- Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
- Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
- Покоординатное сложение векторов.
- Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
- Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
- Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
- Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
- Сложение двух векторов
- Сложение нескольких векторов
- Умножение вектора на число
- Свойства операций над векторами
- Сумма и разность векторов
- Сумма векторов
- Формула сложения векторов
- Формула вычитания векторов
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
- скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
- векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
- правило параллелограмма
- правило треугольника
- тригонометрический способ
 | Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
|
 | Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
|
 | Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:
Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:
|
Пример — сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Источник
Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Сложение двух векторов
Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .
Умножение вектора на число
Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .
- Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
- Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
- Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
- Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
- Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
- Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
- Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
- Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →
Источник
Сумма и разность векторов
В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.
Сумма векторов
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.
Геометрическая интерпретация:
Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .
Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.
Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.
Формула сложения векторов
Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .
| Для плоских задач | Для трехмерных задач | Для n-мерных векторов |  Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие: Формула вычитания векторовЭлементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .
|
