуса основание высоты может не совпадать с центром круга, лежащего в основания конуса (рис. 2.273).

Если конус РАВ с радиусом основания и образующей (рис. 2.275) разрезать по образующей РВ и развернуть на плоскости, то получим развертку.

Развертка конуса будет состоять из сектора ВРАВ и круга (основания) диаметра

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса (рис. 2.276).

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом (рис. 2.277).

Усеченный конус можно получить и как тело вращения.

Определение. Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Круги О и — его основания (рис. 2.277), его образующие равны между собой, прямая — ось, отрезок — высота. Его осевое сечение — равнобедренная трапеция.

Пример:

Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Конус с вершиной S.

2.

4. OA = R. (рис. 2.278)

5. Плоскость пересекает конус и параллельна основанию.

6. Найдите площадь сечения конуса.

7. Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии (1, 2, 3, 4, 5, определение гомотетии).

8. Радиус круга в сечении (7).

9. Площадь сечения (8, теорема о площади круга).

Пирамида, вписанная в конус и описанная около него

Определение. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса (рис. 2.279).

Определение. Пирамиду называют описанной около конуса, а конус — вписанным в пирамиду, если ее основанием является многоугольник, описанной около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса (рис. 2.280).

Определение. Шаром называют тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эту точку называют центром шара, а данное расстояние — радиусом шара (рис. 2.281).

Границу шара называют шаровой поверхностью или сферой. На рисунке 2.281 точки А, В и D принадлежат сфере, а, например, точка М ей не принадлежит. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называют радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называют диаметром. Концы любого диаметра называют диаметрально противоположными точками шара.

Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси (рис. 2.282).

Теорема 62. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Если шар с центром О и радиусом R пересечен плоскостью , то в сечении по теореме 62 получается круг радиуса с центром К (рис. 2.283).

Радиус сечения шара плоскостью можно вычислить по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения шара тем больше, чем ближе секущая плоскость к центру шара, т. е. чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящую через центр шара, называют диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называют большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.

Теорема 63. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, проходящую через точку А шаровой поверхности и перпендикулярную радиусу, проведенному в точку А, называют касательной плоскостью. Точку А называют точкой касания (рис. 2.284).

Теорема 64. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Прямую, проходящую через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называют касательной (рис. 2.285).

Теорема 65. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

Пример:

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная радиусу плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Шар с центром О и радиусом R, ОС = OA = R.

2. ОВ = ВС = .

3. СО перпендикулярен плоскости окружности с центром в точке В.

4. Найдите отношение площади круга с центром в точке В к площади большого круга.

Чтобы решить задачу, надо знать радиус получающегося в сечении круга с центром в точке В. Как его найти?

5. — прямоугольный (3, определение перпендикуляра к плоскости).

6. Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет

7. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно (1, 2, 5, теорема Пифагора).

Части шара и сферы

В геометрии существуют специальные названия частей сферы и шара, которые получаются при разбиении этих фигур на части отрезками, прямыми или плоскостями.

Определение. Часть шара, отсекаемую плоскостью, называют шаровым сегментом.

Шаровой сегмент ограничен: 1) частью сферы, которую называют сегментной поверхностью; 2) кругом, который называют основанием шарового сегмента.

На рис. 2.287 плоскость , проходящая через точку В, отсекает от шара два шаровых сегмента.

Определение. Сферическим сегментом называют часть сферы, отсекаемую плоскостью.

Окружность, по которой плоскость пересекает сферу, называют основанием сферического сегмента.

Высотой шарового сегмента и сегментной поверхности называют отрезок радиуса, перпендикулярного к основанию сегмента. На рисунке 2.287 верхний сегмент имеет высоту АВ.

Если пересечь шар двумя параллельными плоскостями, тогда шар (его граничная сфера) разделится на три части, две из них — шаровые (сферические) сегменты.

Определение. Часть шара, заключенную между двумя пересекающими его параллельными плоскостями, называют шаровым слоем.

На рисунке 2.288 две параллельные плоскости, проходящие через точки СВ, отсекают от шара шаровой слой.

Определение. Сферическим поясом называют часть сферы, заключенную между двумя ее параллельными сечениями.

Поверхность шарового слоя состоит из двух кругов, называемых основаниями шарового слоя, и сферического пояса соответственно.

Высотой шарового слоя называют перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к плоскости другого; чаще всего берут за высоту отрезок диаметра сферы, перпендикулярного основаниям, с концами на них. Высотой сферического пояса называют высоту соответствующего шарового слоя. На рисунке 2.288 высотой шарового слоя является отрезок ВС.

Сферический сегмент и сферический пояс можно рассматривать как поверхности, образованные вращением некоторых дуг окружности вокруг прямой АВ (рис. 2.288).

Шаровой сектор — это часть шара, получаемая не простым сечением шара плоскостью (или плоскостями), а как фигура, образованная при вращении соответствующего кругового сектора (рис. 2.289).

Определение. Шаровым сектором называют фигуру, полученную при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. На рисунке 2.290 изображен круговой сектор СО А (О — центр данного круга). Вращая круговой сектор СО А вокруг радиуса АО, получим шаровой сектор с центром в точке О (рис. 2.290). Полученный шаровой сектор состоит из шарового сегмента высотой Н и конуса с вершиной в точке О и высотой R — Н.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник