- Геометрический способ решения кубических уравнений
- Решение кубических уравнений. Формула Кардано
- Схема метода Кардано
- Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
- Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
- Формула Кардано
- Пример решения кубического уравнения
Геометрический способ решения кубических уравнений
Мы уже говорили, что уже арабские математики средневековья владели всей теорией решения квадратных уравнений. Другое дело – уравнения кубические. Если решение квадратных уравнений может быть найдено с помощью определенных построений циркулем и линейкой (эти построения, так называемые «приложения площадей», были известны уже древним грекам), то корень кубического уравнения, вообще говоря, невозможно построить циркулем и линейкой. Поэтому для их решений были нужны другие методы. Во-первых, существовали приближенные методы вычисления корней, с помощью которых можно было найти корень с любой заданной точностью. А во-вторых, для анализа разрешимости уравнения, числа его корней и примерной их оценки применялись графические методы.
Под графическим решением уравнения мы сейчас обычно понимаем (в простейшем случае) построение графиков функций и и нахождение абсцисс точек их пересечения. В более общем случае уравнение может быть сведено к системе каких-либо двух уравнений с двумя неизвестными – не обязательно эти уравнения должны иметь форму и . Каждое из уравнений трактуется как уравнение некоторой кривой на координатной плоскости; координаты точек их пересечения этих кривых удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, являются решением системы, по ним можно получить и корень исходного уравнения. Разумеется, с помощью графического решения, как правило, невозможно найти значение корней уравнения точно. Тем не менее, оно часто бывает полезным для того, чтобы приблизительно определить их значение или получить общее представление о числе положительных и отрицательных корней и т. п.
Хотя у древних греков не было идеи графиков функций в современном смысле, они владели определенной техникой, которую мы бы, в переводе на современный язык, сочли именно графическим решением уравнений. Задача, которую было необходимо решить, формулировалась в виде некоторого соотношения (уравнения), которое затем переводилось в форму двух соотношений между двумя неизвестными величинами (система двух уравнений с двумя неизвестными). Эти две величины трактовались как расстояния от точки до двух перпендикулярных прямых (фактически, осей координат): строились две кривые, соответствующие двум данным соотношениям между этими расстояниями (координатами), и находились точки пересечения этих кривых.
С помощью этой техники греки, а затем и арабы, находили, в частности, решения кубических уравнений. Уже говорилось, что с помощью точек пересечения гиперболы и параболы или двух парабол Менехм строил решение знаменитой задачи об удвоении куба, то есть решал уравнение вида 3 = . Греки сталкивались и с другими типами кубических уравнений. Так, Архимед рассматривал задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении (1 : 2 = ). Эта задача сводится к решению кубического уравнения вида 3 + = 2 . Дело в том, что объем шарового сегмента (как это открыл тот же Архимед) является кубической функцией его высоты (да еще без линейного члена):
| = π 2 ( – / 3). |
Это довольно приятное обстоятельство: скажем, площадь кругового сектора зависит от его высоты существенно более сложным образом.
 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 4 3 – 3 2 + 3 = (3 2 – 3 ) , |
3 ( + 1) + 4 3 = 3 ( + 1) 2 ,
3 + 4 3 / ( + 1) = 3 2 .
Другой вариант – положить обратное отношение равным . Тогда:
Источник
Решение кубических уравнений. Формула Кардано
 Схема метода Кардано |
| Приведение кубических уравнений к трехчленному виду |
| Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи |
| Формула Кардано |
| Пример решения кубического уравнения |
Схема метода Кардано
Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )
| a0x 3 + a1x 2 + + a2x + a3= 0, | (1) |
где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа, 
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
| x 3 + ax 2 + bx + c = 0, | (2) |
где a, b, c – произвольные вещественные числа.
Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:
 | (3) |
то уравнение (2) примет вид
В результате уравнение (2) примет вид
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
| y 3 + py + q= 0, | (5) |
где p, q – вещественные числа.
Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
Первый этап вывода формулы Кардано завершён.
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде
 | (6) |
где t – новая переменная.
то выполнено равенство:
Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде
 | (7) |
Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :
 | (8) |
Формула Кардано
Решение уравнения (8) имеет вид:
В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:
В развернутой форме эти решения записываются так:
Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.
С другой стороны,
и для решения уравнения (5) мы получили формулу
которая и называется «Формула Кардано» .
Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).
Пример решения кубического уравнения
Пример . Решить уравнение
| x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0. | (13) |
Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену
| x = y + 2. | (14) |
Следовательно, уравнение (13) принимает вид
| y 3 – 18y – 30 = 0. | (15) |
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
 | (16) |
то уравнение (15) примет вид
 | (17) |
Далее из (17) получаем:
Отсюда по формуле (16) получаем:
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
или использовали формулу
Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень
Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.
Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.
Источник
