Геометрический способ решения квадратных уравнений проект

«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»	104 КБ

Предварительный просмотр:

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тема: «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Усвоение новых знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная

Оборудование: мультимедийный компьютер

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Углубить знания о методах решения квадратных уравнений. Овладеть знаниями решения квадратных уравнений геометрическим способом

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие кругозора учащихся

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развитие коммуникативных качеств личности

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Продолжать формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов. Рефлексия

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 – квадратное уравнение, то а называют ____ коэффициентом, в ___ коэффициентом, с ___ членом;
2. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются:

• Д = в 2 – 4ас, Д > или = 0;
• х 1 = ;
• х 2 = .

1. Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют _____;
2. Теорема Виета утверждает, что в уравнении вида

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 квадратное уравнение, то:

– первый коэффициент – это число ___;

– второй коэффициент – это число ___;

– свободный член – это число ___;

1. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются

• Д = в 2 – 4ас;
• Д , то х 1 = ;
• х 2 = .

с. Приведённое квадратное уравнение – это уравнение вида _____;

d. Теорема Виета утверждает, что в уравнении :

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____ .

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

1. Решим уравнение х 2 + 10х = 39 .

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD , достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6

Источник

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Геометрическое решение квадратного уравнения Автор: Иванова Любовь Алексеевна

Цель: Научить учащихся владению основными способами решения квадратного уравнения Задачи: Изучить историю развития квадратных уравнений. Раскрыть геометрический способ решения квадратных уравнений.

Актуальность работы Квадратные уравнения используются как в учебном процессе, так и для олимпиад самого высокого уровня, а также при решении прикладных задач человеческой жизнедеятельности. Способность ученика подходить к решению уравнений с различных ракурсов, и при этом выбирать наиболее рациональный способ решения, повышает его конкурентоспособность и успешную самореализацию. Квадратные уравнения – «золото» Алгебры.

– это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать квадратные уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов квадратных уравнений. Квадратное уравнение

История возникновения и развития квадратных уравнений

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет. Г.В. Лейбниц

решали квадратные уравнения. В древние времена математики ориентировались на человека, его нужды, заботы, возможности. Необходимо было вычислять площади земельных участков, производить расчеты при постройке военных сооружений. В Вавилоне 2 тысячи лет до нашей эры

В VIII столетии до нашей эры в Индии математик Баудхаяма впервые использовал запись квадратных уравнений в виде: и привел методы решения квадратных уравнений

Индийский астроном Ариабхатта

Индийский ученый Брахмагупта (VII век)

Диофант Александрийский (III в.)

«Книга абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи 1201 году

В XVII веке Жирар Декарт систематизировал все теории о квадратных уравнениях.

Геометрический способ решения квадратного уравнения

Пример 1. х2+ 10х -39 = 0 → х2 + 10х = 39 Решение: На сторонах квадрата с ребром х строим прямоугольники 1*х, полученную фигуру дополняем до квадрата ABCD. Площадь квадрата ABCD состоит из площади первоначального квадрата х; площадей десяти прямоугольников 10х и площади квадрата 52 = 25; АВ = х + 5; (х + 5)2 = х2 + 10х + 25 = 39; (х 5)2 = 39 + 25 = 64; х + 5 = ± ± 8; Ответ: х1 = 3; х2 = -13

Пример 2.Решите квадратное уравнение х2 + 6х + 5 = 0 Решение: х2 + 6х = -5; АВ = х + 3; SABCD = (х + 3)2; (х + 3)2 = х2 + 6х = 32; (х + 3)2 = 4; х + 3 = ±2; Ответ: х1 = -1; х2 = -5

Пример 3. Решите квадратное уравнение геометрически 4х2 + 8х – 5 = 0 Решение: 4х2 + 8х = 5; Разделим уравнение на четыре, получим приведенное квадратное уравнение х2 + 2х = ; которое решаем аналогично решениям примеров 1 и 2; х +1 = ± = Ответ: х1 = х2 = — 1

«Опыт научного прошлого не должен быть потерян для будущих поколений, всё развивается по спирали. Человек родился быть господином, повелителем, царем природы. Но мудрость, с которой он должен править с наследственного своего престола, не дана ему от рождения: она приобретается учением». Николай Иванович Лобачевский.

«Торопись, ведь они проходят, Ты у времени в гостях. Не рассчитывай на помощь, Помни: всё в твоих руках!» Юстас Палецкис

«Так, дерзай! Пусть славы эхо о твоих гремит успехах. Станешь ты, хоть скромен вид, знаменитей чем Евклид!» Льюис Керрол

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 809 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 285 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 601 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-304446

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

Источник