Геометрический способ решения квадратного уравнения

«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»	104 КБ

Предварительный просмотр:

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тема: «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Усвоение новых знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная

Оборудование: мультимедийный компьютер

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Углубить знания о методах решения квадратных уравнений. Овладеть знаниями решения квадратных уравнений геометрическим способом

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие кругозора учащихся

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развитие коммуникативных качеств личности

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Продолжать формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов. Рефлексия

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 – квадратное уравнение, то а называют ____ коэффициентом, в ___ коэффициентом, с ___ членом;
2. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются:

• Д = в 2 – 4ас, Д > или = 0;
• х 1 = ;
• х 2 = .

1. Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют _____;
2. Теорема Виета утверждает, что в уравнении вида

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____.

1. Если ах 2 + вх + с = 0 квадратное уравнение, то:

– первый коэффициент – это число ___;

– второй коэффициент – это число ___;

– свободный член – это число ___;

1. Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляются

• Д = в 2 – 4ас;
• Д , то х 1 = ;
• х 2 = .

с. Приведённое квадратное уравнение – это уравнение вида _____;

d. Теорема Виета утверждает, что в уравнении :

• х 2 + рх + q = 0;
• х 1 + х 2 = ____;
• х 1 * х 2 = ____ .

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

1. Решим уравнение х 2 + 10х = 39 .

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 ,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD , достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6

Источник

СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

Источник

Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»

10 способов решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.

В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

Определение 2 . Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.

Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

2. Метод выделения полного квадрата двучлена.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат:

тогда, данное уравнение можно записать так:

х + 3=4 или х + 3 = -4

3.Решение квадратных уравнений по формулам.

а) Решим уравнение:

б) Решим уравнение:

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

5. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

2) Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 — 3+1=0, значит х ₁ = — 1, х ₂ = -с/а= -1/2

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0 .

Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15.

7.Графическое решение квадратного уравнения.

И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение =0

1способ . Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом.

Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2

х= -1 и х=3, тогда f (-1)= f (3)=0.

3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу (рис 2).

Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения

Преобразуем уравнение к виду .

Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ).

Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B , значит, .

3 способ

Преобразуем уравнения к виду.

Построим в одной системе координат графики функций и (рис.4) Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому .

Преобразуем уравнение к виду , затем т.е.

Построим в одной системе координат параболу и прямую . Они пересекаются в точках А(-1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек А и В, поэтому (рис.5) .

Рис.5

Разделим почленно обе части уравнения на x, получим:

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую (рис.6). Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, .

Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида

ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю.

Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х ₁ ; 0) , где х ₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис.9).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1).

9. Решение квадратных уравнений с помощью

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

3) Для уравнения z 2 — 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 — 5 t + 2,64 = 0,

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0 .

Решение представлено на рис 13. где

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у ₁ = 2, у ₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 14. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у — 3 . Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25 , или у — 3 = ± 5, где у ₁ = 8 и у ₂ = — 2.

Источник